Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики

71 

 

2. Актуализация знаний учащихся(10 мин) 

С понятием функция вы знакомы с 7 класса, сегодня мы  начинаем 

изучать большой раздел в математике, в котором  продолжим  изучение 

функций, их свойств. А для начала давайте повторим,  что нам  о них 

известно.  

Устная работа:  Слайд 1  

 —  Какая из предложенных формул задаёт изображённую на графике 

функцию?  

—  Перечислите свойства изображённых функций. 

 

Слайд 2

 

 

 

—Дайте характеристику каждой прямой 

72 

 

—  Составьте ее уравнение 

—  Какие функции называются  числовыми?  (Числовой функцией с 

областью определения  X   называется соответствие,  при котором каждому 

значению независимого аргумента  x  ставится  в соответствие  по 

некоторому правилу  f  определённое число y. В  аналитической  записи этих 

функций используют алгебраические операции над переменными.) 

Мы начинаем знакомство с первыми представителями класса 

неалгебраических функций  —  тригонометрическими функциями. Для этого 

нам потребуется новая математическая модель. 

Слайд 3             

                                            

—  Что вы видите на слайде? (Окружность).

 

—  Что называется окружностью? 

—  Как найти длину окружности? (L=2πR). 

3. Объяснение новой темы(20 мин) 

Новой математической моделью  является   числовая окружность. 

Каждому ученику раздается лист с макетом окружности, с использованием 

которой  будет изучаться новый материал. 

 

 

 

73 

 

Слайд 4 

 

1)Любую окружность можно рассматривать как числовую, но удобнее всего 

использовать единичную окружность — окружность с радиусом 1. 

На макете  ученики отмечают длину половины окружности и длину четверти 

окружности,  отмечают  четверти.  На    этом  этапе  необходимо  акцентировать 

внимание учащихся на положительное и отрицательное направление обхода 

окружности. 

Слайд 5 

 

 

     2)Мы обошли полностью  круг по окружности  от 0 до 2π и можем 

продолжить движение, пройдя от 2π четверть окружности, попадём в точку, 

74 

 

которую уже отметили, но соответствовать она будет уже другому числу:  

 

 

 

      

  

 

    и т.д. 

Для числовой окружности справедливо следующее утверждение: если 

точка М числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует и 

числу вида t + 2πk, где параметр k – любое целое число. 

Слайд 6 

 

1)Каждую из четырех четвертей числовой 

 

окружности делим на две равные 

части, и около каждой точки записываем «имя» при положительном 

направлении обхода окружности.

 

2)Каждую из четырех четвертей числовой окружности делим на три равные 

части. 

Слайд 7  

 

75 

 

Выполнить работу можно в интерактивном режиме.  

 

 

Слайд 8 

 

Во всех разобранных примерах точки и длины дуг на единичной 

окружности соответствовали долям числа  π, но мы можем найти такие 

точки, которые будут соответствовать числам 1, 2. 3, 4…. . 

4. Закрепление изученного материала(10 мин) 

Решить на интерактивной доске и в тетрадях: 

№ 11 — № 15 . 

5. Итоги урока(3 мин) 

Вместе с учащимися разобрать пример 6 из учебника.

 

6. Домашнее задание(1 мин) 

Изучить по учебнику на стр. 8-18 теоретический материал и решение 

примеров 1 — 3; решить № 9, 10, 16, 18, 27. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

76 

 

Приложение 2 

План-конспект урока 

Класс: 10. 

Тема. Отбор корней при решении тригонометрических уравнений 

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний. 

Цели урока:  



 

дидактические:  обобщение  и  систематизация  знаний  учащихся  по 

теме «Решение тригонометрических уравнений»; закрепление основных 

понятий  базового  уровня;  систематизация  умений  и  навыков  по 

применению  трех  способов  отбора  корней  в  тригонометрических 

уравнениях. 



 

развивающие:  развитие  познавательного  интереса,  логического 

мышления, 

интеллектуальных 

способностей; 

формирование 

математической речи; 



 

воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении 

записей в тетради и  самостоятельность мышления у учащихся. 

Оборудование:  компьютер,  мультимедийный  проектор,  экран,  презентация 

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств». 

Структура урока 

     1. Организационный момент  

     2. Актуализация опорных знаний  

     3. Закрепление знаний. Выполнение упражнений 

     5. Итоги  урока  

     6. Домашнее задание  

Ход урока. 

1. Организационный момент(1 мин.) 

- приветствие; 

- проверка готовности класса к уроку. 

77 

 

Сегодня  на  уроке  мы  повторим  с  вами  решение  тригонометрических 

уравнений  и  приемы  отбора  корней  при  решении  тригонометрических 

уравнений (Открыли рабочие тетради и записали тему урока). 

2. Актуализация опорных знаний  (устная работа 10 мин.) 

В  результате  выполнения  задания  мы  повторим  определения 

арккосинуса, арксинуса, арктангенса и арккотангенса; формулы для решения 

простейших тригонометрических уравнений. 

1. Вычислите:  

а) arcsin(-1) 

;

2







 

б) arccos

)

2

3

(

 

;

6





 

          в) arcsin 2     (не существует); 

           г) arctg  

3

 

;

3





  

             д) arccos

)

2

(



      

(не существует); 

          е) arсctg

)

3

(



=



 - arсctg

3

.

6

5







 

2. Решить уравнения 

 )                               

 )          

 

 

  

     (  )

 

       ( 

 

 

)            

    (  )

   

      

 

 

           

    (  )

   

 

 

            

78 

 

 )               

 

 

           

 )      

√ 

 

     

 

 

           

3. Закрепление знаний. Выполнение упражнений (30 мин.) 

Проблема  отбора  корней,  отсеивания  лишних  корней  при  решении 

тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться 

вследствие  того,  что  в  процессе  решения  произошло  расширение  области 

определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто 

связана  с  понятиями  объединения  и  пересечения  множеств.  Обычно  при 

решении  таких  уравнений  получают  серии  корней,  и  в  окончательном 

варианте  ответ  записывают  в  виде  объединения  этих  серий.  Но  как  быть, 

если  эти  серии  пересекаются?  Сегодня  мы  на  конкретных  примерах 

рассмотрим различные способы и приемы при выборе ответа. 

Перед вами раздаточный материал.  

1. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой   

окружности. 

Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении 

тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью 

изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием 

более наглядный и убедительный. 

Пример 1. 

                 –                

Решение. 

      –         – (  –        )         

              –                 

       (       –       )         

79 

 

           

 

 

   

   

 

     

   

 

 

 

Изобразим серии корней  на числовой окружности. Видим, что первая 

серия включает в себя корни второй серии, а третья серия включает в себя 

числа вида 

k

x





2





 из корней первой серии.  

 

Пример 2

                 –               

Решение. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 























;

0

2

3

cos

,

0

2

sin

,

0

sin

x

x

x































;

,

2

2

3

,

2

,

Z

m

m

x

Z

n

n

x

Z

k

k

x





































;

,

3

2

3

,

2

,

Z

m

m

x

Z

n

n

x

Z

k

k

x









}.

,

/

3

2

3

;

2

{

:

Z

m

n

m

n

Ответ











































.

,

3

6

,

2

4

,

2

:

Z

n

n

x

n

x

n

x

ОДЗ













;

0

3

cos

3

sin

2

cos

2

sin

cos

sin







x

x

x

x

x

x

;

0

3

cos

3

sin

2

cos

cos

cos

2

sin

2

cos

sin







x

x

x

x

x

x

x

x

;

0

3

cos

3

sin

2

cos

cos

3

sin





x

x

x

x

x

;

0

3

cos

2

cos

cos

)

2

cos

cos

3

(cos

3

sin





x

x

x

x

x

x

x

;

0

3

cos

2

cos

cos

)

cos

2

1

3

cos

2

1

3

(cos

3

sin







x

x

x

x

x

x

x

;

0

3

cos

2

cos

cos

)

cos

2

1

3

cos

2

1

(

3

sin





x

x

x

x

x

x

;

0

3

cos

2

cos

cos

)

sin

2

sin

2

(

3

sin

2

1





x

x

x

x

x

x

;

0

3

cos

2

cos

cos

)

cos

3

(cos

3

sin

2

1





x

x

x

x

x

x

80 

 

 

 

                                    

 

 

 

Из второй серии корней числа вида 

k

x









2

 

 не удовлетворяют ОДЗ, а числа 

вида 

k

x





 

 входят в третью серию. Первая серия так же входит в третью 

серию корней, поэтому ответ можно записать одной формулой. 

 

 

Пример 3  

 

 

Решение. 

 

 

 

 

Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет. 

Нанесем на числовую окружность все числа серии  

и исключим корни, удовлетворяющие условию  

 

 

Оставшиеся решения из серии корней можно  

объединить в формулу  

 





























.

,

3

,

,

2

,

,

Z

m

m

x

Z

k

k

x

Z

n

n

x







;

0

3

cos

2

cos

cos

sin

2

sin

3

sin





x

x

x

x

x

x

Z

n

n

x





,

2



.

,

6

Z

n

n

x













}.

/

6

{

:

Z

n

n

Ответ











;

0

3

cos

2

cos

cos

sin

2

sin

3

sin





x

x

x

x

x

x

}.

/

3

{

:

Z

m

m

Ответ





.

0

2

sin

3

cos



x

x











;

0

2

sin

,

0

3

cos

x

x























;

,

2

,

,

3

6

Z

n

n

x

Z

k

k

x







Z

k

k

x







,

3

6





81 

 

2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим 

способом . 

Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, 

когда период меньше 2

 . 

Пример 1. 

2

4

3

cos

2

cos





x

x

 

Решение. 

Так как наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение 

равносильно систем 













;

1

4

3

cos

,

1

2

cos

x

x

 

















;

,

3

8

,

,

Z

n

n

x

Z

k

k

x





 

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить 

уравнение  

;

3

8 n

k







                 

;

3

8n

k



 

Получаем 

,

8t

k



  

Z

t

t

n





,

3

 

Итак,  

.

,

8

Z

t

t

x







 

}.

/

8

{

:

Z

t

t

Ответ





 

Пример 2  

.

0

cos

2

cos

4

sin

cos

sin

2

sin

4

cos

2

2











x

x

x

x

x

x

 

Решение. 

;

2

cos

)

4

sin(







x

x



 

82 

 













;

1

cos

,

1

4

5

sin

x

x

            



















;

,

2

,

,

2

2

4

5

Z

k

k

x

Z

n

n

x







      



















;

,

2

,

,

5

8

5

2

Z

k

k

x

Z

n

n

x







 

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить 

уравнение 

;

5

8

5

2

2

n

k











   

;

5

4

1

n

k





    

;

4

1

5

n

k





 

;

4

1

5





k

n

,

4

1







k

k

n

 

где   





4

1

k

целое число.

 

Пусть 

,

4

1

m

k





 

тогда 

,

1

4





m

k

 

.

1

5





m

n

 

Итак,  

.

,

8

2

Z

m

m

x











 

}.

/

8

2

{

:

Z

m

m

Ответ









 

жүктеу/скачать 2,7 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: