Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015
жүктеу/скачать 12,35 Mb. Pdf көрінісі
|
| § / ( * + A r ) - /( x ) .
Ax Ax 4) осы катынастың Дх —> 0 үмтылғандагы шегін табамыз: / = lim Щ lim A y — >0 Дх Ад:— Я) Дх Енді кейбір элементарлык функциялардың туындысын табуда осы эдістерді қолданамыз. 24 -теорема. у = х п функциясынын, мұндағы и - о ң бүтін сан болгандагы туындысы пх"~1 тен, ягни егер у = х" болса, онда v' = wcn~l болады. * і і н, г Д э л е л д е у . Берілгені у = х п функциясы. 1) Егер х аргументі Дх өсімшесін кабылдаса, онда у + Ау = (х + Ах)п болады. \ ■ • . .. ^ 2) Ф и к ц и я өсімшесін есептеу кезінде Ньютон биномы формуласын колданамыз, сонда 1 111К - 1 1Й f e f f l j Ё Ш Я Н + ...+ (ЬсГ - i " 1 1*2 немесе 148 Ay = п х п 1 A x -f - — jc" 2 (Д х )2 + ...+ (A jc )'7 болады. 3) Төмендегі катынасты табамыз: Д у 1 w(w-l) w _ 2 А / А Ч „ _ 1 = пх н— ----- - х Дх + ...+(Дх) Ах 1 2 v ; 4) Енді осы катынастың Д х—>0 ұмтылғандағы шегін табамыз у = lim — = lim А*-*0 Ax Дг—»0 пх" 1 + —” ^ х" 2Дх + ...+ (Д с )',“| 1-2 v ' Я— I = ПХ л-1 сонымен дэлелдеу керек болғандай У = пх болады. 25-теорема, sinx функциясынын туындысы c o s j c функциясы, ягни егер >" = sin х болса, онда У = cosx болады. Д э л е л д е у . Берілгені у = sin х функциясы. 1) Егер х аргументі Ах өсімшесін кабылдаса, онда у + Лу = sin(x + Ах) болады. 2) Функция өсімшесін табамыз: А у = sinfx + A x )-sin х = 2 . х + Д х - х х + Дх + х I . Дх I Ах 2 cos = 2 sin — cosi х + 2 Л 2 3) _ . Ах ( Дх 2 sin cos х + — Av 2 Л 2 Ах Ах . Дх sin --- ( 2 J Ах - — cos X + -------- Дх Л 2 2 Д> . Дх sin --- 2 4) у = lim — = lim ■ — - • lim cos Дг - * 0 Ax Дг - * 0 ДХ Лг - » 0 чаИ ■■аявияві т ш т іШ 2 х + \ Дх 2 / бұл теңдіктің оң жағындағы бірінші көбейткіш, бірінші тамаша шек негізінде . Дх sm — lim --& Ш = 1 Лі->о Дх 2 тең, сондыктан V = lim cosi jc + ^ д*-*о I 2 = COSJC, ягни болады. V = COSJC Дэл осы сиякты келесі теоремалардыда дэлелдеуге болады. егер v = cos* болса, онда у 9 = - sin jc болады. туындысы ягни 149 21-теорема. Тұрактының туындысы нөлге тең, яғни егер у = С , мұндағы С = const болса, онда у 9 = 0 болады. 28 -теорема. \oga х функциясынын туындысы * loga е = - х х \п а функциясына тең, ягни егер у = logtf х болса, онда у = loga е = — х x ln a болады. 29-теорема, tgx функциясының туындысы ■ функциясына тен, cos X ягни егер у = tgx болса, онда у = — — болады. cos" х 30-теорема, ctgx функциясының туындысы - — у функциясына тен, j • sin JC ягни егер у = ctgx болса, онда у = ----- — болады. sin jc J ffcPifel#* 31-теорема, t a x функциясынын туындысы функциясына тен, ягни X егер у = ta x болса, онда у' = - болады. ИГ - jc * , Щ р 32-теорема. а х функциясынын, мүндагы а > 0 болгандагы туындысы a In а функциясына тен, ягни егер у = ах болса, онда у ' = а х Ь а болады. ЪЪ-теорема. Екі дифференциалданатын функциянын көбейтіндісінін туындысы, бірінші функция туындысынын екінші функцияга көбейтіндісіне косылган бірінші функциянын екінші функция туындысына көбейтіндісіне тен, ягни егер у = uv болса, онда у' = u'v + uv' болады. 34-теорема. Екі дифференциалданатын функциянын катынасынын туындысы, алымындагы функция туындысынын бөліміндегі функцияга көбейтіндісі мен алымындагы функциянын боліміндегі функция туындысына кобейтінділерінін айырмасынын, боліміндегі функциянын квадратына катынасына тен, ягни егер у = болса, онда у = U V UV болады. $ ■ V V . Я 35 -теорема. Егер м = < р ( х ) функциясынын кандайда бір х нүктесінде и х ~ Ф (х ) туындысы бар болсын, ал у = Ғ(и) функциясынын w-д ы ң сэйкес мэнінде у ’и =Ғ'(и) туындысы бар болсын, онда y = F[q>(x)[ күрделі функциясынын көрсетілген х нүктесінде туындысы бар болады, ол теңдігімен аныкталады, мүндагы w = р (х ). Кыскаша былай жазамыз: 150 яғни күрделі функцияның туындысы берілген функцияның аралык аргумент бойынша туындысының аралык аргументтің х аргументі бойынша туындысына Ъ6-теорема. Егер y = f { x ) функциясы үшін х = ср{у) кері функциясы бар нүктесінде туындысы у = f i x ) функцнясынын туындысы яғни f ' {x)= . г болады. <Р\У) 7.16 Айқындалмаган функциянын туындысы Қарастырылатын у функциясын х айнымалысынан тэуелді айкьгадалмаган функция түрінде аныктайтын Ғ(дг,у)=0 тевдігімен аныкгалған дифференциалданатын функция берілсін. Е{х,у)—0 функцнясынын екі жағын х аргументі бойынша дифференциалдау аркылы у' катысты бірінші ретгі теңдеу аламыз. Алынган тендеуден у онай табуга болады, ягни айкындалмаған функциянын барлык х жэне у мәндері үшін теццеудегі у' көбейтіндісі нөлге тең болмайды. Мысалы, х + у 2 = 4 функциясының у'х туындысын есептеңіз. Шешуі: Теңдеудегі у функциясы дг-тан тэуелді функция болғандыктан у~ функциясын х-тан тэуелді күрделі функция деп карастьфамыз. Сондыктан \ У ) = 2 уу' теңдеудін екі жағын х аргументі дифференциалдаймыз 2х + 2 jg/ = 0 , яғни у' = — теңдігін аламыз. у цғ Енді теңдеуді мына жолмен шешіп көреміз, берілген теңдеуден У = 4 - х , бұдан у = 4 - х болады. Демек / ________ 2 j t __ jc _ х 2 4 - х 2 4 - х 2 У ’ ягни екі жауап бірдей болады. Айкынд ал маган функцияга тагы бір мысал карастырайык: У - у - х 2 =0 функциясынын у'х туындысын табу керек. Тендеудін екі жағын jc аргументі бойынша дифференциалдаймыз, сонда 6 v 5 v' - v' - 2 jc = 0 бұдан у'(бу5 - 1 )= 2 jc , / = * болады. 6 v s - 1 151 7.17 П араметрлік түрде берілген функцияньщ туы нды сы тецдеулер Қарастырылатын у функциясы . түрде берілсін I x = t0 < t < T . (7.18) Бұл функциялардың туындысы жэне х = функциясынын туындысы бар болатын кері / = ф(дс) функциясы бар болсын деп есептейміз. Сонда параметр л ік теңдеулермен анықталған у = fix ') функциясы н y = \j/{t\ t — ф(дг) ( / - аралык аргумент) болатын күрделі фу карастыруға болады. ^ Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесі негізінде түрінде Ш а (7.19) теңдігш Kepi функцияны дифференциалдау (36 -теорема) негізінде Ф'х(х ) = —-— болады. Осы орнекті (7.19) теңдеуіне коямыз, сонда у* І - 1— немесе Ух = 4 (7.20) ш • тендігін аламыз. 7.18 Туынды табу ережелері мен негізгі формулалары Егер С - тұракты шама жэне и = и(х)9 v = v(:r) - кандай да бір дифференциалданатын функциялар болса, онда келесі дифференциалдау ережесі орындалады: 1) (С )' = 0 ; , , ш т \* % . щ ^ f 2) (х)' Щ1; 3) (Си)' = Си§; л 4) ( и ± v j = и' ± v'; Щ * " ‘ ! ; " * 5) (wv)' = и V + u V ; / 6 ) ( и \ и V — U V ■ ■ 1 / Vvy у 7) Егер y = f ( u \ и ^ ср(х ) , ягни у болады. = J 1<Р(х) J күрделі с „/ » / dy dy du Ух = Уиих н е м е с е — = — — dx du dx Туындының аныктамасы жэне дифференциалдау ережесі негізінде гі функциялардың туындыларының кестесін кұрастырамыз: 1 ) (ипу = пип и' мұндағы n s R ; 2) I и)' = 1 2 и 3) 1 и 1 , и 4) (а “ )' = а “ \ n a - u ' : 5) (еи) ' = е и и'; 7) (1оёоЫ)' = - і - и ' ; и т а 9) (cost/)' = -sin и и': 6 ) (In и)' = —и \ и 8 ) (sin и)9 — cos и и9 : 10) (tgu)9 = 1 cos и 1 1 ) (ctgu)9 = - - г г - » ' ; sin и 1 2 ) (arcsin и)9 = 1 1 - г / w'; 13) (arccosi/)' = 1 1 - г / 2 г/ : 14) (arctgu)9 = 1 1 + г/ 1 15) ( arcctgu )' = -------- - и ; 1 + и 16) (shu)9 = \ 2 = chu • г/'; у 17) (chu)9 = 2 = s/m • и 9; 1 У 1 8 ) (thuy = - —u9; ch и 19) (cthu)9 = - 1 5/7 г/ Берілген у = / ( х ) кисыгына, осы кисыктын М 0 (дг 0 ;у0) ( у 0 = f ( x 0)) нүктесінде жүргізілген жанама теңдеуі у - А * о)=/'(*о Х * - х 0) турінде, ал y = f ( x ) кисыгына М 0(х0\ у 0) нүктесінде жүргізілген нормаль тендеуі 1 У - П х»)= - ^7~гЛ.х - Х0) f i m түрінде (мұндагы f 9(x0 ) * 0 ) аньисгалады. Ercp /'(дг0)= 0 болса, онда у = f ( x ) кисыгына М 0 (х 0; у 0) нүктесінде жүрпзілген нормаль теңдеуі х = х0 түрінде аныкталады. Қисыцтардың қиыпысу нүктесінде жасайтын бүрышы деп, осы кисыктарға киылысу нүктесінде тұрғызылған жанамалардың арасындагы бүрышты айтамыз. Туындыларды есептеуге мысалдар карастырамыз: 1« Аныктаманы пайдаланып, у = х* -f 6х~ + 8 функциянын туындысын есетгтеңіз. 153 Шешуі: Аргумент х - ка Дх өсімшесін береміз, сонда у функциясы Ay өсімшесш каоылдаиды: у + Ay Ш (х + Дх ) 3 + 6 (лг + Дх ) 2 + 8 . Бұл теңдеуден функция өсімшесін табамыз: Ay = [(х + Дх ) 3 + 6 (х + Дх ) 2 + 8 ] (х 3 + 6 х 2 + 8 ) = 1 = х 3 + Зх2Дх + ЗхДх 2 + Дх 3 + 6 х 2 + 12хДх + 6 Дх 2 + 8 - - х 3 - 6 х 2 - 8 = Зх2Дх + ЗхДх 2 + Дх 3 + 12хДх + 6 Дх2. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне катынасын табамыз: Ду j 0 —- = 3х + ЗхДх + Дх + 12х + 6 Дх. А х ' й _ | —т; . и - - - - Енді осы катынастан Дх —> 0 шек табамыз: lim — I lim (Зх2 + ЗхАх + Ах2 + \2х + 6Ах) = Зх2 + \ 2 х . Ах—>0 Дх Аг — » 0 Сонымен туындының аныктама бойынша у 9 = Зх 2 + 12х болады 2. Берілген функциялардың туындысын есептеңіз: А з 2 . 1 2 х 2 . Т )ЛФ У = 4х — . X ------есептешз. х 6 Шешуі: Бұл есепте (и ± v)' = и' ± V формуласын колданамыз: / V л 3 ^ 3 2 * 4 х ---- 7 + - х ----- X 5 6 -М -И 9 У 2 1 0 2 х = 1 2 х + — + — — х 6 З3 jc 3 2. у = 3cos4л: _ . с 2 • circtgbx есептеңіз. Шешуі: Бұл есепте (uv)' = и V + uv формуласын колданамыз: y' = - 3 cos 4-r l 2 м sin 4x ■ (4x)' ■ In 3 • arctgSx + 3cos 4 x ------ ;----- (5x *) 1 + 25.Y4 = -4 -3 cos 4 jc sin 4x ■ In 3 • arctgSx1 + 1 0x •3COS4! 1 + 25*4 3. v = arctglx 2 x - 5 x + 8 есептеңіз. Шешуі: Бұл есепте \У ) I / V - W V формуласын колданамыз: У = (еarc,glxY(2x3 - 5 x + S)~ (earc,g7x ) ( 2 jc 3 - 5 * + 8 ) ' ( 2 x 3 1 5x + 8 ) 2 arctglx l 1 + 49x 2 (7jt)'(2jc 3 - 5jc + 8 ) - e""7'*7* ( 6 jc 2 - 5) (2 jc 3 - 5 jc - h 8)2 154 7 e arc t g l x - ------ Чг (2x - 5 x + 8 ) - earctgl* (6x2 - 5 ) _ 1 + 49 x ___________ __________ ' (2x 3 -5 x 4 - 8 ) 2 7.19 Дифференциал Берілген [a,b] кесіндісінде дифференциалданатын y = f ( x ) функциясын карастьфамыз. Бұл функциянын [a,b] кесіндісінің кандайда бір х нүктесіндегі туындысы мына теңдеумен аныкталады: lim — = / ' ( jc ). A r - > 0 Дх p _ ■ _ Ay Ьұл теңдеуден көріп отырғанымыздай — катынасы Ах —> 0 ұмтылғанда Дх аныкталган f (лг) санына үмтылады, сондыктан оның f i x ') туындысынан шексіз аз шамаға айвірмашылығы болады: • - £ = f ( x ) + a , ( 7 . 2 1 ) мұндағы a. —> 0 ұмтылады Ах —> 0 ұмтылғанда. Енді (7.21) теңдігінін екі жағын Ax-ка көбейтеміз, сонда А у = f'(x)Ax + аА х. (7.22) Жалпы жағдайда / ' ( х ) ^ 0 болса, онда х тұракты жэне Д х—»0 айнымалы болғанда f r(x)Ax көбейтіндісі Дх-ка катысты бірінші ретгегі шексіз аз шама болады. Ал аДх көбейтіндісі Дх-ка катысты әр кезде жоғары ретті шексіз аз шама, оған себеп 1- < в е . . l im ----- = lim a = 0 А г-» 0 Дх Лдг->0 тең болатындығы. Жоғарыда көрсетілген Ду өсімшесі екі косылғьпігган тұрады, олардың бірінші косылгышы Дх-ка катысты сызықты болатын өсімшенін бас бөлігі ( f \ х ) * 0 болганда) деп аталады. (7.22) теңдеудің бірінші косылғышы болатын f (х)Дх көбейтіндісі функциянын дифференциалы деп аталады жэне dy немесе df(x) түрінде белгіленеді. 30-анықтама. Егер у = / f r ) функциясынын x нүктесінде f ’(x) туындысы болса, онда / ' ( х) туындысынын аргумент өсімшесі Ах-ка көбейтіндісі функция дифференциалы деп аталады жэне dy түрінде белтіпенеді: dy ■ /'(x )A x . (7.23) Енді у = x функциясынын дифференциалын табамыз: У' = {х) = 1, 155 демек dy — dx — (x) Ax — Дх немесе dx — Ах болады. Сонымен тәуелсіз аинымалысынын дифференциалы dx оның өсімшесі Дх теңеседі. Сондык (7.23) теңдеуді мына түрде жазуға болады: dy = f \ x ) d x . (7.24) теңдеуден r W - X (7.25) теңдеуі Демек / (x) туындысын функция дифференциалының тәуелсіз айнымалы диффернциалына катынасы ретінде карастыруға болады. жазамыз: теңдеуді аАх Сонымен функция өсімшесінің функция дифференциалынан , rim__ ^ _ . ___ _ .лУЯМь * • • ^9 ж ** (7.26) Дх ретті болса, онда аАх көбейтіндісі ф - к е де катысты жоғары ретті шексіз аз шама болады және lim ^ = 1 + lim = 1 н- lim = 1 - Д *-»0 ф Дг -»0 /'( х ) Д х Дг -»0 /'( j c ) теңдеуімен аныкталады. Сондыктан жуыктап есептеулер кезінде теңдеуін Д у * d y 9 (7.27) — - ген түрі /(■* + Дх) - / ( jc ) « /'(д -)д * , (7 28) формуласын колданамыз. Дифференциалды есептеуге мысалдар карастырамыз: 1. у = х функциясының, 1) х жэне Дх кез келген болғандағы; 2) х = 20 және Дх = 0,1 болғандағы dy дифференциалын және Ау өсімшесін есептеңіздер: Дх = 2хДх. Шешуі: 1) Ау = (х + Дх) — х = 2хДх + Дх ф = (г2) 2) Егер х = 20 жэне Дх = 0,1 болса, онда Ду = 2 • 20 • 0,1 + 0,1 2 1 4,01, ал dy = 2 ■ 20 • 0,1 = 4,00 болады. Бұл жерде Ду-ті d y -ке ауыстьфу кезіндегі кателік 0,01-ге тең болғандыктан көп жағдайда оны ескермейміз. Жуыктап есептеу кезінде (7.28) формуласынан алынатын, төмендегі / ( X + Ддс)« f ( x ) р f'(x )A x (7.29) формуласын колданамыз. 2. sin 46° мэнін жуықтап есептеңіз. 156 Шешуі: Егер / ( x ) = sinjt болса, онда f ' ( x ) — cosx. Жогардағы (7.29) формуласының негізінде sin(x + Ax) * sin* + cosx • Дх (7.30) болады. Берілген sin 46° мэнін жуыктап есептеу үшін д: = — (бұл 45° сәйкес), Дг = ~ - (бұл 1° сэйкес), ал х + Ах = — н----- деп аламыз. Осы мэндерді 180° 4 180 (7.30) формулага коямыз, сонда V sin 46 = sin л л \ . л л л + ------ I * sin — + ---- COS 14 180 у 4 180 4 немесе sin 46° * — + - - . — = 0,707110,7071 • 0,0175 = 0,7191 2 2 180 теңдеу ін аламыз. Функцияньщ дифференциалын табу функцияньщ туындысын табумен тепе тен, ягни табылган туындыны аргумент дифференциалына көбейту аркылы функция дифференциалын аламыз. Сондыктан туынды табуга катысты теоремалар мен формулалар дифференциалдау кезінде сакталады. Екі дифференциалданатын и жэне v функцияларынын косындысынын дифференциалы осы функциялардьщ дифференциалдарынын косындысына тен: d(u + v)= du + d v . Екі дифференциалданатын и жэне v функцияларынын көбейтіндісі жэне катынастары мына формулалармен аныкталады: d(uv)= udv + vdu жэне и \ vdu —udv d V J V2 7.20 Ф ункцияны н жоғарғы ретгі туындысы жэне дифференциалы Берілген [a, b] кесіндісіндг у= f { x ) дифференциалданатын функция болса, онда f ' ( x ) туындысынын мәні де х айнымалысынан тәуелді функция болуы мүмкін. Осы функцияны дифференциалдау аркылы біз / ( х) функциясынын екінші туьшдысын аламыз. 31 -анықтама. Бірінші туындыдан алынган туынды екініиі ретті туынды немесе берілген функциянын екінші туындысы деп аталады жэне у" немесе / " ( jc ) түрінде белгіленеді: 157 Мысалы, егер у = х 3 болса, онда у = Зх2, ал у ” = ( з * 2 ) = бдг болады. туындыдан үшшші немесе / т(х) түрінде ретп белгілейміз: туындыны айтамыз жэне у™ немесе f ^ n\ x ) түрінде jjM = j /» > (* ). жакшаға Төртінші жэне одан жоғарғы ретгі туындыларды рим цифрларымен белгілеу кезінде жакша коймаймыз. Берілген функциялардың бесінші ретті туындысын есептеніз: 1 у = х функциясынын бесінші туындысын табу керек. Шешуі: у' = 5х4, у ' = 2 0 х \ у т = 60х2, у ІУ =120х, у г = 120. 2 . ^ = е функциясынын п - ш і ретті туындысын табу керек. ^ Шешуі: у ' ^ к е * , у я = к 2екх9 у т = Р е **,..., у ^ = £ V * . Әртүрлі реттегі туындыларды табу кезінде мына формулалар орындалады: Р ■ ‘ g§ : v (W + v )W = WW + v H (C *)W = C r H Ал екі функциянын көбейтіндісі үшін Лейбниц формуласы орындалады: I P I (wv)W I и К + п и Ш й + • г | К V +... I «V »И . 1 * 2 32-анықтама. Функциянын дифференциалының дифференциалы екініиі дифференциал немесе берілген функциянын екінші ретті дифференциалы деп аталады жэне d у аркылы белгіленеді: d( dy ) =d2y . Екінші дифференциал өрнегі мына түрде жазылады: d 2y = \f'{x)d x];dx = f'( x ) d x 2. Функциянын үшінші дифференциалы немесе оның үшінші реггі дифференциалы деп оның екінші ретті дифференциалынан алынган дифференциалды айтамыз жэне былай жазамыз: функциясынын \d x = f m(x)dx ретті дифференциалының дифференциалын айтамыз жэне былай жазамыз: d ny I d(dn~iy)= Щ у Ш | j j j ] щ | ^ \ х )±с”. 158 7.21 Логарифмнін көмегімен дифференциал; lay ЪЪ-анъщтама. у = f ( x ) функцияның логарифмінен алынган туыиды, осы функциясының логарифмдік туындысы деп аталады, яғни I f i x ) ( in /( x ) ) = - - - - - орыидалады. A*) Функцияны бірінші логарифмдеп, сонан соң дифференциалдау логарифмдік дифференциалдау деп аталады. Кейбір кезде функцияны алдын ала логарифмдеу, онын туындысын табуды жеңілдетеді. Мысалы, и = и(х) жэне v = v(jc) болганда y = u v функцясын алдын ала логарифмдеу аркылы мына формуланы аламыз: -У;~ ^ 3 ^,В < f ■мудак~ІиРіГ 'В Р ь І Я М : Іпу = V- \пи => — = v • lnw + — • w'=> у 9 = uv \nu • v9 + vwv_1 • и9. Берілген 7 = (sin 2х)х функциясының туындысын логарифмнің көмегімен есептеніз: Шешуі: Берілген функцияны логарифмдейміз: ln>> = x3 lnsin 2 х . Осы теңдіктін екі жағын х айнымалысы бойынша дифференциалдаймыз: (In у У = (х3)' In sin 2х + x 3 (In sin 2x)' => — = 3x 2 In sin 2x + x 3 —----- 2cos2x=^> у sin 2 x => у = y( 3x 2 In sin 2 x + 2 x 3 c/g 2 x)=> y ' = (sin 2 x)x (Зх 2 In sin 2 x + 2x3ctg2x). 7.22 Орта мэн туралы теорема. Лопиталь ережесі 37 -теорема. (Роллъя). Егер у = / ( х ) функциясы \a\b\ кесіндісінде үзіліссіз, осы кесінді ішінде дифференциалданатын жэне f ( a ) = f ( b ) болса, онда ең кемінде бір х - с ( а < с < Ь) нүктесі табылып, / '( с ) = 0 теңдігі орындалады. 38 -теорема. (Лагранж). Егер у - / ( х ) функциясы [a;b], кесіндісінде үзіліссіз жэне осы кесінді ішінде дифференциалданатын болса, онда ең кемінде бір х = с (а <с <Ь) нүктесі табылып, f ( b ) - f ( a ) = f 9(c)(b - а) теңдігі орындалады. Ъ9-теорема. (Коши). Егер y - f ( x ) жэне у = <р(х) функциялары [а;Ь\, кесіндісінде үзіліссіз жэне осы кесінді ішінде дифференциалданатын, сонымен бірге a < x < b болганда еш жерде <р(х ) * 0 болса, онда ең кемінде / * f ( b ) - f ( a ) f \ c ) бір х = с (a <с нүктесі табылып, ^---- = — теңдіп - <р(а) <р (с) орындалады. 159 О 0 0 Лопиталъ ережесі ( — жэне — анъщталмагаидыгын ашу үшін). Егер О оо у = / ( х ) жэне у = ср{х) функциялары Коши теоремасының шартын х = х 0 нүктесінің кандайда бір аймағында канағатандырып, х -> х0 болғанда нөлге (немесе ± о о ) ұмтылып жэне lim — - шегі бар болса, онда lim шегі х-+х0 <р'(х) X-+XQ х) бар болады жэне олар тен болады, ягни ____ ___ lim І Щ щ lim £± *1 х0 X->X0 орындалады. Лопиталь ережесі x 0 = ±oo болтан кезде де орындалады. / г(х) ^ . я р м р й м и | ЬгеР — 7ГТ катынасы тагы да екі аныкталмағандыктың біреуін берсе <р(х) жэне f (х), (р (х) функциялары f ( x ) жэне <р(х ) функциялары үшін койылган катынасына көшуге болады. фун е3х- 1 Мысалы, lim —-------шегін есептеңіз: sm 5x у* Шешуі: Берілген бөлшектің алымындағы және бөліміндегі функциялар үзіліссіз дифференциалданады жэне х —> 0 болғанда нөлге үмтылады. Сондыктан Лопиталь ережесін колдануга болады: г еЪх- 1 г (е3* —і) Зе3х 3 lim — = lim S -— — L = lim ----------= - . *->o sm 5x x->o sm 5x *-*o 5 cos 5x 5 Егер lim f x (x) = 0 жэне lim f 2 (x) = oo болганда, O-oo түріндегі x - > x 0 x - + x Q көбейтіндісінен алынады. Бұл түрлендіру f \ (*) „ /2 (*) ү ------ немесе --■* , ал /2 ( * ) f l О ) - О 00 оұл оізге — немесе — аныкталмагандыгын береді. и 0 0 Егер де lim /j( x ) = 00 жэне lim f 2 (х) = оо болса, онда /1 (х) — f*(x) х->х0 Х->Х0 айырмасы оо — оо түріндегі аныкталмагандык болады. Ал екі функциянын түрде А Ш I / 2 Щ = / 1 (*) I Уг (*) І 1 / 1 Ш j с ™ * г /2 (•*) 1 гг ьгер lim — — — 1 болса, онда бұл теңдіктен 0 • оо түріндегі аныкталмагандыгы алынады. з -х Мысалы, lim х е х (О -оо түріндегі аныкталмагандык) шегін есептеңіз: х —юс 160 Шешуі: lim х*е * = lim — = lim — = lim — = lim — = 0. * - * * > JT -K C e X X -V JD e X X —ХЮ e X x — > 0 0 e x 7.23 Функцияны зерттеу және трафигін салу 7.23.1 Функциянын өсуі жэне кемуі. Функция экстремумы 34 -анықтама. Егер кез келген жеткілікті аз Һ > О болганда / ( * о К А)< А * о ) < / ( * 0 + А) шарты орындалса, онда / ( х ) функциясы х 0 нүктесінде өспеіі деп аталады (60-сурет). 60-сурет 35-аиыңтама. Егер кез келген жеткілікті аз Һ > 0 болганда А * о - * )> /С*о)> А хо + һ ) шарты орындалса, онда / ( х ) функциясы х 0 нүктесінде кемімелі деп аталады (61-сурет). 61-сурет 36 -анықтама. Егер дг, < х 2 теңсіздігін канагаттандыратын көрсетілген интервалдын кез келген екі х, жэне х2 нүктелері үшін / ( х , ) < / ( х 2) теңсіздігі орындалса, онда /(д г ) функциясы (я,/>) интервалында өспелі деп аталады. * 37-аныцтама. Егер х, < х 2 теңсіздігін канагаттандыратын корсетілген интервалдын кез келген екі х, жэне х 2 нүктелері үшін / (х ,)> / ( х 2) тенсіздігі орындалса, онда f ( x ) функциясы {а,Ь) интервалында кемімелі деп аталады. Туындынын комегімен функциянын осуі жэне кемуі мына түрде аныкталады. 1) Егер / '( х 0) > 0 болса, онда / ( х ) функциясы х 0 нүктесінде ас пел і болады. ' ш шш 2) Егер f ' ( x 0 ) < 0 болса, онда / ( * ) функциясы х0 иүктесінде кемімелі болады. 38-анықтама. Егер кез келген аз һ > 0 болганда f ( x 0 - h ) < f ( x 0) жэне f ( x 0 + й ) < /(*< )) шарттары орындалса, онда f ( x 0) мәні / ( * ) функциясынын максимумы деп, ал нүктесі f ( x ) функциясынын максимум нүктесі деп аталады (62-сурет). * - 62-сур ет 39-анықтама. Егер кез келген аз А > 0 болганда f ( x 0 - А ) > / ( х 0 ) жэне / ( * 0 + л) > / ( х 0 1 шарттары орындалса, онда f ( x 0) мәні / ( х) функциясының минимумы деп, ал дг 0 нуктесі f ( x ) функциясының минимум нүкгесі деп аталады (63-сурет). 63-сурет 40 -аньщтама. Функцияныц максимумы немесе минимумы функцияныц экстремумы, ал функцняның максимум немесе минимум нүктесі онын экстремум нүктесі деп аталады. Экстремумның қажетті шарты. Егер f ( x ) функциясының х0 нүктесінде экстремумы бар болса, f ' ( x 0) туындысы нөлге айналады немесе мүлде болмайды. 41 -анықтама. Функцияның f '( x 0 ) = 0 болатын х 0 нүктесі стационарлық нүкте, ал f '( x 0 ) 1 0 немесе f ’(x0) жок нүктелер кризистік нүктелер деп аталады. Кез келген кризистік нүкте экстремум нүктесі бола бермейді. Экстремумның болуының жеткілікті шарттары: 1. Егер j j нүктесі / ( х) функциясының кризистік нүктесі болса ж әне кез келген жеткілікті аз А > 0 болганда /'(лг 0 - й ) > 0 , / ' ( х 0 +һ) <0 теңсіздігі орындалса, онда f ( x ) функциясының дг 0 ңүктегі максимумы болады, ал 162 f ' ( x 0 - h ) < 0 , f ' ( x 0 + /»)> О теңсіздігі орындалса, онда / ( ; с) функциясынын х0 нүктесі минимумы болады. Егер f ' ( x 0 - h ) жэне f ' ( x 0 +h) таңбалары бірдей болса, онда х0 нүктесінде f ( x ) функциясынын экстремумы жок. 2. Егер / '( х 0 ) = 0 , ал f ”(x0) * 0 болса, онда / ( ; с) функциясынын х0 нүктесінде экстремумы бар, егер / т{х$)<09 онда ол максимум жэне егер * 0 , онда ол минимум; * Бершген [ayb] кесіндісінде f ( x ) функциясынын ең үлкен (ең кіші) мэнін табу үшін, кесіндінін шеткі нүктелеріндегі жэне осы кесіндіге тиісті кризистік нүктелердегі мэндердін ішінен ең үлкен (ен кіші) мэнді алу керек. 7.23.2 Дөнестік, ойыктык. Иілу нүктесі. Асимптоталар 42 -анықтама. Егер у = f ( x ) функциясынын графигі (a,b) интервалынын кез келген нүктесінде жүргізілген жанамадан томен орналаскан болса, онда ол осы интервалда даңес деп аталады (64-сурет). М 64-сурет 65-сурет 43-анықтама. Егер v = f ( x ) функциясынын графигі (a,b) интервалынын кез келген нүктесінде жүргізілген жанамадан жогары орналаскан болса, онда ол осы интервалда ойьщ деп аталады, (65-сурет). Функция графигінің дөңестігінің (ойықтыгының) жеткілікті шарты . Егер (ayb) интервалынла /* (* 0) < 0 болса, онда осы интервалда функция графигі денес болады, ал егер / " ( х 0)> 0 болса, онда осы интервалда функция графигі ойык болады. f 44 -анықтама. Функция графигінін дөнес болігін ойык бөлігіиеи айратын U oі /( * о )) нүктесі иілу нүктесі деп аталады ( 6 6 -сурет). Егер х0 нүктесі у = / ( дг) функциясынын графигінін иілу нүктесінің абсциссасы болса, онда / ”(х0)=0 немесе жок болады. Функциянын /Ч * о ) = 0 немесе f *( x 0 ) жок болатын нүктелер II- реттегі кризистік нүгЛ лер деп аталады. Егер х 0 нүктесі II- ретгегі кризистік нүкте болса жэне кез келген жеткілікті аз А > 0 болганда • А) < 0 » /* іхо + л ) > 0 (немесе f ”(x0 - / ? ) > О, /% х 0 + Л )< 0 ) тенсіздігі орындалса, онда y = f ( дг) 6 6 -сурет кисыгынын абсциссасы х0 болатын нүктесі иілу нүктесі болады. 163 Егер f *{x о - h ) жэне f " ( x 0 + һ) танбалары бірдей болса, онда у = / ( х ) кисығының абсциссасы х0 болатын нүктесі иілу нүктесі болмайды. 45-анықтама. Егер у = f ( x ) кисығының Мух,у) нүктесінен L түзуіне дейінгі аракашыктык, осы нүкте кисык бойымен шексіздікке ұмтылганда нөлге ұмтылса, онда L түзуі осы кисыктын асимптотасы деп аталады. 46-аныңтама. Егер у = / ( х ) кисығының lim f(x)=+oo немесе X — HJ lim f ( x ) = —oo шегі бар болса, онда х = а түзуі осы кисыктын тік а асимптотасы деп аталады. 41-анықтама. Егер у = / ( х ) қисығыньщ lim f ( x ) = b немесе X — » + 0 0 lim f ( x ) = b шегі бар болса, онда у = b тузуі осы кисыктын көЛденең асимптотасы деп аталады. 4%-аныцтама. Егер у = / ( х) кисығының k= lim 6 = lim \ f { x ) - k x ] X—>+00 X JC->+00 1 немесе k = lim b= lim \ f ( x ) - k x ] ^ X->-CD X X-+-CC шектері бар болса, онда y = kx + b тузуі осы кисықтың көлбёу асимптотасы деп аталады. 7.23.3 Ф ун кц и ян ы н граф игін салу ж олдары Берілген у = f ( x ) функциясынын графигін салу кезінде онын сипаттамалык негіздерін білу керек. Ол үшін келесі шартарды орындаймыз: 1 ) функциянын аныкталу облысын табу; 2 ) функцияны такка жэне жұпка зерттеу; 3) функция графигінің координата өстерімен киылысу нүктелерін табу; 4) функцияны үзіліздікке зерттеу; үзілістік нүктелерін табу (егер олар бар болса) жэне үзілістік сипаттамасын аныктау; у = f i x ) кисыгынын асимптотасын табу; табу; экстремумын 6 ) кисыктын дөңестік жэне ойыктык интервалдарын жэне оның иілу нүктесін табу. х^ -I* 4\ Мысалы, у = — -— функциясынын X Шешуі: 1) Функциянын аныкталу облысы х = 0 нүктесінен баска барлык :ан өсі, ягни D { y ) - }- оо, 0[ и ]0, + оо[. ^нкция не так, не жұп болмайды. 164 3) Графиктің Ox өсімен киылысу нүктелерін табамыз: = 0 ; І Й И Ё 4 . 4) Үзілістік нүктесі х = 0, сонымен l i my = со, демек х = 0, яғни Оу өсі X— Щ графиктін тік асимптотасы болады. Енді көлбеу асимптоталарын табамыз: s i - 3 Тс = lim b — lim \ f { x ) —kx\= lim ^jc 3 + 4 \ J — V 4 = lim — = 0 . *-**>x Сонымен көлбеу асимптота теңдеуі у = х болады. 5) Функцияның экстремумын жэне өсу, кему интервалдарын табамыз: 8 х ^ — Ен алдымен функцияның туындысын есептейміз у = 1 — - = ----- й х х 3 8 бұл туынды х = 2 болғаяЛа у' = 0 жэне jc = 0 болғанда у ' - оо болады. Ал jc = 0 жэне jc = 2 нүктелері сан өсін J-сю, о[, ] 0 , 2 [ жэне ] 2 , +ос[ кесінділеріне бөледі, сонымен бірге }- go, 0 [ жэне ] 2 , + о о [ кесіндісінде у' > 0 (функция өседі) және ] 0 , 2 [ кесіндісінде у ' < 0 (функция кемиді). Функциянын экстремумын аныктау үшін екінші туындысын табамыз: 24 у 9 = — д , бұл туындының х = 2 нүктесіндегі мәні у ІГ( 2 )> 0 , демек jc = 2 X нүктесі функциянын минимумы болады у тіті = 3. 6 ) Кисыктың деңестік жэне ойыктык интервалдарын жэне онын иілу нүктесін табамыз. Функциянын екінші туындысы у* > 0 болғандыктан функция трафигі барлык жерде ойык болады. Қисықтың иілу нүктесі жок. Осы алынғандарды колдана отырып, функция графигін саламыз (67- сурет). ^ 165 7.24 № 9 өздік жұмыс тап сы р м ал ар ы Берілген функцияларды дифференциалдаңыздар: №1 1 . 1 у = 2х 1.3 у = Зх 1.5 у = 1.7 у = 3х 1.9 у = 8х 4 1 ^ Һ — T + - + 3 jc ; JC3 jc , 3 ~ 5 2 4 + JC - 5 7 Г І 6 jc 2 x + - ; X 3 3 1 0 — — “ \ x J + — • X x 5 . 3 ~4 4 2 + , jc - " I х з ; 1.11 V 1.13 у = 5х 1.15 V = 4 1.17 у = 5х + 1.19 у — х 1 . 2 1 у = — + Зх 2 JC 2 7 ' 8 i T + 4 * + - ; JC JC 9 5 1 7 jc 3; JC вг Ж : - 2 x 6; X 3 4 3 jc ; X X 3 4 3 ~2 7 ^ _• 9 JC5 JC 1.23 у = 1х2 + - - { х 4 + ~ X 1 -2 5 ^ = 8 х - 4 + - - 5 7 ; X х 1.27 У 4х 3 + — 2 1 . 2 у = - + * х 2 - 4 д JC 1.4 у = 6х2 + 5 .х 2 + 1.6 у = 5х2 - 3 х 4 + 1 . 8 у = 3 х 7 + - 1.10 у = 4 х 6 1.12 у = 4х 9 3 JC Е Й 3 2 + x 4? 7 5 • 4 5 Ш x 3 ' X 6 4 г + X5 ’ 4 X - x 4 T , 6 r + X 2 X 2 р 4 + 5х ; х 1 8 3 1.16 у = — + - X х 4 х 3 + 2 х 7: 1.18 ^ = 1 0 х 2 + 3 х 5 — — —— * х 4 1 . 2 0 у I з Ш 7 9х + -------- X X 4 + К х 7 1.22 V з. х 3 + — - ~ - 5xJ ; X Хэ 1.26 у X X 4 г ~ і 5 4 х — + —г + Зх; х х 1.28 = 4х 5 1.29 У 7 4 ■ JC X 2 jc6; 1.30 У = 4 - Іг- + Зх 3 - V x7"; X X №2 2 . 1 . >> = sin 3 2 x • cos 8 x 5; 2.2. у = cos 5 3x • /g(4x 1 1)3; 166 2.3. у = tg л: - arcsin 4л: ; 2.5. у - ctgЪх ■ агссоэЗлг2; 2.7. v = In 5 х -arctglx4; 2.9. у = 2 cosx arcctgSx ; 2.11. у = 3,g* • arcsin 7x4; 2.13. >> = sin 4 3jc • arctg2x3; 2.15. у = /g 3 2jc • arcsin jc 5 ; 2.17. y = e - s in X 6 . tg lx°; 2.19. y = cos jc • arccos 4x; 2.21. у = sin 2 3jc*arcc/g3jc5; 2.23. у = (g 6 2jc*cos7jc2; 2.25. у = ctg(\lx)' arccos jc4; 2.27. у = /g 3 2x-arccos 2 jc3; 2.29. у = sin 5 3jc • arctgyfx; 2.4. >> = arcsin 3 2jc • ctg 4 4 x ; 2.6. у = arccos 2 4jc • ln(jc - 3); Sin .1 2.8. у = arctg 4x*3 2.10. у = 4 'x -In5(x + 2); 2Л2. у = 5X • arccos2jc5; 2.14. у = cos 3 4jc • arcctgyfx ; 2.16. у = c/g7jc • arccos 2 jc 3 ; 2.18. у = eCOSjr -c/g 8 jc3; 2 . 2 0 . у = sin 3 I x • arcctg 5jc2; 2 . 2 2 . у = cosVjc • arctgx 4; 2.24. у = c/£ 3 4jc * arcsin Vx; 2.26. у = /gV* • a rctg lx5; 2.28. у = 2/gr arctg5 3jc; 2.30. у = cos 4 3jc- arcsin 3jc2. №3 arccos x 3.1. = 3.4. v -c tg S x 3x 2 — 4jc + 2 (x - 5 ) 7 3.10. y = ctgSx (x + 4 f - s in 2x 3.13. y = 3.16. у = (* + 5 ) 4 -tglx 4xl ~3x+5 — X 3.19. v = І 2 х 2 - x + 4)Г 3.22. v = , - (2* - З ) 7 — 2 jc У e arcctgx 3.5. V = 7jc - 5 x + 2 co sx 3.8. V 3 2 x ? - 3 x + 1 - I 3 + 2 jc — x" cos5x 3.14. y = 5 x —2 —s in 4 x 3.17. v = 3.20. v = 3.23. v = ( 2 x - 5 ) 6 4 jt (3x + 5 j 3 (Зх + і ) 4 4дг X 3.3. у — —■= 7 1 3.9. y = x + 5x — 1 ;g3x 3x 2 - x + 4 x 3 + 4x - 5 X 3x 3x~ — 4 jc — 7 3.15. = I ( 2 x + 5 ) 3 3x - 5 x + 10 - X 4 3.21. y = e ctgSx 3.24. V = (3x + 5 ) 4 5x2 + 4x - 2 - X 167 3.25. у •г 3.28. > w 4.1. у 'W 4.4. у •г 4.7. у 4.10. 4.13. 1 4.16. l 4.19. у 4.22. у 4.25. у 4.28. V 5.1 y = 5.4 y = 5.7 y = 5.10 у 5.13 у t — 5 jc — jc + 1 3* sin 5 л: (3 д: - 2 )2 - X 3.26. v = (2x - 5 j7 3.29. y = 3 x - 7 — Д Г cos 3.v 3.27. v = (2x + 4 J5 -/gx 4 jc + 7 jc - 5 № 4 = (cth3x) = (th5x) aresin(x+l) ( 3x + 2 f rctgZx 4.2. >> = (cos(jc + 2)) 4.5. y = (sh(x + 2)) arcsin 2 jt rccosx 4.3. у = (sin3jc)a 4.6. И I 4.8. I J (log2(x + A ) f glx 4 .9 .1 1 (ln(x 1 3)f = (sh3x)aretg(x+2^ 4.11. у = (arcsin 5jc)^ К arccos 5 jc ) ln3x 4.14. у = (ln(x + 7 ) f ,glx 4.12. у = {сһЗх)с ф - г) 4.15. jv = ( ^ 8 x)s i n2x = (ctg(lx + 4)) дг+З 4.17. у x + rctg3x 4.18. y = \ ctg X; cthbx = ( cos ( jc + 5)) = (fg3x4) X+3 = (arccos jc ) arcsin 3x cosx 4.20. у 4.23. у x + rccos 3x 4.21. y = (sin 4 x T rc,g i Iftg 2 x 3 f in ДГ 4.24. y = (tg7x) x+2 4.26. 7 1 (sh5xf rctg{x+2) 4.27. 3 ; = ( c t g l x Y ^ ^ = (arctgxjh(3x+^ 4.29. y = (c/A in i l l 4.30. у = (.уйЗхГ ^ 2 № 5 x + 7 - ( x - 3 I ( x + 2 f ___ (x + 3 ) - y ( x - 2 ] i (x + 1 У ( х - З ) 2-, x + 4 Я i 2)7 5.2 3 ; = 5.5 v 5.8 j М В Й Ш _ ( x + 2 f ( x - 3 f ( ^ 1 ? _ ( x - 7 ) 1 0 3 x - l (x + 3) 5 _ ( x + 2 X x - 7 ) 4 С 1 1 * / Щ р I ’ ң х - і ү \ у ~ щ m _ ( x + 2 f ( x - l )4 Щ i 2)7 5.14 у (* —!)(•* +3) е м ( x - 7 ) 5.3 V 5.6 v = 5.9 v 5.12 y = ( x - 2 ^ - ( x + l) ( x - 4 ) 2 ( х - і Ж х + г ) 5 3 ( x - 4 J (x-H ^ x - 3 ) 2 f r + 2 ) 5 l ( x - l ) 7 (x + l f ( x - 5 f 5.15 у z ! k ± 2 | ( x - l f 168 5.16 у = 5.19 у — S. 22 у = 5.25 v = 5.28 v = 5 x + 1 (jc - 3)7 (jc + 8)3 x 2 +2x - 3 (jc+ 3)7 (jc - 4 f ( x - 6 f ( x + 2 f Ң х + 3 ) 2 Щ х + T? —W 1 J j c - 4 f M W 3 ) 2 5.17 V — 5.20 у I 5.23 у = 5.26 v = X + lO (jc -e )3 5.29 у I (x - 1 ) 3 * ( * - 1 ) 5 _ ( x + 2)4 ( jc - 5 ) 7 5.18 v = 3 ( * + i f I ( jc - 3)4 ( jc Ш ?; о с - 2 Г (jc + 1)2 ( x - 6 f - ( x - 2 f ( jc - 5 X jc + 1)7 _ ( x - \ Y j x - l f 5 2 4 (jc + 7 f ( j c - 3 ) 5.21 Я Ң І Я к jc + 3 jc - 1 5 ( x - 2 ) 3 ( x - l ) (*+з)4 ? (jc 1 2 )3 (jc — l ) 4 (jc—3 ) 5 №6 Лопиталь ережесін пайдаланып, көрсетілген шектерді табыңыздар. 6.1 lim fai(x + 5) 6.4 lim 4 1 A « - - 2 m 1 - 4stn — 6 1 — X . _ x —2x - x + 2 6.7 lim-— =--------------- x - 7 x + 6 6Л 0 x->0 2 sin X + JC - -- x c o s x - s m x 6.13 l i m --------- r-------- *->o x 3 x - a a ta* - x 6.2 lim - x->\ x —1 6.5 lim (я - 2arctgx)\n x / x-+a a i ----- 2 tgx cos" X_______ 1 + cos 4x 6.22 lim ( l - c o s x W g x x-*0 6.19 lim n 6.8 lim JT — > 1 1 X \ V ln x ln x / 1 6.11 lim 1 X —>30 2 arctgx - я 6.14 lim 1 — x ^ H - s i n p O 6.16 lim sin - ----------------- c t g ( x - a ) 6.17 41m ln x x 6.20 lim ln(sin mx) *— >o ln(sinx) 6.3 lim И Щ *->0 X - sin X 6.6 lim x —>oo V 6.9 lim 1 - cos x л 2 * 2 jr-*0 x - sin X 6.12 n lim jc—>0 7tX ctg — 6.15 lim 5 * 6 .18 lim сһл- ' x->0 1 - COS X 6.21 lim . » . x->*2 /g 5 x 6.23 l i m O - x V g ^ ^ ) 6.24 lim xsin jc —>! ^ jt —> ao X 169 £ 1 + 2дг + 1 ЛГ COS ДГ - SU1 Л 1 — JC 6.25 lim - 7 ............. 6.26 lim -------- , ------ 6.27 lim — — /--\ * - » - 1 2 + X + X Jr->0 x ДГ —> 1 1 _ s i n ^ c c j 1 6.28 lim ^ 6.29 lim -------- 6 3 0 lim fS }x jt->o 4j| - sin x x^Ji 1 + cos4jc tgSx 7.25 Анықталмаған интеграл. Тікелей интегралдау Егер F'(x) = f ( x ) немесе dF{x) = f ( x ) d x болса, онда F ( х) і функциясына алгашкы функция болады. Егер f ( x ) функциясынын алгашкы F(x) функциясы бар ( функциясы оның алгашкы функциялары коп болады жэне олар мына орнекпен аныкталады Ғ(х) + С , мұндагы С -тұракты шама. Тұрактының туындысы нөлге тең болатындыктан, төмендегі теңдеу орындалады: (Ғ (х) + с / = Ғ ’(х) + С = Ғ \ х ) + 0 = Ғ'(х) = / ( х ) . 49 -анъщтама. f(x) функциясынын барлык алгашкы функцияларының белгіленеді: түрде f f ( x ) d x = Ғ{х)+ С . Интегралдаудың негізгі ережелері : !) { \ f ( x ) d x ) = f ( x ) ; 2) //'(*)<& = = f i x ) + С ; 3) d Jf(x)dx = d(F(x) + C) = f ( x) dx ; 4) \ { f ( x ) ± 5) jaf(x)dx = a j f ( x ) d x мұндагы а тура 6 ) егер ^f(x)dx = F(x) + С болса, онда J / (ax + b)dx = - F ( a x + b) + C , a теракты дифференциалданатын онда j / < Аныкталмаган интегралдың аныктамасының негізінде жэне жогарыда көрсетілген интегралдау ережесінің негізінде интегралдардың негізгі кестесін көрсетеміз : 1. \dx = x + C \ 170 2. \x"dx = ----- -һС мұндағы п ф — 1; * Р Щ 1 3. f— s h x + C ; J 1 f X жүктеу/скачать 12,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|