у N V 9  3  5  6  0  1  -7   2  3 \ у У

—2
3
9' ДишИ 6
- 2
1  14 
А -
6
2
5
П
 __ 8
2
Ж
 • X
 
W
  М
Л
: 
* 'ВийL -1 0 8>
,5
' '■
 г 
0
щ
 ® 
?• j
С* 
V
 1 J
 
%
Г5
7
- П
Г - 6
—
*
1.15  Л = 0
4
6
р — 
9 
D —
3
1
2
" 2 ;
. 9
4
Щ
'5
0
9  '
•л
8
2
1.16  Л = 4
1
8
,  5  = 3
0
7
- 5
J
u
7
4
\
3
1
2
 
О 
8
 
2
3  
1 
5  ^
\
у
4
f
1.17  А =
2
- 1
5
4
О 
6
- 3  
3  
1
,  В =
у
1.18  А -
6
 
-1
 
Г
8
О 
9
- 2  
5 
1
i p  
' 2
В =
2
 
6
  5 ^
- 3  
1  4
ч  7 
3  8 ,
'   3 
5  4 '
1 
2  6
1
2
/
\
V
3 
4 
О 
6
,  В
7  8 
1 
- 3   0
- 3  
0 
4
V
5
2 
6
г0
- 1
6"
'  4
- 2
6 |
1.20  Л =
7
8
2 , 
в  =
- 5
0
8
,9
4
5,
, 9
3
К
/
1.21
 
А =
4 
0 
6
5 - 2   7 
9 
3 
1
\
V
'   з
(8  
1 
4
\
5
2
 
3
1.22  А =
0  5
V
/
0
-
1
2
/
V
- 2   6  1 
2 
8  4
\
2  4
\
- 4  
5 
6
V
7
2
 
1
/
Г  8 
- 1 2
1.23  А =
\
5
3  
1
1 - 2  
6 
4
2  4 - 3
V7  3 
1
У
1.24  А =
1
 
6
 
- 2  
0  2 
9 
4  3 
5
\
Г
/
\
2 - 4   0
7 
1 
3
6 
5 
8
\
у
19

1.25  А =
( 4  
0 
р
3  - 3   1
ч
г
7 
9 
2
у
1.26  А =
1
 
- 1
 
6
\
3
О 
9
1.27  А =
- 2  
8 
5
(   1 
2  5
\
V
-3   0  4 
7 
6  9У
1.28  Л =
Г  6 
0 
7  ^1
4 
5 
1
V
2
 
6 - 1
/
1.29  А =
( 4   0  6^ 
5  1 
7
V
2  8  3
)
,  В =
1.30  А =
5 - 1 6  
4 
2 
3
л
\ О
3  1
f 1
8
1 |
в  =
- 3
0
- 2
•
9
,
5
2
-5>
(4
- 2
6^
в  =
■  8
0
9
•
9
|
- 1
2>
(
P
4
0
1  4
ш
- 5
6
- 3
•
{
5
2
3 ;
r 
0
1
2  1\
в  =
3
5
6 Ш
9
, - 5
2
4/
1
- 2   -- 4 '
о
СП
1
1
1
6 
;
4
k;
►
І 5
2
4 J
(
7 
-- 2
6)
у
- 3  
0 
4
\ 3
2 
1
у
1.4 Сызыктық теңдеулер жүйесін Крамер
ережесімен  шешу
Үш белгісізден тәуелді үш теңдеулер жүйесін карастырамыз:
«11*1  + «12*2 + «13*3  =Ь„
Щ   + «22*2  ШііЩ  =А »
ШШ  + а 32Х2  + «33*3 шЖ
(
1
.
2
)
Мұндағы  о.  ( /
1
1,3, j  - 1,3)  белгісіздерінің коэффициенттері деп аталады.
Егер бұл теңдеулер жүйесі белгісіздерінің  коэффициенгтерінен кұралған 
ггауыш _ нөлге  тек  емес  болса,  онда  сызықтык  теңдеулер  жүйесінін  біо
түрде
« и
«12
«13
If 
«21
«22
«23 i  *  0
(1.3)
!«зі
«32
« 3 3 1
Осы  аныктауыштың  тік  жолдарын  біртіндеп  (1.2) 
LJU H  
мүшелерімен алмастьфу аркылы мынадай үш аныкгауышты есептейміз:
теңдеуінің  бос
20

«11
*1
«13
«11
«12
*1
«21
ь2
«23  >
Йлгз  “  '«21
«22
*2
«31
*3
«33
«31
«32
*3
=   *2 
а 22 
«231  » 
=
f e   «32 
«33
01-
Сонда  (1.2)  сызыктык  теңдеулер  жүйесінің  шешімдері  төмендегі 
формуламен аныкталады
'  
х   -  —5- 
х   -  ^*2 
х   -  ^*3 
I
A ’ 
2 "   A  ’ 
3
_ _ Г '  
j
Мы с алы, берілген теңдеулер жүйесін Крамер ережесімен есептеңіз:
2
jcj  -   дг
2
  +  
х3 
=  
2
Зх, + 2
х
2 + 2х3  = - 2
\  х,-2дг2 +  хг  =  1
Шешуі: Берілген теңдеулер жүйесінің сэйкес аныктауышын есептейміз:
2  - 1  
1
Д =   3  2  2  = 4 - 6 - 2 - 2  + 8 + 3 =  5 * 0 ,
*1
 
а 12
 
«13
1
 
- 2
 
1
жүиесінщ
аныктау үшін, мына аныктауыштарды табамыз:
2  - 1  
1
АХ]  =  - 2  
2 
2  = 4  + 4 - 2 - 2  + 8 - 2  = 10,
1 
-2 
1
2  
2
 
1
Д
*2
  =  3 - 2   2  = - 4  + 3  + 4 + 2 - 4 - 6  = - 5 ,
1 
1
 
1
 
^
2  
- 1  
2
А ,3  =  3  2  - 2   = 4 - 1 2  + 2 - 4 - 8  + 3 = - 1 5 ,
1
 
- 2
 
1
сонда
Ш
М
Щ
К  
1  ■  Д«  
J d - -
  , 
г
- 4
ч
, - 1 5  
,
”  
Д 
~  
5 
’  
2 '
 
Д 
~Т~'  
’
 
3 
“
Т
~
Г = 
‘ 3
теңдіктері орындалады.
Сонымен Крамер ережесі бойынша:  х х = 2 ,  лг2  = - 1 , 
дг3  = - 3   болады
21

1.5 С ы зы қ т ы қ  тецдеулер жүйесін кері  м атрица
әдісімен  шешу
теңдеулер
шешу үшін қайта карастырамыз:
12л 2
13л3
'I
а
2
\Х\
 
+  «
22*2
  +  «23*3 
= Ы .
(
1
.
2
)
Ш ®   +  «32*2  +  «33*3  І  Ь3
Осы
теңдеулер
жүиесіндегі
белгісіз
коэффициенттерінен  кұрастырылған негізгі
аинымалылардың
f
А =
aи
a
12
a
\
13
a
21
a
22
a
23
V
a31 
^32 
^33
матрицаның сэйкес аныктауышы нөлден өзгеше болсын, яғни
а
11 
а 12
а
13
det(v4)=  а2\ 
a
22
а2і  Ф 0,
a
31 
«32 
«зз
онда (1.2) теңдеулер жүйесінің шешімі бар болады. 
Мынадай белгілеулерді енгіземіз:
«11
а12
«13
(Ь Л
А =
ч \
а22
«23
, х = х2
жэне  В = ъ2
<«зі
«32
«33 1
Ш)
a j
онда (1.2) теңдеулер жүйесін матрицалык түрде
«п
«12
«13
1 ( х   } 
Х\
«21
«22
«23
•
х2
—
Ь2
,«31
«32
а зз >
Л
немесе  кыскаша
А Х  = В
(1.4)
-1
,  ! 
!  үшін  л  
-А
жэне 
Е  • X  — X
  болатындығын ескере отырып, ( 1.4) теңдеуінін екі жағыи
жағынан  А~х  кері матрицасына  көбейтіп  А~1 - А - Х  = А~х  ■ В
Е
теңдігін аламыз.
теңдеулер жүй
(1.5)
түрінде
*1
  + х2  -  Зх3  = 3,
3jt|  -  4
х
2 +
х
3  = 2 ,
2xt  + х2  + 6дг3  = 5.
жүиесін
22

Шешуі:  Теңдеулер жүйесін шешу үшін
Г1 
1 
- з '
' 3 "
А = 3  - 4  
1
j 
х   =
х2
жэне  В = 2
щ
 ■
,2 
1 
6 ,
1
белгілеулерін  енгіземіз.  Енді 
А 
матрицасының  сәйкес  аныктауышын
есептеиміз:
1
і 
- з :
d e t(^ )=   3  - 4  
1  = - 2 4 -  9 + 2 - 2 4 - 1 - 1 8  = - 7 4 * 0 ,
2  
1
6
демек  берілген  теңдеулер  жүйесінің  шешімі  бар.  Ол  шешімді  (1.5)  теңдеуі
аркылы  аныктаймыз.  Ол үшін алдымен бізге  А  1  кері матрицасын табамыз:
,  
' - 4  
1
 
3
 
1
1
 
б "   2 5 ’ 
~ ~ 2  
б " “ 1 6 .
А п  
1
^ 2 1
1
 
- 3
1
 
6
= - 9 ,
Л
2 2
 
-
1
 
- 3
2 
6
= 
12
,
3  - 4  
2
 
1 
1
 
1
= 
11
,
23
^ З І  
-
1
3
- 4  
1
—  —
1 1
,   ^ 3 2   — 
—
1
 
- 3
3  
1
= - 1 0 ,  А
1
2
 
1 
1
= 1,
33
3  - 4
= - 7 ,
і 
1 
яғни  л  
= -----
74
- 2 5   - 9   -1 1  
- 1 6  
12 
- 1 0
\
V
11
1
- 7
тен, онда
/
Аг = -
1
Г - 25  - 9   -1 1  
16 
12 
- 1 0
7
1
74
7 4
,  
1 1
1
1 4 8 ^
' Т
—
7 4
=
1
о  
L і
\
/
1
•
2
-  
74
)
- 2 5 - 3 - 9 - 2 - 1 1 - 5  
- 1 6 - 3 + 1 2 - 2 —10-5 
11-3 + 1 - 2 - 7 - 5
\
болады.
Сонымен 
кері 
матрица бойынша жауабы:  хх  = 2 ,  х2  = 1, 
jc
3
 
= 0
1.6 Сызықтық теңдеулер жүйесін
Гаусс әдісімен  шешу
Сызыктык  теңдеулер  жүйесін
үштен  көп  теңдеулер  жүйесін
әдісі оте  колайлы  болып  табылады.  Бұл  әдістің  мэнісі  белгісіздерді  біртіндеп 
жоюда  жатыр.  Осы  әдісті  төрт  белгісізден  тәуелді  төрт  теңдеулер  жүйесіне 
карастырамыз:
23

Q\ jXj  +  ^12-^2  Л *13*3 
*14*4  “  
*1 
a 2 \x \  +  *22*2  ^"*23*3  +  *24*4  =  *2 
*31*1  +  *32*2  +  <*33*3  +  *34*4  =  *3 
*41*1  +  *42*2  +  *43*3  +  *
4 4 * 4
  =  Ьл
(16)
Бұл  теңдеуде 
a u  
* О  болсын,  егер 
а п  
= О  болса,  онда  бірінші  теңдеу 
ретінде  *,  коэффициенті  нөлге  тең  емес  теңдеуді  алып,  кеңейтілген
кұрастырамыз
г
*11 
*12 
*13 
*14  *15
\
*21 
*22 
*23 
*24  *25 
*31 
*32 
*33 
*34  *35
V*41
*42 
*43 
*44  * 45 )
(1.7)
Бірінші  қадам:  бірінші  жатык  жолды  дп -ге  бөлеміз,  шыккан  нәтежені 
I  а21 ' ге  көбейтіп  екінші  жатык  жолға  косамыз,  сонан  соң  -  
а 3
, -ге  көбейтіп 
үшінші  жатык  жолға  косамыз,  ең  соңында  - а 41-ге  көбейтіп  төртшші  жатык
Алынған
1
Ьп   I 13
0
 
b j?  
ь 23
\
0
 
ъ
32  иъз
42 
*43
*14
*15
*24 *25
*34 *35
*44 *45
\
(
1
.
8
)
мүндағы  by  элементтері  а у -дан мына түрде алынады.*
Ml
а
а
i j
и
О  
2
,3 ,4 ,
5); 
b y   =   d jj 
- a nbx
|  1 
=  
2
,
3
,
4
; 
j  
i 
2
,
3
,
4
,
5).
Екінші  кадам:  (1.8)  матрицасының  бірінші  жатык  жолын  калдырып, 
екінші  жатык  жолды 
Ь2 2 - г е  
бөлеміз,  шыккан  нәтежені 
- b 32-
ге  көбейтіп
жолға косамыз. Сонда
төртінші
(1  
О 
О
*12 
*13 
*14  *15 
1 
С23 
с 24 
с 25
\
\
О
о
о
с 33  с 34  с 35
43 
|-44  с 45 У
(1.9)
мұндағы  Су  элементтері  Ьц -дан мына түрде алынады:
*2 j
c 2 j = ~  
O '= 3,4,5);
*22 
1
Cij
I  b u  - f § J f t   І  
= 3,4;  j  = 3,4,5). 
Осылай жалғастыра отьфып, ен сонында мына матрицаны аламыз
24

/
V
1
*13
*14
0
1
с 23
с 24
0
0
1
^ 3 4
0
0
0
1
II
d
35
(
1
.
10
)
Осы  матрицаға сәйкес теңдеулер жүйесін былай жазамыз
X,  + 
+ 
6
^ ДГ, 
+Ы
а
Х
а
  =Ь
12
-* 
2 
1 
Л* 
Лт
13^3
І 4 Л 4
15
0 
+  
х 2  +  c 23jc3  +  c 24jc4  =  с 25
0
 + 
0
  + 
х
3
  + d 34x 
4
  = J
35
0
 + 
0
  + 
0
 +
(
1
.
11
)
* 4   1  *45
түрленген 
т е н д е у л е р   ж ү й е с ін е н
оастап аикындалады.
Мысалы, 
б е р іл г е н  
теңдеулер жүйесін Гаусс эдісімен есептеңіз:
2х
і
х-у
  + 
5хл
  = 4
ЗдГ|  -   х 2  +   5 * з   =  0   .
5х| + 2
х
2 + 13х3  = 2
Шешуі: Теңдеулер жүйесінің кеңейтілген матрицасын жазамыз
' і   - і
2 - 1   5 4 1
3 - 1  
5  0
\ 5  2  13  2 /
бірінші жатык жолды 
(-3) - ке көбейтіп екінші. 
(-5) - ке көбейтіп үшінші 
жатык жолдарға косамыз
ч
\
бірінші жаты к 
жолды 
2
 - re 
бөлеміз
1
0
О 9
\
1
5
2
2
_  5
2
2
1
2
2
5 
2 
2
 
2
 
1
3*  - 1  
5  0 
5 
2 
13  2
\
V
1
 
_
2 
- 6  
- 8
\
екінші жэне үшінші
4 
жатык жолды 
2
 - ге
У
V
көбейтеміз
1 
-
1
2
5 2  2
^екінші жатык жолды 
>
1 
-
1
2
5
2
2  '
0
в Ш 0
1
- 5  
- 1 2
(-9) 
-
 
ке көбейтіп үшінші -
0
1
- 5
- 1 2
0
V
V
9
1  - 1 6  
-
 
Я
ч жатык жолға косамыз 
,
0
V
0
46 92
У
/ үшінші жатык4 
жолды 46 - га
/
V
белеміз
1 - 1  
5 
2 
1 
2 
2  L
О 
1 
- 5 - 1 2
О 
О
1
 
2
V
Алынған  кеңейтііген  матрицаға  сэйкес  тендеулер  жүйесі  былай
жазылады:
25

Сонымен жауабы:  х х  = - 4 ,   х 2  = - 2 ,  х 3  = 2
1.7 Сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеу.
Кронекер -  Капелли теориясы
Біз  п  белгісізі бар  п  теңдеулер жүйесін карастырамыз:
а \\Х\  ~*~а п Х2  + • • • + # ! пХп  =  А],
а г \Х \ 
^
2 2 * 2
  +  ••• +  а 2пХп  =  
^ 2
 > 
I
(
1
.
12
)
Мұндағы 
- 1 ,л )   белгісіздерінің  коэффициенттері,  jcf (/ = 1,л?)
белгісіздер,  ал  bj ( j  — l9n)  бос  мүшелер  немесе  теңдеулер  жүйесінің  оң
жағы
деп аталады.
(1.12) теңдеулер жүйесінің белгісіздерінің  коэффициенттерінен құралған
матрицаны  кұрастырамыз:
/
А =
а
и
а
12
а
\
In
а 2
1
 
а 22
•  •  #
a
2 п
•  •  •
•   •   •
• »
Ч
в -1
a
п 2
a
(1.13)
ПП
9-аныцтама.  Мына түрде берілген
Q]]X]
  +#|2*2 
а ]пХп  ~~
+ 
а 22Х2 
а 2пХп
  =
(1.14)
а п\х \  і Ш
і   і . . . + т М  і о
п 2   2
п п п
теңдеулер
(1.14)  біртекті  теңдеулер  жүйесінің  шешімі  хг = 0 , х2 =  0, ...,х  = 0
теңдеулер
кемінде біреуі нөлден өзгеше шешім де болуы мүмкін,  яғни 
*  0 (/ = 1,2,..л). 
Мұндай  шешім  (1.14)  біртекті  теңдеулер  жүйесінің  тривиалды  емес  шешімі
_
 
_
 
—
__________ ______________ ________ 
-  
•  
•  
*
 л *  
_  
-
.
________
шешімі деп аталады.
теңдеулер жүиесінщ
тривиалды шешімі болады.
теңдеулер  жүйесі 
мұндай  теңдеулер

2-теорема.  Егер  (1.14)  біртекті  теңдеулер  жүйесінің  тривиалды  емес 
шешімі бар болса, онда оның аныктауышы  Д  нөлге тең болуы  кажет ( Д = 0). 
Енді  біз  (1.12)  теңдеулер  жүйесін  оның  аныктауышы  Д = 0  тең  болған 
ж кезде зерттейміз.  Карастыруымыз бойынша
^ 
*12 
•••  ЭДыі
(I), 
Оу-у  ...  СІ-%
Д =   21 
22 
2л! =  0 
(1.15)
•   •
*л! 
*«2  *'•  *П
П
болуы  керек.  Жоғарыда  көрсетілген  (1.13)  матрицасының  ең  кемінде  бір 
элементі  нөлге  тең  емес  жэне  А  матрицасының  рангісі  к - г а тең  болсын  деп 
есептейміз  (к = рангЛ = 
г
(
а
)).  Сонымен  1 < к < п   болады.  Теңдеулер  жүйесін
мұндай жағдайда зерттеп дэлелдеген Кронекер -  Капелли.
Егер  біз  (1.12) теңдеулер  жүйесін  оның  сэйкес  А  матрицасының  рангісі 
£ -ға  тең  болған  кезде  (k  = r{A))  шешетін  болсак,  онда  біз  (1.12)  теңдеулер
жүйесінің кеңейтілген матрицасының,  яғни  А  матрицасына (1.12) теңдеулер 
жүйесінін  бос  мүшелер  бағанасын  косудан  алынған  матрицанын  рангісін 
білуіміз керек.  Кенейтілген матрица мына түрде жазылады:
* 1 1  
* 1 2  
* 1 / 7  
* 1
* 2 1  
* 2 2  
•** 
* 2  
п
 
* 2
Ч « И І  
а л 2
 
• • •  
а пя 
К  J
(1.16)
1)  Егер  В  матрицасының  рангісі  А  матрицасының  рангісінен  үлкен
болса 
(г(в)> 
г ( а )
= к ), 
онда  (1.12)  теңдеулер  жүйесінін  шешімі  жок.
Бұл  (1.12)  теңдеулер  жүйесінін  барлык  теңдеулерін  бір  мезгілде 
канағаттандыратын  Ttv x2,...,xn  шешімінін  болмайтьгадығын  теріске
шыгарады.
2)  Егер  В  матрицасынын  рангісі  А  матрицасынын  рангісіне  тең  болса 
( г( В ) = г  (А) = к ), онда (1.12) теңдеулер жүйесінін шешімі бар. Оларды
табу  үшін  (1.12)  тендеулер  жүйесінен  сэйкес  матрицасынын  рангісі 
k -ға  тен  болатын  кандай  да  бір  к  тендеулер  жүйесін  алып,  оларды 
шешеміз.  Мұндай  k  теңдеулерден  тұратын  жүйенің  шешімі  шексіз 
көп болады, бірак біз оларды жалпылама түрде жазамыз.
теңдеулер  жүиесінін
жүиесінін
болады.
Мысалдар карастырамыз:
1.  Берілген тендеулер жүйесін  шешініз.
1 1 1

жүктеу/скачать 12,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: