Абай атындағы

 
 
71
Отсюда и из единственности решения поставленной задачи следует и существование ее 
решения. 
 
Исследование случая 
2
1
m
m
>
 осуществляется, так же как и  при 
1
2
m
m
≥
. 
 
В случае, когда выполняются условия (9), (10), например при 
1
,
2
=
=
j
i
, полагая 
)
(
)
1
(
)
(
),
(
)
(
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
μ
β
μ
α
β
β
−
−
=
=
, причем 
J
x
x
∈
∀
≠ ,
0
)
(
μ
, из (12) получим 
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
0
2
1
2
x
x
t
x
dt
t
dx
d
μ
γ
β
τ
β
Γ
=
−
∫
−
.                                                         (20) 
 
Интегральное уравнение (20) разрешимо при выполнении условия 
0
)
(
)
(
)
1
(
2
1
0
2
2
=
−
−
−
∫
dt
t
t
t
t
μ
γ
β
β
. 
Подставляя найденное 
)
(x
τ
 в (11), находим 
)
(
1
x
v
 и 
)
(
2
x
v
. 
 
1. Hardy C., Littlewood Y. Some properties of fractional integrals //J.Math. Zeitsehz. – 1928, 
27. J 64. p. 565-606. 
2. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. – М: Издательство АН СССР, 1959, 164 с. 
3. Нахушев  А.М.  Обратные  задачи  для  вырождающихся  уравнений  и  интегральные 
уравнения  Вольтерра  третьего  ряда //Дифференциальные  уравнения. – 1974, т.10, 
№1, стр. 100-111. 
4. Бейтмен Г., Эрдей И.А. Высшие трансцендентные функции. М: Наука. 1973. – 296 с. 
5. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М: Фиматиз.- 1963. – 380 с. 
6. Мусхелитвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М: Наука. 1968. – 512 с. 
 
 
 
УДК 539.126 
С.А. Жаугашева, Г.С. Нурбакова 
 
МАССОВЫЕ СПЕКТРЫ ЧАРМОНИЙ И БОТТОМОНИЙ В РАМКАХ 
РЕЛЯТИВИСТСКОГО ГАМИЛЬТОНИАННОГО ПОДХОДА 
 
(г.Алматы, КазНУ имени аль-Фараби) 
 
Əсерлесудің  спин-спиндік,  спин-орбитальдық,  релятивистік  жəне  пертурбативті 
емес сипаттарын ескере отырып, ауыр кварктардан тұратын мезондардың орбитальды 
қозған  күйінің  массалық  спектрі  анықталған.  Құрамдас  бөлшектердің  конституентті 
массасының  еркін  күй  массасынан,  орбитальдық  жəне  спиндік  кванттық  сандардан 
тəуелділігі  анықталды.  Орбитальдық  кванттық  санның  өсуімен  байланысты  құрамдас 
кварктардың  конституентті  массасының  өсетіндігі  көрсетілген.  Кварктардың 
конституентті массалары олардың токтық массаларынан көп болатындығы негізделді. 
Mass spectra оrbital the raised condition mesons, consisting of heavy quarks, taking into 
account backs-back, backs-orbital, relativistic and nonperturbative characters of interaction 
are defined. Dependence constituent weights of making particles from weight of a free 
condition, and from orbital and spin quantum number is defined. It is shown that with 
increase of orbital quantum number constituent weights of making quarks increases. It is 
established that constituent weights of quarks are much more than current  weights of quarks. 
 
Введение 
В настоящее время о структуре и механизме формирования квантовых объектов 
существуют следующие представления: связанные состояния состоят из фермионов, а 
взаимодействия  между  этими  фермионами  осуществляются  с  помощью  обмена 

 
 
72
бозонов.  В  частности,  в  атомной  структуре,  которая  состоит  из  электронов  и  ядер, 
такими  бозонами  являются  фотоны,  в  ядре  нуклоны  связаны  мезонами,  а  адроны, 
состоящие  из  кварков,  связаны  глюонами.  Таким  образом,  механизм  формирования 
квантовых  систем,  формально,  объясняется  единым  образом.  Известно,  что  единый 
механизм  формирования  связанных  систем  непротиворечиво  описывается  в 
нерелятивистской квантовой механике. 
Однако,  в  современной  релятивистской  квантовой  теории  поля  (КТП) 
образование  и  описание  связанных  состояний  до  сих  пор,  не  является  хорошо 
поставленной задачей (см. в [1, 2, 3]). КТП описывает упругое и неупругое рассеяния 
свободных релятивистских частиц, находящихся на больших расстояниях друг от друга 
в  состоянии  плоских  волн.  При  этом  сама  формулировка  КТП  проводится  в  рамках 
теории  возмущений,  т.е.  в  разложении  по  степеням  взаимодействия,  где  никакие 
связанные состояния принципиально возникнуть не могут. Таким образом, возможная 
постановка  задачи  на  связанные  состояния  требует  выхода  за  рамки  теории 
возмущений,  где  имеющиеся  методы  исследования  по  сути  дела  еще  не  развиты 
должным образом. С другой стороны известно, что энергетический спектр связанного 
состояния  может  быть  определен  с  хорошей  точностью  в  рамках  нерелятивистской 
квантовой механики (НКМ) при надлежащем подборе потенциала взаимодействия. Тем 
не  менее,  нерелятивистское  уравнение  Шредингера  (УШ),  дающее  математически 
корректное  описание  связанных  состояний,  уже  не  является  достаточным,  так  как 
требуется  учет  релятивистского  характера  взаимодействия,  поскольку  для  описания 
современных  экспериментальных  результатов,  полученных  как  в  атомной [4], так  и  в 
адронной физике [5] требуется учет релятивистских поправок. 
Таким образом, реальная физика требует создания какого-либо математического 
решения  проблемы  описания  связанных  состояний,  на  основе  КТП.  Все  усилия, 
затрачиваемые  в  этом  направлении,  условно  можно  разделить  на  два  направления. 
Отправной  точкой  одного  направления  является  утверждение,  что  если  существует 
связанное  состояние  двух  частиц  с  соответствующими  квантовыми  числами,  то 
амплитуда  упругого  рассеяния  этих  частиц  имеет  простой  полюс  по  энергии  в  точке 
массы  связанного  состояния.  На  основе  этой  идеи  были  сформулированы  уравнение 
Бете-Солпитера [3, 6, 7] и так называемые квазипотенциальные уравнения [8]. Другое 
направление  основано  на  убеждении,  что  нерелятивистское  УШ  является  надежным 
инструментом  исследования  и  определения  энергетического  спектра  связанных 
состояний.  При  этом  реальные  релятивистские  поправки  малы,  так  что  теоретическая 
задача  сводится  к  получению  релятивистских  поправок  к  нерелятивистскому 
потенциалу  взаимодействия,  исходя  из  формализма  КТП.  Эта  идея  лежит  в  основе 
потенциала  Брейта [9] и  эффективной  нерелятивистской  квантовой  теории  поля 
Касвелла и Лепажа [10]. Оба эти подхода используют матрицу рассеяния, как источник 
искомых  поправок.  Авторами  работы [10], прежде  всего  в  рамках  квантовой 
электродинамики  (КЭД),  изучена  матрица  рассеяния  с  соответствующими 
диаграммами  Фейнмана,  с  учетом  перенормировки  и  последующим  переходом  к 
нерелятивистскому 
пределу, 
т.е. 
определен 
потенциал 
взаимодействия 
с 
релятивистской поправкой. В результате, сформулирован метод нерелятивистской КЭД 
(НКЭД)  для  определения  энергетического  спектра,  с  релятивистской  поправкой.  В 
дальнейшем этот метод усовершенствован в работе [11]. В настоящий момент свойства 
и  спектр  кулоновского  связанного  состояния  с  учетом  релятивистской  поправки 
определяются  в  рамках  НКЭД.  Этот  метод  также  с  высокой  точностью  описывает 
последние экспериментальные данные. В этом подходе ограничиваются только низшим 
порядком разложения по теории возмущения, а высшие порядки рассматриваются как 

 
 
73
малые  поправки.  В  адронной  физике  потенциал  взаимодействия  кварков  выбирается 
исходя из некоторых физических предположений. Феноменологические потенциальные 
модели  кварков [12]-[14] хорошо  описывают  массовый  спектр  адронов,  состоящих  из 
тяжелых  кварков.  При  изучении  свойств  адронов,  состоящих  из  легких  кварков, 
требуется  учет  релятивистского  характера  взаимодействия.  Однако,  к  настоящему 
времени,  отсутствует  общепринятый  рецепт  учета  релятивистского  характера 
взаимодействия  в  феноменологических  моделях  кварков.  В  рамках  последнего 
направления  существует  еще  один  подход,  основанный  на  следующей  идее.  Точные 
решения для квантово-полевых функций Грина можно формально представить в виде 
функциональных интегралов. Техника вычислений этих функциональных интегралов в 
настоящее  время  находится  еще  в  зачаточном  состоянии,  однако,  имеющиеся 
представления  можно  использовать  для  получения  представления  решения 
нерелятивистского  уравнения  Шредингера,  в  форме  функционального  интеграла 
Фейнмана, с потенциалом, содержащим необходимые релятивистские поправки. В этом 
направлении  сделано  еще  не  так  много  работ.  Наши  исследования  продолжают  эти 
усилия. В нашем подходе, масса связанного состояния определяется асимптотическим 
поведением  корреляционной  функции  от  соответствующих  токов,  с  необходимыми 
квантовыми 
числами. 
Корреляционная 
функция 
представляется 
в 
форме 
функционального  интеграла,  что  позволяет  выделить  необходимую  асимптотику.  В 
работе [15] предложен  метод  вычисления  энергетического  спектра,  на  основе 
исследования  асимптотического  поведения  вакуумного  среднего  (функции  Грина)  от 
токов  заряженных  скалярных  частиц,  во  внешнем  калибровочном  поле.  При 
определении  асимптотического  поведения  корреляционной  функции,  используется 
представление в форме функционального интеграла, так что усреднение по внешнему 
калибровочному  полю  может  быть  выполнено  точно.  Полученное  представление 
похоже  на  фейнмановский  функциональный  интеграл  по  путям [16], в 
нерелятивистской  квантовой  механике.  При  этом  нелокальный  функционал 
(потенциал) взаимодействия, возникающий в результате обмена калибровочных полей 
(фотон,  глюон),  определяется  диаграммой  Фейнмана,  и  содержит  вклады  как  в 
собственную  энергию  частиц,  так  и  в  формирование  связанного  состояния. 
Предлагается  метод  сведения  этого  нелокального  функционала  к  потенциалу 
взаимодействия.  Таким  образом,  потенциал  взаимодействия  определяется  вкладом 
всевозможных типов диаграмм Фейнмана. 
Работа  построена  следующим  образом:  во  втором  разделе,  представлен 
гамильтониан взаимодействия для центрального, спин-спинового, спин-орбитального и 
тензорного  взаимодействия  с  конституентными  массами  составляющих  частиц.  В 
третьем  разделе,  используя  эти  гамильтонианы  взаимодействия  в  рамках  метода 
осцилляторного  представления  (ОП)  определены  энергетические  спектры  для 
синглетного  и  триплетного  состояния  с  учетом  орбитального  возбуждения.  В 
четвертом  разделе  аналитически  определены  массовые  спектры  чармоний  и 
боттомоний  с  учетом  вклада  диаграммы  собственной  энергии.  В  пятом  разделе, 
подытожены  основные  результаты  и  согласие  наших  результатов  с  результатами 
других авторов и экспериментальными данными. 
 
Гамильтониан взаимодействия 
В  нашем  подходе  энергетический  спектр  и  волновая  функция  связанного 
состояния определяются из УШ с конституетными массами 
1
μ
 и 
2
μ
 (детали см. в [17]). 
Поправка,  связанная  с  релятивистской  природой  взаимодействия,  учитывается  не 
только  поправками  к  потенциалу  взаимодействия,  но  также  параметрами 
1
μ
  и 
2
μ
 

 
 
74
(конституетные  массы).  Поэтому,  используя  стандартные  потенциалы  для  описания 
свойств  атомных  и  адронных  связанных  состояний,  которые  определены  различными 
авторами,  из  УШ  с  конституетной  массой,  мы  сможем  определить  спектр  с 
релятивистской  поправкой.  Гамильтониан  взаимодействия  в  нашем  подходе 
записывается в следующем виде: 
 
)
(
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
r
r
P
P
V
H
−
+
+
=
μ
μ
, (1) 
где 
)
(
2
1
r
r
V
−
-  потенциал  взаимодействия,  а 
2
1
,
μ
μ
-  конституентные  массы 
составляющих и определяются в виде 
 
μ
μ
μ
d
dE
m
2
2
1
1
2
−
=
;   
μ
μ
μ
d
dE
m
2
2
2
2
2
−
=
  
(2) 
Здесь 
)
,
(
2
1
μ
μ
E
 - собственное значение гамильтониана взаимодействия (3.1), т.е. 
 
( )
(
)
( )
2
,
1
2
,
1
2
1
,
r
r
r
r
E
H
Ψ
=
Ψ
μ
μ
, (3) 
а 
1
m
  и 
2
m
 - токовые  массы  кварков.  Тогда  масса  связанного  состояния  или  мезонов 
определяется в следующем образом (детали см. в [17]) 
 
( )
(
)
( )
,
,
;
2
1
2
1
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
E
E
E
d
dE
M
=
+
+
+
=
 (4) 
где 
 
,
1
1
1
2
1
μ
μ
μ
+
=
 (5) 
приведенная масса двухтельной связанной системы. 
Таким  образом,  проблема  свелась  к  вычислению  энергетического  спектра 
связанного состояния. Прежде всего, определим гамильтониан взаимодействия. 
 
Гамильтониан спин-орбитального взаимодействия 
Полный гамильтониан взаимодействия представляется в виде: 
 
spin
C
H
H
H
+
=
; (6) 
где 
C
H  - центральный  гамильтониан,  т.е.  описывающий  взаимодействие  без  учета 
спинового взаимодействия 
 
r
r
H
s
C
P
α
σ
μ
3
4
2
1
2
−
⋅
+
=
. (7) 
Вторая  часть  гамильтониана  описывает  спин-орбитальное  взаимодействие  и 
записывается в стандартном виде (детально см. в [18, 19]): 
 
TT
LS
SS
spin
H
H
H
H
+
+
=
. (8) 
Здесь 
SS
H  - гамильтониан спин-спинового взаимодействия: 
 
(
)
V
V
S
S
SS
H
Δ
⋅
=
2
1
3
2
2
1
μ
μ
, (9) 
также гамильтониан, описывающий спин-орбитальное взаимодействие: 
 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
,
⎭
⎬
⎫
∂
∂
−
+
+
−
⎩
⎨
⎧
∂
∂
−
+
+
+
=
−
+
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
S
V
LS
V
r
V
r
r
H
S
L
S
L
S
L
S
L
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
4
1
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
 (10) 
и наконец тензорный гамильтониан взаимодействия: 

 
 
75
 
12
2
2
2
1
12
1
S
V
r
V
r
r
H
V
V
TT
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
=
μ
. (11) 
Здесь 
V
V  - векторный потенциал соответствующий одноглюонному обмену: 
 
;
1
3
4
r
V
S
V
α
−
=
 (12) 
а 
S
V  - потенциал конфайнмента 
 
;
σ
r
V
S
=
 (13) 
также использованы следующие обозначения: 
 
(
)(
)
(
)
(
)
.
2
2
2
1
2
1
2
3
2
3
;
;
1
2
3
2
4
12
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
−
−
=
+
=
−
+
=
LS
LS
S
L
S
S
S
S
S
S
S
l
l
 (14) 
 
Гамильтониан непертурбативного взаимодействия 
Определение  потенциала  взаимодействия  между  составляющими  частицами,  в 
связанном  состоянии,  с  обменом  непертурбативных  глюонов,  приводит  к 
дополнительному взаимодействию, явный вид которого определен в работе [17]: 
 
(
)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
+
−
=
Δ
1
4
1
1
1
3
4
2
2
r
r
H
S
str
μ
α
l
l
. (15) 
Это взаимодействие очень похоже на струнную добавку, которая определена в работах 
[20, 21]. Струнные добавки определяются различными методами. В частности, в работе 
[21]  это  взаимодействие  определяется  в  рамках  теории  возмущений,  как  малая 
поправка. Из (15) видно, что при 
0
=
l
 вклад этого взаимодействия равен нулю. Если 
1
>>
μ
, то в (15) можно провести разложение по степеням малой величины. Разложение 
первого  порядка  соответствует  результатам  выше  указанных  авторов.  Вклад 
взаимодействия (15) в энергетический спектр 
( )
μ
E
 определяется с помощью ОП. 
 
Энергетический спектр полного гамильтониана взаимодействия 
Теперь в рамках нашего подхода с учетом спин-спинового, спин-орбитального и 
непертурбативного  взаимодействия  вычислим  энергетический  спектр  мезонов. 
Соответствующее УШ записывается в виде: 
 
[
]
Ψ
=
Ψ
⋅
Δ
+
+
E
H
H
H
str
spin
C
. (16) 
Для определения собственного значения и ВФ, из (16), мы применим метод ОП. Перед 
тем  как  определить  энергетический  спектр  и  волновую  функцию,  из  УШ,  с помощью 
метода  ОП [22], уместно  напомнить,  что  этот  метод  основан  на  идеях  и  методах 
квантовой  теории  скалярного  поля.  Одной  из  существенных  отличий  КТП  от  КМ 
состоит  в  том,  что  квантованные  поля,  представляющие  набор  бесконечного  числа 
осцилляторов  для  основного  состояния  или  вакуума,  при  квантово-полевом 
взаимодействии сохраняют свою осцилляторную природу. В КМ собственные функции 
для  большинства  потенциалов,  как  правило,  отличаются  от  гауссового  поведения 
осцилляторной  волновой  функции.  Поэтому,  для  применения  методов  и  идеи  КТП  к 
решению  квантовомеханических  задач  следует  в  исходном  радиальном  УШ  провести 
замену  переменных  таким  образом,  чтобы  искомая  волновая  функция  на  больших 
расстояниях  обладала  гауссовым  поведением,  а  трансформированное  уравнение 
идентифицировать  с  радиальным  УШ  в  пространстве  с  большой  размерностью. 

 
 
76
Отметим, что впервые похожая идея обсуждалась Фоком при решении задачи о спектре 
водорода с помощью трансформации в четырехмерное пространство импульсов [23]. 
В соответствии с изложенным выше, проведем замену переменных следующим 
образом (детали см. в [22, 24]): 
 
( )
( )
2
2
2
2
,
q
q
q
q
r
Φ
⋅
=
Ψ
⇒
Ψ
=
⋅l
ρ
ρ
, (17) 
где 
ρ
 - параметр, связанный с поведением волновой функции на больших расстояниях. 
После 
некоторых 
стандартных 
упрощений, 
из (16), получаем 
для 
модифицированного УШ: 
 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
0
2
1
3
3
4
3
1
1
9
64
4
/
1
1
3
16
4
4
1
2
1
2
2
1
2
2
1
12
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
4
2
1
2
2
1
3
2
2
1
2
2
2
2
2
=
Φ
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
−
⋅
⋅
+
+
+
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⎩
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
+
∂
∂
−
+
−
+
−
−
−
q
S
L
S
q
q
S
L
S
S
q
q
q
q
q
E
q
q
d
q
S
S
S
μ
μ
μ
μ
μ
α
μρ
σμρ
μ
μ
μ
μ
μρ
α
μ
α
μ
ρ
σ
μ
ρ
μ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
r
r
r
r
r
r
l
l
l
 (18) 
где 
d
 - размерность вспомогательного пространства: 
 
l
⋅
+
+
=
ρ
ρ
4
2
2
d
. (19) 
В  результате  замены  переменных  мы  получили  модифицированное  УШ  в 
d
-
мерном  вспомогательном  пространстве 
d
R .  Из (16) и 19) следует,  что  орбитальное 
квантовое число 
l
 вошло в определение размерности пространства 
d
. Данный прием 
позволяет  определить  все  интересующие  нас  характеристики,  а  именно:  спектр  и 
волновую функцию, решая модифицированное УШ только для основного состояния в 
d
-мерном вспомогательном пространстве 
d
R . 
Волновая  функция 
( )
2
q
m
Ψ
  основного  состояния  в 
d
R   зависит  только  от 
переменных 
2
q . Поэтому оператор: 
 
,
1
2
2
q
q
q
d
q
Δ
≡
∂
∂
⋅
−
+
∂
∂
 (20) 
отождествим  с  лапласианом 
q
Δ   в  вспомогательном  пространстве 
d
R ,  которое 
действует  на  волновую  функцию  основного  состояния,  зависящую  только  от  радиуса 
q . Исходя из модифицированного УШ: 
 
( ) ( ) ( )
q
E
q
H
Φ
=
Φ
ε
, (21) 
согласно (18), получаем, что энергетический спектр 
( )
E
ε
 в 
d
R : 
 
( )
0
=
E
ε
. (22) 
Рассмотрим  это  соотношение  как  условие  определения  энергетического  спектра  E  
исходного  гамильтониана.  Следуя  методу  ОП,  представим  канонические  переменные 
через операторы рождения 
+
a  и уничтожения 
a
 в пространстве 
d
R : 
 
[
]
,
,
,
,...,
1
;
2
;
2
, j
i
j
i
j
j
j
j
j
j
a
a
d
j
i
a
a
P
a
a
q
δ
ω
ω
=
=
−
⋅
=
+
=
+
+
+
 (23) 
где 
ω
 - частота  осциллятора,  которая  пока  неизвестна.  Подставляя (23) в (21), и, 
упорядочивая по операторам рождения 
+
a  и уничтожения 
a
, получаем: 
 
( )
I
H
E
H
H
+
+
=
0
0
ε
. (24) 
Здесь 
0
H  - гамильтониан свободного осциллятора: 

 
 
77
 
(
)
j
j
a
a
H
+
=
ω
0
; (25) 
и 
0
ε
 - энергия основного состояния в нулевом приближении ОП: 
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
.
4
/
1
1
2
/
3
16
2
/
1
2
/
2
1
3
3
4
2
/
1
2
/
3
1
1
2
/
1
2
/
9
64
2
/
1
3
2
/
4
2
/
1
2
2
/
4
4
0
2
1
2
2
/
2
/
2
1
2
1
2
2
1
12
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
3
2
1
2
2
0
∫
∞
−
−
+
+
−
+
−
−
+
+
⋅
Γ
−
×
×
Γ
−
−
Γ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
Γ
−
+
Γ
×
×
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
⋅
⋅
Γ
−
−
Γ
⋅
+
+
Γ
−
+
Γ
⋅
⋅
+
Γ
−
+
Γ
⋅
⋅
−
=
μ
ω
μα
ρ
ω
ρ
μ
μ
μ
μ
μ
α
μρ
ρ
ω
σμρ
μ
μ
ω
ρ
μ
μ
μρ
α
ρ
ω
σ
μ
ρ
ρ
ω
μ
ρ
ω
ε
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
l
l
r
r
r
r
r
r
l
u
d
d
S
S
S
e
u
du
d
d
d
S
L
S
d
d
S
L
S
S
d
d
d
d
d
d
E
d
E
 (26) 
Гамильтониан  взаимодействия 
I
H
  также  представляется  в  нормальной  форме  по 
операторам  рождения 
+
a   и  уничтожения 
a
,  причем  он  не  содержит  квадратичных 
слагаемых по каноническим переменным: 
 
(
)
{
}
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
.
4
/
1
1
2
3
16
1
2
1
3
3
4
1
3
1
1
1
9
64
3
1
4
2
1
4
:
:
1
exp
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
12
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
3
1
3
2
2
1
2
2
2
2
0
⎥
⎥
⎦
⎤
+
+
⋅
⋅
+
+
+
Γ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
−
Γ
⋅
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
⎢
⎣
⎡
−
⋅
+
Γ
⋅
+
+
−
Γ
⋅
⋅
+
−
Γ
⋅
−
+
−
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∫
∫
∫
−
−
+
−
−
+
−
−
−
−
−
∞
C
u
S
S
S
q
x
i
d
I
u
x
e
u
du
i
x
x
S
L
S
S
L
x
S
S
x
x
Ex
e
x
d
dx
H
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
η
ω
μ
ω
π
ω
μα
ρ
ρ
ω
μ
μ
μ
μ
μ
α
μρ
ρ
ω
σμρ
μ
μ
ρ
ω
μ
μ
μρ
α
ρ
σ
ω
μ
ρ
ρ
ω
μ
ρ
η
π
η
l
l
l
r
r
r
r
r
r
l
 (27) 
Здесь : * : - символ  нормального  упорядочивания,  и  мы  использовали 
обозначение: 
 
2
2
2
1
1
x
x
e
e
x
x
⋅
−
+
−
=
−
−
 
и 
C
  является  контуром  интегрирования  стандартного  Гамма  функции  Эйлера.  Вклад 
гамильтониана  взаимодействия 
I
H
  рассматривается  как  малое  возмущение.  В  КТП 
после  представления  канонических  переменных  через  операторов  рождения, 
уничтожения  и  гамильтониана  взаимодействия  в  нормальной  форме,  требование 
отсутствия  в  гамильтониане  взаимодействия  полевых  операторов  второй  степени  по 
существу  эквивалентно  перенормировке  константы  связи  и  волновой  функции.  Более 
того,  такая  процедура позволяет учесть  основной  вклад через  перенормировку масс  и 
энергию вакуума. Другими словами, все квадратичные формы полностью включены в 
гамильтониан  свободного  осциллятора.  Данное  требование  позволяет  сформировать, 
согласно ОП, условие [22]: 
 
( )
( )
,
0
0
0
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
∂
∂
E
E
ε
ω
ε
 (28) 

 
 
78
с целью найти частоту 
ω
 осциллятора, которая определяет основной квантовый вклад. 
Учитывая (26), из  уравнения (28) мы  сможем  вычислить  энергетический  спектр 
исходной  системы  E .  В  рамках  ОП  для  различных  потенциалов [24] неоднократно 
проверялось,  что  поправка  первого  порядка,  связанная  с  гамильтонианом 
взаимодействия, тождественно равна нулю, а поправка второго порядка меньше одного 
процента. Поэтому ограничимся рассмотрением только нулевого приближения в ОП. 
 

жүктеу/скачать 5,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: