Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

В.Ф. Бутузов
Лекции
по
математическому анализу
Часть I
Москва 2012

Б у т у з о в В. Ф.
Лекции по математическому анализу. Часть I.
Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по мате-
матическому анализу, которая излагается в I семестре. В этой части
рассматриваются основные вопросы курса математического анализа од-
ной переменной. Изложение теоретического материала сопровождается
рассмотрением иллюстрирующих примеров, особое внимание обраща-
ется на приложения математических понятий и утверждений в физике.
Пособие рассчитано на студентов 1 курса физического факультета
и преподавателей, ведущих занятия по математическому анализу.
Рецензенты: д.ф.-м. н., профессор Ю.П. Пытьев,
д.ф.-м. н., профессор Б.И. Садовников
c
Физический факультет МГУ
им. М.В. Ломоносова, 2012
c
Бутузов В.Ф., 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
6
Г л а в а 1. Вещественные числа
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
7
џ 1. Рациональные числа
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
7
џ 2. Иррациональные числа
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
8
џ 3. Сравнение вещественных чисел
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
9
џ 4. Точные грани ограниченного числового множества
. .. .. .. .. .. .. . 10
џ 5. Арифметические операции над вещественными числами
. .. . 14
џ 6. Некоторые числовые неравенства
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 16
џ 7. Геометрическое изображение вещественных чисел
. .. .. .. .. .. .. . 16
џ 8. Некоторые числовые множества
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 17
Г л а в а 2. Предел функции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 18
џ 1. Понятие функции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 18
џ 2. Определение предела функции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 19
џ 3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
. .. .. .. .. .. . 25
џ 4. Свойства пределов функций
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 31
џ 5. Теорема о пределе монотонной функции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 34
Г л а в а 3. Непрерывность функции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 37
џ 1. Определение непрерывности. Точки разрыва функции
. .. .. .. . 37
џ 2. Свойства непрерывных функций
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 41
џ 3. Теорема о существовании и непрерывности обратной функ-
ции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 43
џ 4. Непрерывность элементарных функций
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 44
џ 5. Замечательные пределы
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 48

4
Оглавление
Г л а в а 4. Производные и дифференциалы
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 53
џ 1. Определение производной. Производные некоторых основ-
ных элементарных функций
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 53
џ 2. Физический и геометрический смысл производной
. .. .. .. .. .. .. . 56
џ 3. Дифференцируемость и дифференциал функции
. .. .. .. .. .. .. . 59
џ 4. Правила дифференцирования
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 63
џ 5. Производная обратной функции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 64
џ 6. Производная сложной функции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 66
џ 7. Инвариантность формы первого дифференциала
. .. .. .. .. .. .. .. . 69
џ 8. Производные высших порядков
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 71
џ 9. Дифференциалы высших порядков
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 73
џ 10. Производные вектор-функции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 75
Г л а в а 5. Интегралы
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 81
џ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 81
џ 2. Основные свойства неопределенных интегралов
. .. .. .. .. .. .. .. .. . 84
џ 3. Два метода интегрирования
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 85
џ 4. Интегрирование рациональных функций
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 88
џ 5. Понятие определенного интеграла
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 94
џ 6. Суммы Дарбу
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 97
џ 7. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функ-
ции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 101
џ 8. Классы интегрируемых функций
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 103
џ 9. Свойства определенного интеграла
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 107
џ 10. Формулы среднего значения
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 111
џ 11. Формула НьютонаЛейбница
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 112
џ 12. Замена переменной и интегрирование по частям в опреде-
ленном интеграле
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 115
џ 13. Геометрические приложения определенного интеграла
. .. .. .. . 118
џ 14. Физические приложения определенного интеграла
. .. .. .. .. .. .. . 122
џ 15. Методы приближенного вычисления определенных интегра-
лов
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 124
Г л а в а 6. Числовые последовательности
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 134
џ 1. Теорема о стягивающейся системе сегментов
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 134
џ 2. Предельные точки последовательности
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 135

Оглавление
5
џ 3. Критерий Коши сходимости последовательности.
. .. .. .. .. .. .. .. . 140
џ 4. Второе определение предела функции.
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 142
џ 5. Критерий Коши существования предела функции.
. .. .. .. .. .. .. . 145
Г л а в а 7. Основные теоремы о непрерывных и дифференци-
руемых функциях
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 148
џ 1. Теоремы об ограниченности непрерывных функций
. .. .. .. .. .. . 148
џ 2. Равномерная непрерывность функции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 151
џ 3. Возрастание и убывание функции в точке. Локальный экс-
тремум
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 152
џ 4. Теоремы Ролля и Лагранжа
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 153
џ 5. Формула Коши. Правило Лопиталя
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 158
џ 6. Формула Тейлора
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 163
џ 7. Формула Маклорена и ее применения
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 167
Г л а в а 8. Исследование поведения функций и построение
графиков
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 177
џ 1. Точки локального экстремума и промежутки монотонности
функции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 177
џ 2. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
180
џ 3. Асимптоты графика функции
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 184
џ 4. Построение графиков функций
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 187
џ 5. Приближенное вычисление корней уравнений
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 189
Список литературы
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 198

Предисловие
Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта
чтения курса лекций по математическому анализу. В нем со-
держится первая часть курса, которая излагается на лекциях
в I семестре. В этой части рассматриваются основные вопросы
математического анализа функций одной переменной. Теорети-
ческий материал сопровождается иллюстрирующими примерами,
особое внимание уделяется приложениям математических по-
нятий и утверждений в физике. По ходу изложения читателю
предлагаются небольшие задания.
Пособие полностью соответствует действующей программе
курса математического анализа, представленный в нем материал
минимизирован таким образом, что его можно реально изложить
на лекциях в течение семестра при трех часах лекций в неделю.
Это отличает пособие от других известных учебников по мате-
матическому анализу для физических специальностей, в которых
наряду с основным материалом содержатся дополнительные раз-
делы.
Пособие рассчитано на студентов 1 курса физического фа-
культета и преподавателей, ведущих занятия по математическо-
му анализу. Оно может быть использовано и на других факуль-
тетах МГУ, а также в других вузах.
Предлагаемый курс лекций складывался на протяжении ряда
лет, при его формировании я испытывал благотворное влияние
известных учебников для студентов физических специальностей:
ѕОсновы математического анализаї В.А. Ильина и Э.Г. Позняка,
ѕМатематический анализї Л.Д. Кудрявцева, ѕКурс математиче-
ского анализаї С.М. Никольского. Первый из названных учеб-
ников долгие годы является основным учебником по математиче-
скому анализу на физическом факультете МГУ. Ссылки на него
в тексте лекций даются под номером [1].
При подготовке пособия к печати большую помощь, свя-
занную с компьютерным набором текста, оказали мне коллеги
по кафедре математики физического факультета МГУ, особенно
Н.Е. Шапкина, Д.А. Грачев, И.Е. Могилевский. Всем им я при-
знателен и благодарен.
В.Ф. Бутузов

Г л а в а 1
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
џ 1. Рациональные числа
Простейшими числами являются целые положительные числа
1, 2, ..., используемые при счете. Они называются натуральны-
ми числами, и люди знали их так много тысячелетий назад, что
знаменитый математик Леопольд Кронекер сказал: ѕБог создал
натуральные числа; все остальное дело рук человекаї. По-
требности практики привели к появлению простых дробей, т.е.
чисел вида
1
2
,
3
5
, и т.д. Значительно позднее индусы изобрели
важное число 0, а в начале нашей эры итальянцы открыли отри-
цательные числа. Мы будем исходить из того, что нам известны
рациональные числа и действия над ними.
Рациональное число это число, которое можно предста-
вить в виде отношения
m
n
,
где
m
целое, а
n
натуральное число.
Для рациональных чисел существуют три правила.
1) Правило сравнения: рациональные числа
m
1
n
1
и
m
2
n
2
, связа-
ны тем же знаком
(
>
,
=
или
<
), что и целые числа
m
1
n
2
и
m
2
n
1
.
Свойство множества рациональных чисел, состоящее в том,
что любые два рациональных числа связаны между собой знаком
>
, называется упорядоченностью этого множества.
2) Правило сложения:
m
1
n
1
+
m
2
n
2
=
m
1
n
2
+
m
2
n
1
n
1
n
2
.
3) Правило умножения:
m
1
n
1
·
m
2
n
2
=
m
1
m
2
n
1
n
2
.
Эти три правила обладают рядом свойств, например, правило
сравнения обладает свойством транзитивности знака
>
(если
a >

8
Гл. 1. Вещественные числа
> b
и
b > c
, то
a > c
) и знака = (если
a
=
b
и
b
=
c
, то
a
=
=
c
); правило сложения обладает перестановочным (
a
+
b
=
b
+
+
a
), сочетательным (
(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)
) и рядом других
свойств; правило умножения также обладает перестановочным и
сочетательным свойствами.
Рациональных чисел недостаточно для измерения различных
величин, в частности, длин любых отрезков. Так, длина диаго-
нали квадрата со стороной 1 не является рациональным числом.
Возникает потребность расширить множество рациональных чи-
сел и дополнить его так, чтобы иметь возможность измерять
длины любых отрезков.
Отметим, что любое рациональное число с помощью процесса
деления можно представить в виде бесконечной десятичной
периодической дроби. Например,
1
3
=
0, 3333 ...
=
0,
(
3
)
;
1
6
=
0, 16666 ...
=
0, 1
(
6
)
;
1
2
=
0, 500 ... 0
=
0, 5
(
0
)
.
Для отличных от нуля рациональных чисел, у которых десятич-
ная дробь имеет период, состоящий из одной цифры 0, существу-
ет иное представление в виде бесконечной десятичной дроби 
с цифрой 9 в периоде, например,
1
2
=
0, 5
(
0
) =
0, 499 ... 9 ...
=
0, 4
(
9
)
.
Как правило, для таких рациональных чисел используется спо-
соб представления в виде бесконечной десятичной дроби, у ко-
торой, начиная с некоторого разряда после запятой, все цифры
равны нулю.Но иногда используется представление с цифрой 9 в
периоде (см. џ4).
џ 2. Иррациональные числа
Кроме периодических существуют и непериодические деся-
тичные дроби, например,
0, 123456789101112 ... 100101102 ... ,
1, 414213 ...
(
число
?
2
)
,
3, 141592 ...
(
число
?
)
,
2, 7182818284590452353 ...
(
число
e
)
.

3. Сравнение вещественных чисел
9
Бесконечные непериодические десятичные дроби будем назы-
вать иррациональными числами.
Рациональные и иррациональные числа с введенными для
них ниже правилами сравнения, сложения и умножения называ-
ются вещественными (или действительными) числами.
Итак, любое вещественное число
a
можно представить в виде
бесконечной десятичной дроби
a
=
±
?
0
,
?
1
?
2
...
?
n
... ,
где из двух знаков плюс и минус берется какой-то один,
?
0
целое неотрицательное число,
?
k
цифры (
k
=
1, 2, ...).
Далее возникает задача введения для вещественных чисел
трех правил (сравнения, сложения и умножения) с сохранением
тех свойств, которые имели место для рациональных чисел.
џ 3. Сравнение вещественных чисел
При сравнении вещественных чисел договоримся использо-
вать для всех рациональных чисел, допускающих двоякое пред-
ставление в виде бесконечной десятичной дроби, только один
способ представления.
1) Если все
?
k
=
0, то независимо от знака перед дробью
число
a
считаем равным нулю:
a
=
0. Если хотя бы одно
?
k
6
=
0
и перед дробью стоит знак плюс, то число
a
будем называть
положительным и писать
a >
0, если же стоит знак минус, то
число
a
будем называть отрицательным и писать
a <
0.
2) Рассмотрим два вещественных числа: число
a
=
±
±
?
0
,
?
1
?
2
...
?
n
... и число
b
=
±
?
0
,
?
1
?
2
...
?
n
.... Пусть
a
6
=
0
и
b
6
=
0. Будем считать, что
a
=
b
, если их знаки одинаковы и
?
k
=
?
k
для всех
k
=
0, 1, 2, .... В противном случае считаем,
что
a
6
=
b
.
3) Пусть
a
>
0,
b
>
0,
a
6
=
b
. Тогда найдется такое целое число
k
>
0, что
?
i
=
?
i
(
i
=
0, 1, ... ,
k
?
1
)
,
?
k
6
=
?
k
. Будем считать,
что:
a > b
, если
?
k
> ?
k
,
a < b
, если
?
k
< ?
k
.
4) Пусть
a
6
0,
b >
0. Тогда будем считать, что
a < b
.
5) Пусть
a <
0,
b <
0,
a
6
=
b
. Будем считать, что:
a > b
, если
|
a
|
<
|
b
|
,

10
Гл. 1. Вещественные числа
a < b
, если
|
a
|
>
|
b
|
.
Здесь символом
|
a
|
обозначено число
?
0
,
?
1
...?
n
...
, если
a
=
±
±
?
0
,
?
1
...?
n
...
.
Задание. Докажите, что сформулированное правило срав-
нения вещественных чисел обладает свойством транзитивности
знаков
=
и
>
, и что в применении к рациональным числам оно
дает тот же результат, что и правило сравнения рациональных
чисел.
Из правила сравнения следует, что если
a
=
?
0
,
?
1
?
2
...
?
n
...
>
0,
то
?
0
,
?
1
?
2
...
?
n
6
a
6
?
0
,
?
1
?
2
...
?
n
+
1
10
n
(аналогичные неравенства имеют место для
a <
0), т.е. лю-
бое неотрицательное вещественное число
a
можно приблизить
рациональными числами с произвольной точностью до 1
/
10
n
(
n
любое натуральное число) по недостатку (
?
0
,
?
1
?
2
...
?
n
) и
по избытку (
?
0
,
?
1
?
2
...
?
n
+
1
/
10
n
). Аналогичные приближения
имеют место, если
a <
0.
Для введения правил сложения и умножения вещественных
чисел нам понадобится новое понятие понятие точных граней
ограниченного числового множества.
џ 4. Точные грани ограниченного числового
множества
Обозначим буквой
X
множество вещественных чисел, со-
держащее хотя бы одно число (такое множество называется
непустым). Любое число
x
?
X
будем называть элементом
множества
X
.
Определение. Множество
X
называется ограниченным
сверху (снизу), если существует число
M
(
m
) такое, что для
любого элемента
x
?
X
выполняется неравенство
x
6
M
(
x
>
m
)
.
Число
M
(
m
) называется верхней (нижней) гранью множе-
ства
X
. Для краткости вместо слов ѕсуществуетї и ѕдля любогої
будем использовать следующие логические символы (кванторы):
?
квантор существования (заменяет слово ѕсуществуетї или

4. Точные грани ограниченного числового множества
11
ѕнайдетсяї) и
?
квантор всеобщности (заменяет выражения
ѕдля любогої или ѕдля всехї).
Запишем данное определение ограниченного сверху множе-
ства с помощью кванторов.
Множество
X
называется ограниченным сверху, если
?
M
,
?
x
?
X
:
x
6
M.
(1.1)
Отрицание этого предложения в позитивной форме выглядит так:
Множество
X
называется неограниченным сверху, если
?
M
?
x
?
X
:
x > M.
(1.2)
Сравнивая (
1.1
) и (
1.2
), мы видим, что для построения отри-
цания предложения (
1.1
) нужно квантор
?
заменить на
?
, а
квантор
?
на
?
, и стоящее после двоеточия неравенство заменить
ему противоположным. Это правило можно использовать и для
построения отрицаний любых других утверждений, содержащих
кванторы
?
и
?
.
Задание. Запишите с помощью кванторов определение ограни-
ченного снизу множества и отрицание этого определения.
Множество
X
называется ограниченным, если оно ограниче-
но и сверху и снизу, т.е. если
?
M
и
m
,
?
x
?
X
:
m
6
x
6
M
.
Нетрудно
видеть,
что
такое
определение
эквива-
лентно
следующему:
множество
X
ограничено,
если
?
A >
0,
?
x
?
X
:
|
x
|
6
A
.
Пример. Множество
X
=
{
x
:
x <
0
}
ограничено сверху,
но не ограничено снизу. Очевидно, любое неотрицательное чис-
ло является верхней гранью этого множества. Таким образом,
ограниченное сверху множество имеет бесконечно много верхних
граней. Среди этих верхних граней в данном примере имеется
наименьшая число 0.
Определение. Наименьшая из верхних граней ограниченного
сверху множества
X
называется точной верхней гранью этого
множества и обозначается
sup
X
(supremum множества X) .
Иногда мы будем писать
x
= sup
X
.
Аналогично,наибольшая из нижних граней ограниченного снизу
множества
X
называется точной нижней гранью этого множе-
ства и обозначается
inf
X
(infinum множества X),

12
Гл. 1. Вещественные числа
другое обозначение:
x
= inf
X
.
Определение точной верхней грани можно сформулировать
иначе: число
x
называется точной верхней гранью ограниченного
сверху множества
X
, если:
1)
?
x
?
X
:
x
6
x
(это означает, что
x
одна из верхних
граней множества
X
);
2)
?
e
x < x
?
x
?
X
:
x >
e
x
(это означает, что
x
наимень-
шая из верхних граней).
Задание. Сформулируйте аналогичное определение точной
нижней грани.
Поставим вопрос: всегда ли среди верхних граней ограни-
ченного сверху множества имеется наименьшая? Ответ на этот
вопрос не очевиден. Например, множество
{
x
:
x >
0
}
не име-
ет наименьшего числа. Оказывается, что в отношении верхних
граней ограниченного сверху множества ответ на поставленный
вопрос положительный.
Теорема. Ограниченное сверху (снизу) непустое множество
имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Доказательство. Мы докажем теорему для точной верхней грани
(для точной нижней грани доказательство аналогично). Пусть
X
ограниченное сверху множество, т.е.
?
M
,
?
x
?
X
:
x
6
M
.
Могут представиться 2 случая:
1) среди элементов множества
X
имеется хотя бы одно число
x
>
0;
2)
?
x
?
X
:
x <
0.
В случае 1) будем рассматривать только неотрицательные
x
?
X
:
X
+
=
{
x
?
X
:
x
=
x
0
,
x
1
x
2
...
x
n
...
>
0
}
. Т.к.
x
0
6
M
,
то среди всех целых частей чисел из множества
X
+
имеется
наибольшее целое число. Пусть
max
X
+
{
x
0
}
=
x
0
.
Рассмотрим множество
X
0
=
{
x
?
X
:
x
=
x
0
,
x
1
x
2
...
x
n
...
}
.
Пусть
max
X
0
{
x
1
}
=
x
1
.
Далее рассмотрим множество
X
1
=
{
x
?
X
:
x
=
x
0
,
x
1
x
2
...
x
n
...
}
.
Пусть
max
X
1
{
x
2
}
=
x
2
.
И так далее. На
k
-ом шаге рассмотрим множество
X
k
?
1
=
{
x
?
X
:
x
=
x
0
,
x
1
...
x
k
?
1
x
k
...
}
.

4. Точные грани ограниченного числового множества
13
Пусть
max
X
k
?
1
{
x
k
}
=
x
k
.
Продолжая (мысленно) этот процесс, мы определим числа
x
k
для
всех
k
.
Рассмотрим число
x
=
x
0
,
x
1
...
x
n
...
и докажем, что
x
= sup
X
. Для этого нужно доказать, что:
а)
?
x
?
X
:
x
6
x
;
б)
?
e
x < x
?
x
?
X
:
x >
e
x
.
Докажем утверждение а). Так как
x
>
0, то для любого от-
рицательного
x
?
X
:
x
6
x
. Если же предположить, что су-
ществует неотрицательное число
x
=
x
0
,
x
1
...
x
n
...
?
X
, та-
кое, что
x > x
, то по правилу сравнения вещественных чисел
?
k
:
x
0
=
x
0
, ... ,
x
k
?
1
=
x
k
?
1
,
x
k
> x
k
. С другой стороны, в си-
лу написанных равенств,
x
?
X
k
?
1
, и, следовательно, согласно
определению
x
k
, выполняется неравенство
x
k
6
x
k
= max
X
k
?
1
{
x
k
}
.
Полученное противоречие показывает, что наше предположение
неверно. Итак,
?
x
?
X
:
x
6
x
.
Докажем утверждение б). Пусть
0
6
e
x
=
e
x
0
,
e
x
1
...
f
x
n
...
< x
=
x
0
,
x
1
...
x
n
...
.
Тогда
?
k
, такое, что
e
x
0
=
x
0
, ... ,
]
x
k
?
1
=
x
k
?
1
,
f
x
k
< x
k
. Возьмем
любое
x
?
X
k
. Оно имеет вид
x
=
x
0
,
x
1
...
x
k
x
k
+
1
... ,
и, следовательно, согласно правилу сравнения вещественных чи-
сел, справедливо неравенство
x >
e
x
. Таким образом, мы доказа-
ли, что
?
e
x < x
?
x
?
X
:
x >
e
x
.
Итак, для случая 1) мы доказали, что
x
= sup
X
. Обратимся
к случаю 2). Если все
x <
0, т.е.
x
=
?
x
0
,
x
1
...
x
n
..., то построе-
ние числа
x
=
?
x
0
,
x
1
...
x
n
... ведется аналогично, только теперь
нужно положить
x
0
= min
X
{
x
0
}
,

14
Гл. 1. Вещественные числа
далее нужно рассмотреть множество
X
0
=
{
x
?
X
:
x
=
?
x
0
,
x
1
...
x
n
...
}
и положить
x
1
= min
X
0
{
x
1
}
и т.д. Как и в случае 1) доказывается, что
x
= sup
X
. Теорема
доказана.
Задание. Докажите существование точной нижней грани у
ограниченного снизу множества.
Отметим, что точная верхняя (нижняя) грань ограничен-
ного сверху (снизу) множества может не принадлежать этому
множеству. Приведем пример: пусть
X
=
{
x
:
x <
2, 5
}
. Здесь
x
=
2, 4
(
9
) =
2, 5
6?
X
. Еще один пример:
X
=
{
x
:
1
< x
6
2
}
.
Здесь
sup
X
=
2
?
X
, в то время как
inf
X
=
1
6?
X
. Таким обра-
зом, нужно различать существование точных граней множества
X
и принадлежность их множеству
X
. Заметим также, что
в последнем примере множество
X
имеет наибольшее (макси-
мальное) число:
max
X
=
2
= sup
X
, но не имеет минимального
числа. Понятия
sup
и
inf
являются обобщениями понятий
max
и
min
. В отличие от
max
и
min
у ограниченного множества всегда
имеются
sup
и
inf
.
џ 5. Арифметические операции над вещественными
числами
Сложение вещественных чисел
Пусть
x
и
y
произвольные вещественные числа, и пусть
x
r
и
y
r
любые рациональные числа, удовлетворяющие неравен-
ствам:
x
r
6
x
,
y
r
6
y.
Рассмотрим множество
{
x
r
+
y
r
}
(здесь
x
r
и
y
r
складываются по
правилу сложения рациональных чисел). Оно ограничено сверху.
Действительно, если
x
и
y
рациональные числа, такие, что
x
6
x
,
y
6
y
, то в силу транзитивности знака
6
имеем:
x
r
6
x
,
y
r
6
y
, откуда
x
r
+
y
r
6
x
+
y
. Итак, множество
{
x
r
+
y
r
}
огра-
ничено сверху. Следовательно, оно имеет точную верхнюю грань.

5. Арифметические операции над вещественными числами
15
Определение. Суммой вещественных чисел
x
и
y
назовем
точную верхнюю грань множества
{
x
r
+
y
r
}
:
x
+
y
=
sup
x
r
,
y
r
?
Q
x
r
6
x
y
r
6
y
{
x
r
+
y
r
}
.
Здесь и далее буквой
Q
обозначается множество всех рациональ-
ных чисел.
Умножение вещественных чисел
1) Пусть
x >
0 и
y >
0 произвольные вещественные числа,
и пусть
x
r
и
y
r
любые рациональные числа, удовлетворяющие
неравенствам
0
< x
r
6
x
, 0
< y
r
6
y.
Рассмотрим множество
{
x
r
·
y
r
}
, где умножение
x
r
·
y
r
произ-
водится по правилу для рациональных чисел. Оно ограничено
сверху.
Определение. Произведением положительных веществен-
ных чисел
x
и
y
назовем точную верхнюю грань множества
{
x
r
·
y
r
}
:
x
·
y
=
sup
x
r
,
y
r
?
Q
0
r
6
x
0
r
6
y
{
x
r
·
y
r
}
.
2)
?
x
полагаем:
x
·
0
=
0
·
x
=
0.
3) Пусть
x
6
=
0,
y
6
=
0. Тогда полагаем (по определению)
x
·
y
=
|
x
| · |
y
|
,
если
x
и
y
одного знака,
?|
x
| · |
y
|
, если
x
и
y
разных знаков.
Можно доказать, что сформулированные правила сложения и
умножения вещественных чисел обладают такими же свойства-
ми, как и правила сложения и умножения рациональных чисел,
и что в применении к рациональным числам они дают тот же
результат, что и правила сложения и умножения рациональных
чисел.
Вычитание определяется как действие, обратное сложению:
разность чисел
x
и
y
это такое число
z
, что
y
+
z
=
x
. Можно
доказать, что
?
x
,
y
?
!
z
:
y
+
z
=
x
(Здесь знак
!
означает, что
такое число
z
единственно).
Деление определяется как действие, обратное умножению:
частное от деления
x
на
y
6
=
0 это такое число
z
, что
y
·
z
=
x
.
Можно доказать, что
?
x
,
?
y
6
=
0
?
!
z
:
y
·
z
=
x
.

16
Гл. 1. Вещественные числа
џ 6. Некоторые числовые неравенства
а)
?
a
:
?|
a
|
6
a
6
|
a
|
. Данное неравенство непосредственно
следует из правила сравнения вещественных чисел.
б)
?
a
,
b
:
|
a
±
b
|
6
|
a
|
+
|
b
|
(докажите самостоятельно).
в)
?
a
,
b
:
|
a
?
b
|
>
|
a
| ? |
b
|
.
Доказательство. Так как
|
a
|
=
|
(
a
?
b
) +
b
|
6
|
a
?
b
|
+
|
b
|
в
силу утверждения б), то
|
a
?
b
|
>
|
a
| ? |
b
|
.
џ 7. Геометрическое изображение вещественных чисел
Введем в рассмотрение координатную прямую (или ось ко-
ординат), т.е. прямую, на которой выбрано направление, начало
отсчета (точка 0) и масштабный отрезок
OE
, длину которого
полагаем равной 1 (рис.
1.1
).
( )