Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015

6.11 №7 өздік жұмыс тапсырмалары
№1
Беттерді тұрғызыңыз және олардың түрлерін аныктаңыз.
1.1  а)  4х2 
—у 2
 - 1 6 z 2 +16 = 0;
f!2  а)  Зх2 + 
у 2
 + 9z2 - 9  = 0;
1.3  a)  - 5 х 2 + 10у2 - z 2 + 20 = 0;
1
.4
 
a)  4х2 -  
8v2 + z 2 + 
24 
= 
0;
1.5  a) 
jc
2  
-  6j 2 + z 2  = 0;
1.6  a)  z = 8 - x 2 -4_y2;
1.7  a)  4x2 + 
6 y 2
 -  24z2  = 96;
1.8  a)  4x2 -  
5 y 2
 -  5z2 + 40 = 0;
1.9  a ) x 2 = 8(y2 +
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
0 a
1  a
2 a
3 a
4 a
5 a
6 a
7 a
8 a
9 a
1.20a 
1.21  a 
1.22a
1.23 a 
1.24a 
1.25a
1.26a
1.27a
1.28a
5z2 + 2_y2  = 1 Ox; 
x 2 -  
l y 2
 -  14z2 - 2 1  = 0; 
бх2 
- у 2
 +3Z2 - 1 2  = 0;
- 1 6x2 + 
у 2
 + 4z2 - 3 2  = 0; 
5x2 
- y 2 - I 5 z 2
 + 1 5 = 0 ;
6x2 + 
y 2
 + 6z 2 - 1 8  = 0;
-  7x2 + 14y2 -  z2 + 21 = 0;
-  3x2 + 
6 y 2
 -  z2 - 1 8  = 0; 
4X2 -  6>2 + 3z2 = 0;
z = 4 - x 2 
-  y 2;
4x2 + 5 /  - 1  Oz2 = 60;
9X2 -  
6 y 2
 -  6z2 + 1 = 0;
^ = 5(y2 j j |
4x2 + 3  y 2  = 12x;
8x2
- y 2 -
 2z2 -  32 = 
0; 
x2 - 6j 2 + z2 -12 = 0;
2x2 -  
3 y 2
 -  5z2 + 30 = 0; 
7x2 + 
2 y 2
 + 6z 2 -  42 = 0; 
- 4 x 2 
+ I 2y2
 - 3 z 2 + 24 = 0;
I
6)  x  + 4z = 0.
6)  x 2 + 2jy2 -  2z = 0.
6)  y 2 + 4z2  = 5 x 2.
6)  x 2 -  >■ = - 9 z 2,
6)  7x2 - 3 y 2 - z 2 = 21.
6)  4x2 + 9 y 2 + 3 6 z2  = 72.
6)  j/2 + 8z2  1 2 0 x 2.
6)  y  = 5x2 + 3 z 2.
6)  2x2 + 3y2 - z 2 =18.
6)  4z2 -  3y2 -  5
jc
2 + 60 = 0.
6)  2
y - x 2 + 4 z 2.
6)  8y2 + 2z2 = x.
6)  6x2 + y 2 -  3z2  = 0.
6)  x2  + 3z = 0.
6)  3x2 + y 2 -  3z = 0.
6)  y 2 + 2z2  = 6x2.
6)  x2 - 2 v = - z 2.
6)  4x2 - / - 3 z 2 =12.
6)  3x2 +1 l y 1 + 4z2  = 48. 
6)  7y2 + z 2 = 14x2.
6)  15y = 10x2 + 6v2.
^  
w
6)  2x2 + 3y 2 -  z 2  = 36.
6)  3x2 - A y 2 - 2 z 2 +12 = ( 
6)  y - 4 z 2  = 3 x 2.
6)  x - 3 z 2  = 9 y 2.
6)  2x2 + 3z = 0.
6)  2x2 + 4y 2 -  5z = 0.
6)  2 y2 + 
6z2 
= 
3x.
117

1.29 а)  Зх 
-
 9 у
2
 + г
2
 + 27 = 0;
1.30 а) 
И х 2 -
 63у
2
 1 2 
l z 2 
= 0;
б)  z 2 - 2 у  
=   —4
jc
2 .
б) 
Ъх2 -  Ту2 -  l z
2 1 42
№2
Берілген  сызыктардың  көрсетілген  өстерді  айналуынан  шығатын 
бетгердін түрлерін аныктаңыз жэне теңдеуін жазыңыз.
2
.
1
a
2
У
  =
2
z,  Oz;
б)  Ц р  + 4z
2
  = 36,  Oy.
2
.
2
a 4x
2
 --  3y
2
  = 12,  Я
6
) 
x
 = 1,  у  = 2,  Oz.
2.3
a x
2
 = - 3 z,  Oz;
6
)  3x
2
 + 5 z
2
  =15, 
Ox.
2.4
a 3 y 2 --  4z
2
 = 12,  Oz;
б) 
у
 = 4,  z = 2  Ox.
2.5
a
2
X
 
= 3y, 
Oy;
6
)  3jc
2
 1 4z
2
 = 24,  Oz.
2
.
6
a
2x2 ■
-  6у 2
1 1
2,  Ox,
6
)  y
2
 = 4z,  Oz.
2.7
a
x 2
 + 3z
2
  = 9,  1 1
6
)  x = 4,  z =  
6
,  Oy.
2
.
8
a
U> *
N>
1
-
 5z
2
  1 15,  Oz;
6
)  z = -
1
,  у  = 3, 
Ox.
2.9
a J
> 2
  = 3z,  Oz;
6
)  2jc
2
 J  3z
2
 1
6
,  Ox
2
.
1
0
a
y 2m
5jc
2
  = 5,  Oy;
6
)  y  = 3,  z = 1, 
Ox.
2
.
1
1
a x
2
 = - 4 z,  Oz;
6
)  y
2
 + 4z
2
 = 4, Oy.
2
.
1
2
a И
-
6
z
2
  = 30,  Ox;
6
)  x = 3,  z = - 2, Oy.
2.13
a
2
Z 
= 2y,  Oy;
6
)  2x
2
 + 3z
2
  = 
6
, Oz.
2.14
a > - ~4z,  Oz;
6
)  3y
2
+ z
2
  =
6
, Oy.
2.15
a 7x2 --  5y
2
  = 35, 
Ox,
6
) 
x
 = -1,  у  = - 3 , Oz.
2.16
a
2x2 :■
- z ,   Oz;
6
) 
x 2 + 4z 2
 = 4,  Ox.
2.17
a
l y 2 -
- 5 z  = 10,  Oz;
б)  у  = 2,  z = 
6
, Ox.
2.18
a
2
X  =
- 5
y,  Oy;
6
)  2x
2
 + 3z = 
6
, Oz.
2.19
a
X2 -
9y 2
  = 9,
6
)  3y
2
  = z, Oz.
2
.
2
0
a
x 2
 + 
2z
 = 4,  Oz;
6
)  x = 3,  z = —1, Oy.
2
.
2
1
a 15x2 1 1 1  
=  
1, 
Ox ;
6 ) 
x 
=  
3,  у 
=  
4, Oz.
2
.
2
2
a
5z,  Oz;
6
)  3x
2
 + 7y
2
  = 21, 
Ox.
2.23
a 15 
y 2 -  x 2
 
=  
Қ,  Oy;
б)  у  = 5,  z 
=  
2, Oy.
2.24
a
5z =
- * 2, Oz;
6
)  3y
2
 + 18z2 =1, Oy.
2.25
a 3x
2
 
-
- 
8
y
2
 1 288, 
Ox;
6
)  x 
=  
5,  z 
=  
-3 , Oy.
2.26
a
2 y 2 -
1 72,  Oz;
6
) 
6
y
2
 
+  
5z
2
 
=  
30, Oy.
118

2.27  а)  5х
2
 
-  
Т у 2 
=
 35,  Ох,
2.28  а)  Зх
2
  = 
-
2
z,  Oz;
2.29  а)  5
у 2 -
 
8
z
2
 = 40,  Oz;
2.30  а)  Зх
2
  = t4j>,  Oz;
б)  х = 2,  _у = -4 , Oz.
б) 
8
х
2
 
+
1
 lz
2
 
1
8
8
, Ох
б) 
у - Ъ ,
  z = 1, 
Ох.
б)  4х
2
 + 3z
2
 j  12, Oz.
6.12  Өздік жүмыс тапсырмаларын  шыгару үлгілері
№ 1
Берщген бетгерді тұрғызыңыз және олардын түрлерін аныктаңыз.
а ) -
л 
2
 
1
 
2
+  4 у 2 +
 
z 2 - 2
 =  
0
;
о 
2
б )   З х 2 +
^ -  —
2
 
4
Шешуі.  а)  Теңдеуді канондык түрге келтіреміз
I 
7__ . 
2
 
2
і n sfl
= 
0
X
----- +
12
1
2
4
Бұл  бізге
47-сурет
%
48-сурет
теңдеуін
•суретте  көрсетілгендей  орналаскан  гиперболоидтың
ның «өнеш» эллипсінің жарты өстері
О Я = 
2
/
2
,  О С =  
2
болады.
түрге келтіремі
4
4
-
і і
-
о
.
1 
6 
12
Бұл  48-суретте  көрсетілгендей,  екінші  ретті  конустың  теңдеуі  бо 
Оның 
z — const
  жазыктыктарымен кимасы  эллипстср болып табылады.
119

№2
Айналудан шыккан беттердің теңдеулерін жазьщыз:
1
) 
z - - - y 2
  параболасы:
2
 
2
III 
у
.
2
 
)   һ —  = 
1
  эллипсі:
64 
4
а) 
Оу
  өсін айналады;
б)  Oz  өсін айналады;
a) 
Oz
  өсін айналады;
б) 
Оу
  өсін айналады
сэйкес келесі теңдеулерді аламыз:
теңдеуін
49-сурет
ч
,
2
 
2
 
1
 
2
а)  ±  дг 
+ zz
  = —  
у   9
2
(49-сурет));
б) 
2 = ~ ^   *2 +У2
50-сур ет
ретп
> 
z = 
-
~
(
^
2
 
+У2)
 (айналу параболоиды ( 50-сурет)).
2.  Бершген  эллипстің 
Oz
  жэне 
Оу
  өстерін  айналуынан  келесі 
теңдеулерді аламыз:
а)
І  I   в
X
  4- 
у
64
2
 
2
 
2 
+ Т  = 1’ 
~  + — + — = 
1
-
4 
64 
64 
4
Бұл  Oz  өсі  бойымен  кысылынкы  айналу  эллипсондын  береді,  оның 
негізгі кимасындағы жарты өстері 
ОА = ОВ =
 
8
, 
ОС = 2
  болады (51- сурет);
\
\
51 -сурет
120

64 
4 
4 
64 
4
Бұл 
Оу
 өсі бойымен созылынкы айналу эллипсоидын береді, оның
негізгі кимасындағы жарты өстері 
ОА  =ОС
  =2, 
ОВ
 
=
8
 болады (52-сурет).
52-сурет
VII. М атематикалық талдау
7.1  Жиындар және оларға амалдар қолдану
1 
-анъщтама.
 
Қандай  да  бір  кұбылысты  зерттеу  үдерісі  кезінде  ең 
кемінде екі түрлі  мэн кабылдайтын  шама 
айнымалы шама
 деп,  ал тек бір мэн 
кабылдайтын шама 
тұрақты шама
 деп аталады.
Егер  айнымалы  шаманын  кабылдайтын  барлык  мәндерінің  біріктіретін 
болсак, онда біз осы шаманын 
мэндер жиынын
 аламыз.
2-анықтама.
  Табиғилығы  кез  келген  кандай  да  бір  объектілердің 
жиынтығы 
жгіын
 
леп,  ал  оған  кіретін  объектілер 
жиынның 
элементтері
 деп
аталады.
Жиындар латын  алфавитінің  үлкен  әріптерігіен,  ягни  Л,Я,...,АГ,У,...  деп, 
ал,  олардын  элементтері  латын  алфавитінін  кіші  әріптерімен,  ягни
а,Ь,...,х,у,*..
  деп  белпленеді.  Егер 
х
  элементі 
А
  жиынында  жататын  болса,
онда  ол 
х  е А
  деп  белгіленеді.  Егер 
х
  элементі 
А
  жиынында  жатпайтын 
болса, онда ол 
х € А
  деп белгіленеді.
А а  В
  түріндегі  белгі, 
А
  жиынынын 
В
  жиынына  енуін  көрсетеді,  ягни 
егер 
х
 е 
А
  болса,  онда 
х
 е 
В
  болады.  Бұл  жагдайда 
А
  жиынм 
В
  жиынынын 
ішкі  жиыны
  деп  аталады.  Кейбір  кезд^  мұндай  түжырымды 
В
 з  
А
  түрінде 
жазуға болады.
с , з   -белгілері енгізу белгілері болып табылады.
3
-анықтама.
  Егер  жиын  бірде-бір  элемент  кабылдамайтын  болса,  онда 
ол күр (бос) жиын деп аталады және 
0
  белгісімен белгіленеді.
Құр  жиын  кез  келген  жиыннын  ішкі  жиыны  болып  табылады,  яғни
0  cr 
А, 
мұндағы 
А 
кез келген жиын.
Жиындарды  белгілеу  кезінде  көбінесе  фигуралык  жакшаны  колданып, 
онын  ішіне  әр  түрлі  әдістермен  осы  жиынды  кұрайтын  элементтері 
орналастьфамыз.  Мысалы 
N
 = {1,2,3,...}  өрнегі  натурал  сандардын  жиынын,
ал  Z = 
2, — 1,0,1,2,...}  бүтін сандар жиынын аныктайды.

Егер 
Acz В
  жэне 
В а  А
  болса,  онда 
А
  жэне 
В
  жиындары  тең  деп 
аталады, жэне 
А — В
  болып жазылады.
7.2  Ж иы ндарга  ам алдар колдану
Жиындар  үшін  касиеттері  көп  ретте  сандарды  косу  жэне  кебейту
амалдарының  касиеттеріне сэйкес  келетін  арифметикалык косу жэне кебейту 
амалдарын енгізуге болады.
Кездейсок 
А
  жэне 
В
  жиындары берілсін.
4
-анъщтсшй.  А
  жэне 
В
  жиындарынын  косындысы  немесе бірігуі деп 
А 
жэне 
В
  жиындарының  элементтерінен  тұратын 
С
  жиынын  атаймыз,  жэне 
м ы натү р д ежазамыз:  С = 
А
 + 
В
  немесе 
C = A
kj
B
  (53-сурет).
Қосу амалынан 
А
 + 
А
 = 
А
  болатындыгын оңай көреміз.
53-сурет 
54-сурет
5-анықтама.  А
  жэне 
В
  жиындарынын  көбейтіндісі  немесе  киылысуы 
деп 
А
  жэне 
В
  жиындарынын  ортак  элементтерінен  тұратын  С  жиынын 
атаймыз, жэне мына түрде жазамыз: 
С -  АВ
  немесе 
С = А п  В
  (54-сурет).
Егер 
АВ
 = 0   болса,  онда 
А
  жэне 
В
  жиындары киылыспайтын  жиындар 
деп  аталады.  Жиындардың  теңдігі  туралы  түсінікті  пайдалана  отырып,  мына 
теңдіктерді дэлелдеуге болады:  1) 
А 
+ В = В + А , 2 )   (А + В)С = АС
 + 
В С
,
3) 
(АВ)р
 = 
А (в с ),
 
4
) 
(А
 + 5
)+ С = А
|
( в
| с ) .
6
-анықтама.  А
  жэне 
В
  жиындарынын айырмасы деп 
R = A \ B
  жиынын
айтамыз,  бұл  жиын 
В
  жиынына  кірмейтін,  тек 
А
 
жиынын 
элементтерінен 
тирады (55-сурет).
55-сурет
7.3 Математикалык логика символикасы
Математикада  кандай  да  бір  тұжырымдарды  беру  кезінде  олардың 
жазылуын кыскарту үшін  математикалык логика символикасы колданылады.
Егер  тұжырымдарды 
а,/3
 
белгілесек,  онда 
а  => (5
  белгісі:  « а  
тужырымынан 
р
  тұжырымы  шыгады»  деген  ұгымды  білдіреді.  Ал 
а  
/3 
белгісі 
а
  жэне 
/3
  тұжырымдарының эквиваленттілігі, ягни 
а
  тұжырымынан
122

н
 
тұжырымынын 
жэне 
р
 
тұжырымынан 
а
 
түжырымынын 
шығатындығын білдіреді.
V x e A : a
  жазбасы:  «кез  келген 
х е Л
  элементі  үшін 
а
  тұжырымы
орындалады»  деген  ұғымды  білдіреді.  Мұндағы  V  символикасы  жалпылама 
квантрасы болып табылады.
Зу е В :J3
  жазбасы: 
« у  
g
 В
  элементі  бар  болып,  ол  үшін 
р
  тұжырымы
орындалады»  деген  ұғымды  білдіреді.  Мұндағы  3  символикасы  табылу 
«•квантрасы болып табылады.
а
  символын 
а
  тұжырымын  теріске  шығару  деп  түсінеміз,  немесе 
кыскаша 
« а
  тұжырымы емес»
V* € 
А :а
  тұжырымын теріске шығаруды карастырамыз.
Егер  беріліп  отырған  тұжырым  орындалмайтын  болса,  онда 
а 
тұжырымы  барлык 
х е А
  үшін  орындала  бермейді,  яғни 
х
 е 
А
  элементі  бар
болып, ол үшін 
а
  тұжырымы орындалмайды: 
У х е  А :а
  о  
Зх
 е  
А : а
.
Дэл осы сиякты 
Зу
 е 
В : /}
 о  Vjc е  
В :(}
  болады.
Сонымен  бершген,  кұрамында  V  жэне  3  таңбалары  бар  логикалык 
формуланы теріске шығару үшін,  V  таңбасын  3  таңбасына, ал  3  таңбасын  V 
таңбасына  алмастыру  керек  жэне  теріске  шығару  сызығын  кос  нүктеден 
кейінгі касиетке кою кажет.
Мысалы,
3
М V x e  A : f ( x ) S  М
тұжырымын теріске шығару,  м ьта түрде болады
3A/Vx € 
A
 :
f { x
У< 
M
 <=> VA/3jc g 
A :f[xj< M  <=>
 VA/Здг e  
A
 :
f ( x ) >  M .
7.4  Н акты  сандар
Сан  туралы  түсінік  математикадағы  алғашкы  жэне  негізгі  түсінік  болып 
табьыады.  Бұл  түсінік  тарихи  өрлеудін  ұзак  жолынан  өтті.  Мысалы,  натурал 
сандар жиыны
ЛГ = {і, 2
,
3
,
.
.
^
заггарды есептеумен Эайланысты пайда болса, ал 
бүтіи сандар
Z
 = 
3 ,-  2,-1,0,1,2,3,...}
мен 
рационапъдъщ сандар 
Q
 = j —j ,  мұндагы 
m,n e Z 9n *
 0
жиыны  тэжерибелік  кажеттіліктен  жэне  математиканың  өркендеп  дамуы 
негізінде пайда болды.
Рациональдык  сандарды  жазу  кезінде  бірынгайлык  болу  үшін
кыскартылмайтын 
т
  бөлшегін кабылдаймыз.
п
Рациональдык  сандар  кесінділерді  өлшеудің  манызды  тэжірибелік 
есептерін  шешуді  толығымен  камтамасыз  ете  алмады.  Ұзындыктары
123

рациональдык  сандар  болмайтын  кесінділер  де  табылады. 
Мысалы, 
кабырғалары бірге тең квадраттың диоганалы.
Сондыктан,  осыған  байланысты  рациональдык  сандардан  баска  да 
сандарды, яғни 
ирраццоцалъдъщ
 сандарды енгізудің кажетгілігі туды.
Кез  келген  рациональдык  немесе  иррациональдык сандар 
нақты сандар
деп аталады.
Накты сандар жиынын 
R
  аркылы белгілеп, оларды 
шексіз ондык
 бөлшек 
түрінде береміз:
а = ±а09а}а2ау ...
Мұндагы 
а0
 -   теріс  емес  бүтін  сан,  ал 
ак  (к >
 0)  овдык  цифрлар.
Мұндай
А 
’
--- ж--- J ---------
жазу кезінде  +  таңбасы кобінесе жазылмайды.
Рациональдык  сандарды  кысқартылмайтын  —  бөлшегі  түрінде  жазу
кезінде,  калдык  кайталанатын  болса,  онда  біз 
периодтық  шексіз  ондық 
оөліиек
 аламыз.
І IRШ
І Ш
  ° НДЫК  бөлшектеРмен  бірге  периодты  емес,  мысалы
0
,
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
...; 
0
,
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
...;  сандары табылады.
Тағы  бір  мысал  келтірелік,  егер  белгілі  ереже  бойынша  2  санынын
түбірін  табатын  болсак,  онда  аныкгалған 
2
  =1,41...  периодты  емес  шексіз 
ондык бөлшек аламыз.
„ 
Периодты  емес  шексіз  бөлшекті 
иррационалъ  сан
  деп
П О   Ж Ж Ж  
Ш Ж
  Ж  
a
 v   *   a
 
m.  a  w   « м  
а
 
—  
-
түрде
мұндағы
я  = + а
0
, а
1
а
2
а 3..., 
(
7
.
1
)
т е ң д ік п ң
Кез  келген  нөлге  тең  емес  накты  санды  (7.1)  формула  түріндегі  шексіз 
ондык  бөлшекпен  жазуға  болады.  Егер  ол  рациональды  болса,  онда  онын
V ТТ у 
*4 V/* ^ w 
ш шж
 
»  __ 
. 
•
ондык
------- —
— w 
и^/рицгіипалодіи
оолса, онда периодты емес шексіз ондык бөлшек аламыз.
7.5 Теңдеулер жэне теңсіздіктер ан ы қтам асы
Периоды  9-ға  тең  емес  шексіз  ондык  бөлшек  түрінде  аныкталған 
а = ± а 09а ]а 2а 3...
  жэне 
b = ±P0,P1J32P3...
  болатын  екі  санды  карастырамыз. 
Егер  берілген  екі  санның таңбалары  бірдей жэне 
а к  -  (Зк  (k
 = 0,1,2,...)  болса, 
онда олар тең деп есептелінеді.
Берілген 
а
  жэне 
Ь
  он сандар болсын.  Егер 
а 0
  < Д ,  немесе кандай да бір
теРіс 
емес 
бҮТІН 
I
 
индекс
і 
табылып, 
а к
 
= 
fit  (к
 
= 0,1,2,...,/)  теңдігі
орындалып  жэне 
а м   < р м
  теңсіздігі  орындалса,  онда  аныктама  бойынша 
а < Ъ
  немесе 
b > а
  деп жазылады.
124

Аныктама бойынша 
а
 
> О  немесе 
а
 
< О  болуы  оның,  яғни 
а
 
санының  оң 
немесе  теріс  болуынан  тәуелді.  Егер 
а
 < О, 
b
 
>  0 
немесе 
а,Ь <
 0 
жэне 
а  >  Ъ 
болса, онда аныктама бойынша 
а 
< b
  болады.
Егер 
а 
= ± а
0
, а , а
2
а 3... 
болса, 
онда 
аныктама 
бойынша
- а  = + а 0Уа }а 2а у
...,  ал  абсолютгік  шамасы 
а  = + а 0, а |а 2а 3...= а 0, а , а 2а 3... 
болады. Сонымен,
— а  — а  —
а (а >
 
0
),
— 
а (а <
 
0
).
Абсолюттіқ шамалар үшін келесі теңсіздіктер орындалады:
а  < в
теңсіздігі мына екі теңсіздікке эквивалентті
—
е < а < е
Бүдан
a - b   <£
теңсіздіп
&—
s < а < b+€ 
тенсіздіктеріне эквивалентгі. Дэл осы сиякты
а — Ь  < е
тенсіздігі де
b — е < a < b + s
теңсіздіктеріне эквивалентті.
Сонымен бірге мына теңсіздіктер де
a + b  <  a
  + 
b
 , 
a — b >  a — b  .
1.6 Кесінді, интервал, шектеулі жиындар
I ф
Берілген 
а
  және 
Ь
  сандары 
a <Ь
  тенсіздігін  канағаттанлырады.
S-анықтама.  а < х < в
  тенсіздігін  канағаттандыратын 
х
  сандарынын 
жиынын,  (шеттері 
a
, 
b
  боватын) 
кесінді
  немесе 
сегмент
  деп  аталады  жэне 
мына түрде белгіленеді:  [о,б].
9-аныцтама.  а < х < в
  тенсіздігін  канағаттандыратын 
х
  сандарынын
жиынын,  (шеттері 
а
, 
Ъ
  болатын) 
интервал
  немесе 
ашық кесінді
 деп  аталады 
жэне мына түрде белгіленеді: 
(a,b).
10-анықтама.  а < х < в
  немесе 
а < х < в
  теңсіздігін  канағаттандыратын 
х
  сандарынын  жиынын  сэйкес 
[a, b)
  немесе 
(a,b]
  аркылы  белгілеп,
жартыинтервал
 немесе 
жартылайашық кесінді
 деп аталады.
Көбінесе 
шектеусіз 
интервалдар
 
жэне 
шектеусіэ 
жартылай 
интервалдар
 деп аталатын жиындарды карастырамыз:
О   (—°о;°о), 
2)  (—ас;а],  3)  [а;оо),  4) 
( - о с
;а ),  5)  (а;
со) 
мұндағы 
- о о  
жэне  оо
символдары шексЬдікгер, ал 
а
  акырлы сан.
125

Сонымен,  жоғардағы  айтылғандардан 
[а ,б ] 
кесіндісінің  шеттері  акырлы 
сандар, 
(a,b)
  интервалының  шеттері  акырлы  сандар  немесе  шексіздік  болуы 
мүмкін. 
[ayb)
  жартыинтервалының 
а
  шеті  эр  кезде  акырлы,  ал 
Ь
  шеті 
акырлы сандар  немесе шексіздік болуы  мүмкін 
( б < о о ) . 
Дәл  осы  сиякты 
(a,b\ 
жартыинтервалының 
а
  шеті  акырлы  сандар  немесе  шексіздік  (-оо 
<а) 
болуы мүмкін, ал 
Ъ
  шеті эр кезде акырлы болады.
Егер 
а
  жэне 
Ь
  акырлы  жэне 
а< Ь
  болса,  онда 
Ь - а
  карастырып 
отырган 
\а,Ь\
  кесіндісінің,  немесе 
(а,Ь)
  интервалының,  немесе 
\a,b)9  (a,b\
жартыинтервалдарының 
узындыгы
 деп аталады.
Егер 
а
  жэне 
Ъ
  накты  өстің  кез  келген  нүктесі  болса,  онда 
Ь - а   а
  жэне
Ь
  нүктелерінің аракашыктыктары деп аталады.
Берілген 
c ( a < c < b )
  нүктесін  кабылдайтын  кез  келген 
(a9b)
  интервалы
с  нүктесінің аймагы
 деп  аталады.  Дербес жагдайда 
с  нүктесінің  е -аймагы 
деп 
е >
 О  болгандагы 
(с
 — 
+ 
е)
  интервалын айтамыз.
Айталык 
X  = {х}
  накты сандардың кездейсок жиыны болсын.
Егер 
М
  накты  саны  3  табылып,  Vx е  
X  :х < М
  орындалатын  болса,
онда 
X
  жиыны 
жогарыдан  шектелген
,  ал  егер 
т
  накты  саны 
3
  табылып, 
Vх
 G 
X  :х>т
  орындалатын  болса,  онда 
X
  жиыны 
тэменнен  шектелген
  деп
аталады.  Ал 
М
  жэне 
т
  сандары 
X
  жиынынын  сэйкес 
жогаргы
  жэне 
төменгі
  шегі  деп  аталады.  Сонымен  бірге 
М
  саны 
X
  жиынынын 
мажоранты
 деп аталады.
Егер 
X
  жиыны  жогарыдан  да,  томенненде  шектелген  болса,  онда  ол 
шектелген
 деп аталады.
Егер 
X
  жиыны  шектелмеген  болса,  онда  ол 
шектеусіз
  деп  аталады.
Оны  мына  түрде  аныктаймыз:  егер 
\ / М >
 0  3
х0 е Х : х 0  > М
  орындалатын
болса, онда 
X
  накты сандар жиыны шектеусіз.
7.7 Тізбекің шегі
7.7.1  Тізбекің  шегі туралы түсінік
Айталык  эрбір 
п
 = 1,2,3,...  натурал  санына  кандай  да  бір  заңдылыкпен 
сэйкес  накты  немесе  комплекс 
х п
  саны  койылса,  онда  х ,,х
2
,х3,...  сан  тізбегі 
немесе кыскаша тізбек берілген дейміз жэне мына түрде белгілейміз:
{ Х
П
  } “
  1 ^ 1  
9 Х
2   * Х
Ъ
> • • • } •
{хл}  тізбегінің 
хп
  жеке  сандары  оның 
элементтері
  деп  аталады.
Тізбекте 
пФт
  болганда 
хп
  жэне 
хт
  тізбектің  элементтері  ретінде  өзгеше
болғанымен сандар ретінде өзара тең болуы мүмкін 
хп
  = 
х
т .
Бүл бөлімде накты сандар тізбегін карастырамыз.
Тізбектің мысалдары:
126

6
.  {-1,2,-3,4,...}=  |Н )Г и}.
Егер  {дгя}  тізбегінің  барлык  элементтері  бірдей  тек 
а
  санына  тен  болса,
онда ол 
тұрацты
 деп аталады.
Жогарыда  келтірілген  мысалдарда  1,  2,  4  мысалдар  шектелген,  ал  3,  5, 
6
 
мыс ал дар шектеусіз болады.
И
-анъщтама.
  Егер  кез  келген 
он  е > 0
  саны  үшін,  осы  £-нан  тәуелді
болатын  В
п0 - п 0\е)
  саны  табылып,  барлык 
п > п0
  болганда, 
хп
  -  
а  <е 
теңсіздігі  орындалса,  онда 
а
  саны 
хп
  тізбегінін  щегі  деп  аталады  жэне  мына 
түрде жазылады:
limjcw = lim
хп = а
  немесе 
хп
 
—> а.
Сонымен  {xn}  тізбегінің 
а
  санына  тен 
шегі  бар
  немесе  {*„}  тізбегі 
а 
санына 
үмтылады
  деп  аталады.  Баска  сөзбен  айтканда 
хп
  айнымалысы 
немесе 
{хп
 }  тізбегі 
а
  санына 
жинақталы
 деп те аталады.
Егер  {*„}  тібегі  кез  келген 
п
  натурал  саны  үшін  тұракты 
а
  болатын 
болса, ягни 
х
  = 
a  V n e N
  орындалса, онда 
limxn
  = lim 
а -  а
.
Егер  lim
х  =а
  болса,  онда  limx„+) 
=а
  болады  жэне  кері  тұжырымда 
дұрыс  болады. 
Бұл  дегеніміз,  егер 
xn  -  а  < s   \/п > п 0
 
болса,  онда
В щ
-  
а  < е
  Vw > 
п0 -
1  болады жэне керсінше.
Жогарыда келтірілген  1-ші мысалдың айнымалысының шегі 0-ге тең:
lim —= 0. 
(7.2)
% 
п
Шынымен де, кез келген 
е >
 0  санын бере отырып,
1
 
л 
1
 
1  
■—  
0
 = — 
<е
  немесе 
—<п
п 
гі 
€
тенсіздігін  шешеміз.  Сонымен  кездейсок  £ > 0   саны  үшін 
n0 =n0( s ) = -
е
табылып, барлык 
п > п0
  үшін
. 
,  t
 
І
-
-
0
 = - < £
п 
п
теңсіздігі орындалады, бұл (7.2) теңдігінің растыгын көрсетеді.
Ал, 4-ші мысалдагы айнымалының шегі  1-ге ұмтылады:

Шынымен де,  мына теңсіздікті кұрастырамыз:
1
 
w — li 
1  
1
--------
= - < € .
n
  i 
n
Жоғарыда  көргеніміздей,  егер 
n > n Q= —
  болса,  онда  кез  келген  £ > 0   үшін
• 
•
осы теңсіздік орындалады.  Бұл (7.3) теңдігінің растығын көрсетеді.
1-теорема.
  Егер  {*„}  тізбегіндегі 
хп
  айнымалының  шегі  бар  болса,  онда 
ол жалгыз болады.
2-теорема.
  Егер 
{хл
}  тізбегі  жинакталатын  болса,  яғни  шегі  бар  болса, 
онда ол шектеулі болады.
3-теорема.
  Егер 
хп
  айнымалының нөлге тең емес 
а
, ягни 
а
 
0  шегі бар 
болса, онда 
п
 > 
п0
  үшін 
хп  > —
  болатын,  кандай да бір 
п0
  табылады.
үшін
а
2
егер 
а
 < 0  болса,  онда 
хл
  < —  болады.  Сонымен,  кандай  да  бір  нөмірден
бастап, 
хп
  айнымалысы 
а
 таңбасын сақтайды.
4-теорема.
  Егер  барлык 
п =
 1,2,3,...  үшін 
хп -+а,  y n -+b
  жэне 
хп < у п 
болса, онда 
а < Ъ
  болады.
1 
-салдар.
 
Егер  жинакталатын 
{*„}  тізбегінің  элементгері 
[a,b]
кесіндісінде жатса, онда оның шегі де осы 
\ayb\
  кесіндісіне тиісті болады.
5-теорема.
  Егер 
хп
  жэне 
у п
  айнымалыларының  шегі  бірдей 
а
  санына
ұмтылса  жэне 
xn 
 = 1,2,3,...)  теңсіздігі  орындалса,  онда 
z n 
айнымалысы да 
а
  санына ұмтылады.
6-теорема.
  Егер 
хп
  -> 
а
  болса, онда 
хп
  -> 
а
  болады.
7.7.2  Шегі бар ай н ы м алы ларға ам алдар қолдану
Айталык, 
хп
  жэне 
у п
  аркылы  сэйкес  {хи}  жэне 
{уп
 ]  тізбектерін 
камтитын  айнымалыларды  белгілейтін  болсак,  онда  аныктама  бойынша,
+ 
У„
  косындысы, 
хп
  -  
у п
  айырмасы, 
хпу
  көбейтіндісі  жэне  —   катынасы
У п
сэйкес 
{хп
  + 
у
п}, 
{дгя  -  
у
п}, 
{хпу п
}  жэне 
\
 —  I  тізбектерін  камтитын
У п
айнымалылар 
болады. 
Айнымалылардың 
катынасы 
кезінде 
барлык 
п
 = 1,2,3,...  үшін 
у п *
 0  деп карастьфамыз.
Келесі түжырымдардың орындалуы дұрыс болып табылады: