Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015
жүктеу/скачать 12,35 Mb. Pdf көрінісі
|
)z 3 = z,(z 2 z3) терімділік заны; 3. z , (z2 + z 3) = z,z 2 + z,z 3 үлестірімділік заны. Екі z, = г, (cos р, + / • sin x) жэне r 2 * r 2 (cos -f i * sin комплекс сандары тригонометриялык түрде берілсе, онда олардын көбейтіндісі ZjZ, « Г,( c o s + / s i n У2(cosф2 4* is in ^ 2) s = Г.r2(c o s C O S ^ 2 + / sin СО&ф2 + ICOS9>, sin Ф2 - sin )» = r / 2 ((cos (px cos - sin q>x sin 2) + /( s in c o s + cos sin 2) ) • 35 = r\r2 [cosfo +q>2) + is b ( p , + 2)] теңдігімен аныкталады, яғни z i z 2 = Г2 [c°s( + (p2)} (2.13) болады. . Сонымен, екі комплекс санның көбейтіндісі, модулі көбейткіштердің модулдарының көбейтіндісі, ал аргументі көбейткііитердің аргументерінің қосындысы болатын комплекс сан болады. 2.4.4 Комплекс сандарды болу У-анъщтама. Комплекс сандарды бэлу, кобейтуге кері амал ретінде аныкталады. Сонымен екі 1 1 д, + iy, жэне z2 1 *2 1 § £ комплекс саны берисе, онда z2 В 0 болғандағы z, -дің z2 -re бөліндісі деп, берілген z2 -ге көбеитіндісі z, -ді беретін,яғни Е ■ Z2Z - zi (2 J 4 ) теңдігш канағаттандыратын z саны аталады жэне болып белгіленеді. г Ш ( 2 .1 5 ) Егер z , - х , + />,, z 2 -дг2 + iy 2 * 0 , z = x + iy болса, овда (2.14) теңдігінен [х2 + іу2 X* + iy) = (х2х - у 2у) + i(y2x + х2у ) = *, + />, теңдігін аламыз, бұл теңдіктен теңделер жүйесін х2*-У2У = х], Щ + х2У 1 1 х = + Ш ь Ш Һ Щ Ш Х1+УІ \ Ш +уі Табылған мәдерді z - х + іу теңдігіне коямыз, сонда 7 = Һ - * 1*2 + У, У 2 j . УіХ2 - x,y2 Z 2 * 2 У 2 * 2 У 2 болады. Жалпы алғанда іс жүзінде екі комплекс санның бөліндісін алу үшін бөлшектщ алымы мен бөлімін бөлімінің түйіндісіне көбейтеміз, сонда оолімінің жорамал бөлігінен кұтыламыз. Шыныменде, егер екі z , = x , + іу, және z2 = х2 + іу2 щ 0 комплекс саны і л а А Т Т Т Т Л берілсе, онда X 2 2 * 2 + ІУг ( * 2 І іу2 Х * 2 - іу 2) х\ $ у\ ^ 1 ± Ы 2 I * 2 1 - Х,У, * 2 I У 2 х \ I у \ 36 тен. Мысалы, ——7 бөліндісін табу керек. 2 + і . 1 + 3/ ( l + З ф - і ) 2 - І + 6 / + 3 5 + 5/ 8 1 . Шешуі. — д Ш - -;{ = — — ----- = — — = 1 + 1- 2 + і (2 + іД 2 - і) 4 + 1 5 Егер екі комплекс сан тригонометриялык түрде берік түрде жүргізіледі - = r ' j c o s ^ + i s i n < P |) Д . [cos(»>| - Л ) + І . ш ( * Ш I Z2 r2 VC 0 S 2 + 1SU 1 Ф 2 ) r2 Сонымен, екі комплекс санның бөліндісі, модулі комплекс сандардың сэйкес модулдерінің бөліндісіне, ал аргумеиті комплекс аргументерінің айырмасы болатын комплекс сан болады . r j s j Я , /Г 51 c o s — + / s m — Мысалы, - ------------------- ү бөліндісін табу керек. 7 l c o s — + / s i n - 3 3 51 cos - -ь / sin ^ ^ H i , I 2 2 ) 5 Шешуі. — = ______ z 7 J n , . n \ 7 2 71 cos — +zsin 3 3 n . . It cos + /sin 6 • 6 2.4.5 Комплекс сандарды дәрежелеу Комплекс сандарды дәрежелеу формуласын алу үшін алдымен берілген z = л: + /у комплекс санын тригонометриялык түрде жазып, (2.13) теңдігінің непзінде z 2 = zz = rr[c o s (^ > + + / sin + p ) ] = r 2( c o s lq > + / sin 2 (2.16) тең дтн аламыз. (2.16) теңдігін колданып, z комплекс санынын л-ші дәрежесін мына түрде жазамыз: z" = (r(cos^> + i sin = r" (cos n + / sin n (2.17) Бул формула Муавр форму ласы деп аталады. Осы формуладан комплекс санды оң бүтін санга дэрежелеу кезінде, оның модулі осы санга дәрежеленетінін, ал аргументі осы санга санга көбейтілетінін керебміз. Мысалы, (l + 3iJ жэне (l + і ) 1 сандарын есептеу керек. Шешуі. Алдымен берілген I + 3і комплекс санды тригонометриялык түрге келтреміз, сондыктан г = 1 + і з У = 2 ; arg г = arctg — => argz = K болатынын аныктаймыз, сонда 37 z = 2| cos — + i sin — 3 3 болады. Енді осы санға Муавр формуласын колдану аркылы z 9 = u + = 2 |^cos9 — + /s in 9 y = 2 9(cos3^ + /sin3ff) = 29( - l ) = -5 1 2 болатынын көреміз. Дэл осы сиякты 1 + і комплекс санын тригонометриялык түрде жазамыз: :жхл- г = л І + 1= 2, cos sins? = - 1 , <р = — -П 2 4 сонда z = 2\ cos — + і sin П 4 4 болады. Осы санға Муавр формуласын колданамыз, сонда г 121 (11 i f 1 ( 2 J2 J cos 12 ~ I /sin 12 j ] 1 64(cos3;r 1 /sin $ | 1 6 4 { -l)= -6 4 . 2.4.6 Комплекс сандарды түбірден шығару 10-анықтама. z комплекс санының I -ші дәрежелі түбірі деп, со" 1 1 теңцітін канағаггандыратын S комплекс санын айтамыз, яғни егер со” = 1 болса, онда Ш = со болады. Егер z = r(cos ал со = p(cosӨ + sin Ө) болсын. Сонда түбір аныктамасы мен Муавр формуласы бойынша z==fi> = р " ( c o s « 0 + 1 • s i n п д ) = r ( c o s (p + s m q i ) теңдігін аламыз. Комплекс сандар тевдігінен олардың модулдерінің тең болатындыгын, ал аргументгерінің 2 ^ -ге еселі санға өзгеруі мүмкін болатынын ескерсек, онда | | = г , пӨ = ср + 2лк, /t = 0 ,-1 ,1 ,- 2 ,2,..., а __ (р + 2лк Г ; шМ ... С/ --- — Ж Э Н Р ~ П У ^ л п о т і т т ТТТ w / ч м т яғни п мұндағы сан. И5Іп^ = " r f түрде жазылады: . ср + 2лк s in --------- (2.18) Осы теңдіктен * = 0,1,...,л-1 мәндерін бере отьфып, түбірдің эртүрлі п мәнін аламыз. * -ның баска мәндері үшін аріументгері алынған тубір мэндершен 2п -ге еселі санға өзгеше болатын, яғни карастырған түбір мәндеріне сәйкес түбір мәндері алынады. Шыныменде, егер к = п болғанда со„=п г Ф + 2якл / COS----------- + / sin ------------ К п І = л г COS^— * 27rj + /sin^— + 2 п 38 * теңдігі алынады, яғни к — 0 болғандағы түбір мэні сәйкес келеді. Сонымен z ( z ф 0) комплекс санының п -ші дәрежелі түбірі әртүрлі п мән кабылдаиды. Мысалы, 3 і =(о мәнін табу керек. түрде жазамыз: « = 1 п . . п CO S— + /SU1 - 2 2 \ Олай болса, - ■ К . . п I =3 co s + /sin — 2 2 = 3 1 c o s п 2 + 2лк 3 + / sin п - +2лк 2 _ ___ 3 V болып жазылады. Осы формуладағы £ = 0,1,2 деп алып, түбірдің үш мәнін табамыз: / /\ /г___ к = 0 оолғанда, со0 = c o s — + / s in — 6 6 3 .1 + 1 - мәнін аламыз; 2 2 . к = 1 болғанда, = cos я 2 + 2лг 3 + і s in — + 2л- с с 2 5лг . . Ък -------- — = cos — + 1 sin — 3 6 6 3 .1 — + і - 2 2 мәнін аламыз; 9к 9п k = 2 болғанда, = cos — + і sin - 3 3 Ъп . . Ък sin — = cos— -f /sin 6 6 = - / мәнін аламыз. 2.5 Керсеткіші комплексті айнымалы болатын көрсеткішті функция 11 -анықтама. Егер кандай да бір комплекс мәнді облыстын комплексті z айнымалысынын әрбір мәніне, баска комплексті (о шамасынын айкындалған мәні сэйкес келсе, онда (о комплексті z айнымалысынан тәуелді функция болады. Аргументі комплексті функция со = f ( z ) немесе o) = (o(z) түрінде б е л г іл е н е д і . Біз комплексті айнымалыдан тәуелді болатын көрсеткіштік а) = е' (2.19) немесе а>=ехНу (220) функциясын карастырамыз. Қарастырып отырған со функциянын комплекс мәні мына түрде аныкталады: яғни ex+ ly = e Jt(cos>, + /sin>’), (2.21) a}(z)=ex (cos + / sin j/). (2.22) Көрсеткііиі комплексті функциялардың қасиеттері 1. Erep z, жэне z, екі комплекс сан болса, онда болады. (2.23) Дэлелдеу. Берілген z, жэне z2 сэйкес z, | j§ 1 iyx жэне z 2 = x 2 + iy болса, сонда = е х' + >>2) + /sin(j = ех'еХ![cos(y, + у2) + і sin(y, I у 2)] (2.24) көбейту форму. түрде I е" | | [C0S(^1 В У 2 1I І sin(v, I y 21 •'I (2.25) теңдігін аламыз. Сонымен (2.24) жэне (2.25) теңдіктерінің он жакгары тен болғандыктан, олардын сол жактары да тен болады: 1 1 1 Я П Е Дэл осы снякты келесі касиеттерді де дэлелдеуге болады. 2. Егер z, жэне z2 екі комплекс сан болса, онда болады. = 3 7 (2-26) 3. Егер т - бүтін сан болса, онда (ez)f = e m (2.27) болады. Егер т > О болса, онда бұл формула (2.23) формуласының негізінде алынады, ал егер т < О болса, онда б р формула (2.23) жэне (2.26) формулаларының негізінде алынады. 4. Мына _z+2 М 2 е - е (2.28) тепе - теңдік орындалады. Шыныменде, (2.23) жэне (2.21) формулалары бойынша е**2я = e ze 1" = ег (cos 2к +;f sin 2л)Ш;е* болады. Ал, (2.28) тепе - теңдігінің негізінде е ' көрсеткішті функциясынын п е р и о д ы 2 т болатын, периодтык ф и к ц и я болатынын көреміз. 5. Енді (0 = и ( х ) + /v (jc ) комплексті шамасын карастьфамыз, мұндағы и ( х ) және v(x) накгы х айнымалысынан тэуелді нақты функциялар. Қарастырып отырған со комплексті шамасы, н а қ т ы а й н ы м а л ы д а н т ә у е л д і к о м п л е к с т і ф у н к ц и я . 40 а) Айталык lim «(*)= u(x0), lim v(x)= v(x0) x “ *x0 Х-*Д0 u ' «^шектері бар болсын. Сонда и(х0) + i'v(x0) = со0 комплексті айнымалы су-дің шеп деп аталады. а) Егер и (х) жэне v '(x ) туындылары бар болса, онда й)'х = w '(jc)+ iv'(jc) өрнегін накты айнымалыдан тэуелді комплекс функцияның накты аргумент бойынша туындысы деп аталады. 2.6 Эйлер формуласы. Комплекс саныц көрсеткіштік түрі Егер (2.21) формуласында х = 0 деп карастырсак, онда е* = cosy + /sin у (2.29) формуласын аламыз. Бұл формула көрсеткіші жорамал болатын көрсеткіштік функцияны тригонометриялык функция аркылы өрнектейді жэне Эйлер формуласы деп аталады. Егер (2.29) формуласында у -ті — у -ке алмастырсак, онда е = c o s y - /s in (2.30) теңдегін аламыз. (2.29) жэне (2.30) теңдіктерінен cosy жэне sin у табамыз: е* + eiy - cosy = ---- --- --» smy = — - — . (2.31) Бұл формулаларды cosy жэне sin у дэрежелерін өрнектеу үшін жэне олардың көбейтінділерін еселі догалардың синусы жэне косинусы аркылы жазуға колданамыз. Мысалдар карастырамыз: 1 . c o s 2 у = I = 1 [е11г + 2 + еч2у)= 1 = 4 [(cos 2 y + / sin 2 у ) + 2 + (cos 2 у - i sin 2 у )] = * (2cos 2 у + 2) = 1 (l + cos 2 у ) . 2. cos2 ф • sin2 ю = .» * Г е ь _ е - ь у Г 12, _ е - , г , V е у + е 2 2/ / 4 - 4 / 2 Комплекс сан (2.7) формуласымен, ягни тригонометриялык турде берілсін; • \V* 2 = Г (COS (р + / s i n ^ ) , MYH Эйлер формуласы бойынша 41 — J v cos(p + i-siti(p = e болатыны белгілі, сондыктан (2.7) формуласын мына түрде жазамыз: I 4шш0 f бұл формула комплекс санның к ө р с е т к і і и т і к ( э к с п о н е н т а л ы қ ) т ү р і деп аталады. ... Щ І Р ^ | г '# <Р (2.32) формуласындағы r = z комплекс санның модулы, ал бұрыш аргументі Эйлер формуласы бойынша е і<р функциясы 2 тг негізгі периодпен периодты. Комплекс санды көрсеткіштік формада жазу үшін комплекс санның аргументінің негізгі мәнін тапса жеткілікті, яғни (р = arg z. Мысалы, z, = - 1 + /, z2 = - 1 және z3 = i комплекс сандарын тригонометриялык жэне көрсеткіштік түрде жазу керек. Шешуі. Алдымен z. = - 1 + / комплекс саныньщ модулын жэне аргументін zi ~ г = - ( - 1) 2 +12 = 2 жэне argz, = arctgf— 1 + я = - - + л- = — 1 , . - . , я ғ н и - I J 4 4 Ъл = ~ - Сондыктан z, = - ! + / = 2 4 І Ъп . . Ъп^ cos— + г sin — I 4 4 ; Зяг жэне z, = 2e 4 . z2 - 1 ү ш .н \ z 2:- r - ( - 1)2 Я О2 1 1 ж э н е arg z 2 1 к \ я ғ н и <р = л . С о н д а z 2 = “ 1 = cos/т * /sin п жэне z2 = e in . Ал Z , = i үшін :/= 02+12 =1 жэне argz3 = | , яғнн Демек Я- . . . к л . I z3 - / = c o s — + i s i n ~ жэне z3 = e 2 . 2 Егер комплекс сандар көрсеткіштік түрде z l = r le i*1 жэне z Щг ё 4*1 болып берілсе, онда щ-Щ § • г2е * |Щ |§ > ! (2.33) z 2 p f r2 z" 1 |j | I % r V % ,ф+2кх (2.34) (2.35) Б В В 1 (^ = 0 ,1 ,2 ,...,и -і) (2.36) формулаларымен аныкталады. 42 III. Векторлык алгебра 3.1 Векторлар жэне оларга колданылатын амалдар 1 -анықтама. Бағытталған кесінді вектор деп аталады. % Вектордьщ басы А нүктесінде, ал соны В нүктесі болса. онда вектор АВ болып белгіленеді. Егер вектордьщ басы жэне соңы көрсетілмесе, онда вектор латын әліппесінің кіші әріптері a,b,c,... аркылы белгіленеді. Төменгі 5-суретте вектордьщ бағыты ұпггалып белгіленген. А __ 5-сурет АВ векторына карсы бағытталған вектор ВА деп белгіленеді. Басы жэне соңы беттесетін вектор нөлдік вектор деп аталады жэне 0 деп белгіленеді. Оның бағыты белгісіз болады. 2-анъщтама. Вектордың ұзындыгы немесе модулі деп оның басы мен сонынын арасындағы аракашыктык аталады жэне мына түрде белгіленеді АВ жэне а . 3 -анықтама. Вектордьщ ұзындыгы АВ .жэне а оньщ нормасы деп аталады. 4 -аныцтама. ¥зындығы бірге тең вектор - бірлік вектор немесе орт деп аталады. 5 -анықтама. Векторлар бір түзуге параллель болса, онда олар коллинеар деп, ал бір жазыктыкка параллель болса, онда олар компланар деп аталады. 6-аныцтама. Өзара коллинеарлы, ұзындыктары бірдей, ал багыттары карсы болатын а жэне b векторы карама-карсы векторлар деп аталады жэне а = -Ь, ( - а = Ь) түрінде жазылады. 7 -аньщтама. Екі вектор коллинеар, бір бағытгас жэне ұзындыктары бойынша тен болса, онда олар тең векторлар деп аталады. Тен векторлар АВ = CD немесе а = b болып жазылады. Векторларга колданылатын сызыктык амалдарға векторды санға көбейту жэне векторларды ез ара косу жатады. 8-анықтама. Модулі а а болатын, а > 0 болганда а векторымен багыттас, ал а < 0 болганда а векторымен карама-карсы багыттас вектор а векторы ның а саны на көбейтіндісі деп аталады жэне а а немесе аа болып жүктеу/скачать 12,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|