Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики



жүктеу 1.01 Mb.

бет1/6
Дата07.04.2017
өлшемі1.01 Mb.
  1   2   3   4   5   6

 

 

Министерство образования и науки РФ 



Федеральное государственное автономное образовательное            

учреждение высшего профессионального образования «Казанский 

(Приволжский) федеральный университет» 

 

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО 



 

КАФЕДРА ТЕОРИИ И ТЕХНОЛОГИЙ ПРЕПОДАВАНИЯ  

МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ 

050201.65   –  Математика с дополнительной специальностью информатика  

 

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА  



(Дипломная работа) 

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ  

В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 

 

Работа завершена: 

"29" мая 2014 г.   

                     ______________        (Г.И. Хазиева) 

 

Работа допущена к защите: 

Научный руководитель 

К.п.н., доцент 

"30" мая 2014 г.   

                     ______________      (Э.И. Фазлеева) 

 

Заведующий кафедрой 



Д.п.н., профессор  

"30" мая 2014 г.   

                     ______________     (Л.Р. Шакирова) 

 

Казань – 2014 



 

Оглавление



 

Введение ................................................................................................................... 3 

Глава 1.Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции .......... 6 

1.1.  Синус и косинус угла ............................................................................... 6 

1.2. Тангенс и котангенс угла ........................................................................ 10 

1.3. Основные тригонометрические формулы ............................................. 13 

1.4. Тригонометрические функции числового аргумента .......................... 16 

      1.4.1. Функция 

         ........................................................................... 16 

      


1.4.2. Функция 

         .......................................................................... 17 

      

1.4.3. Функция 



        ............................................................................ 18 

      


1.4.4.Функция 

         ........................................................................... 19 

      

1.4.5. График гармонического колебания ............................................... 20 



1.5. Тригонометрические уравнения и неравенства .................................... 22 

Глава 2.Методика изучения тригонометрии в школьном курсе математики..27 

      2.1. Методика изучения числовой окружности как второй модели 

числового множества ............................................................................................ 27 

2.2. Методика изучения синуса и косинуса числа ....................................... 37 

2.3. Методика изучения функций 

                   .............................. 44 

2.4. Методика изучения функций 

                    ............................... 47 

2.5.  Методика изучения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, 

арккотангенса числа ....................................................................................... 53 

2.6. Методика изучения тригонометрических уравнений .......................... 57 

Заключение ............................................................................................................ 66 

Использованная литература ................................................................................. 68 

Приложение 1 ........................................................................................................ 70 

Приложение 2 ........................................................................................................ 76 

Приложение 3 ........................................................................................................ 87 

 

 

 

 


 

Введение 

Тригонометрии  в  школе  традиционно  уделяется  много  внимания: 

сначала  –  в  курсе  геометрии,  затем  –  в  курсе  алгебры  и  начал  анализа. 

Поскольку 

в 

контрольно-измерительных 



материалах 

ЕГЭ 


тригонометрический  материал  (тождества,  уравнения,  неравенства) 

представлен достаточно  широко,  учителя  математики не жалеют  ни  сил,  ни 

времени на то, что, по их мнению, особенно важно учащимся, – на отработку 

формул.  Но,  к  сожалению,  результат  такого  преподавания  не  всегда 

оправдывает себя. По мнению вузовских преподавателей, выпускники школ 

тригонометрию знают плохо. 

Основная  задача  учителя  математики  –  развитие  ребенка,  а  не 

заполнение  ячеек  памяти  формулами.  В  связи  с  этим  необходимо 

пересмотреть методические традиции в преподавании тригонометрии. 

В  школьном  курсе  математики  в  разные  годы  использовались  разные 

варианты  введения  тригонометрических  функций.  В  современных  учебных 

пособиях  предпочтение  отдается  определению  с  помощью  единичной 

окружности.  При  этом  большинству  учебников  присущ  один  и  тот  же 

недостаток  –  недооценка  важности  изучения  самой  модели    «числовая 

окружность»  (точнее,  модели  «числовая  окружность  на  координатной 

плоскости»)  и  слишком  поспешное  (чуть  ли  не  на  первом  уроке)  введение 

понятий  синуса  и  косинуса  «по  окружности».  Это  приводит  к  наложению 

двух  трудностей:  непривычная  модель  (числовая  окружность)  и 

непривычный  способ  введения  функций  (синус  как  ордината,  косинус  как 

абсцисса  точки  числовой  окружности).  При  этом  в  качестве  опоры 

используется геометрический материал о вычислении длин дуг окружностей, 

который,  как  показывает  практика,  не  дорабатывается  в  курсе  геометрии. 

Поэтому  многие  учащиеся  испытывают  затруднения  с  геометрическим 

истолкованием  основных  компонентов  «тригонометрического  языка»  (2

   – 


 

длина числовой окружности, 



  – длина полуокружности, 

 

 



 – длина четверти 

окружности, 

 

 

 – длина половины четверти окружности и т.д.). 



Из вышесказанного следует проблема исследования, которая состоит 

в рассмотрении теоретических основ тригонометрии и методики ее  изучения 

в  школьном  курсе  математики.  Проблема  исследования  определяет  тему 

выпускной квалификационной работы: «Методика изучения тригонометрии в 

школьном курсе математики». 

Объект исследования – процесс изучения тригонометрии в школьном 

курсе математики.  



Предмет исследования – методика изучения тригонометрии (числовой 

окружности, тригонометрических формул, функций, уравнений и неравенств) 

в школьном курсе математики. 

Цель  исследования  –  на  основе  учебной,  научной  и  методической 

литературы  изучить  основные  теоретические  сведения,  связанные  с 

тригонометрией;  раскрыть  общие  методические  положения,  на  которые 

нужно  обратить  внимание  при  изложении    тем:  «Числовая  окружность», 

«Тригонометрические  функции»,  «Тригонометрические  уравнения  и 

неравенства» в школьном курсе математики.  

Достижение  цели  обусловило  постановку  следующих  задач 

исследования:  

1.

 



Проанализировать школьные учебники и методическую литературу 

в соответствии с проблемой исследования

2.

 

Выделить  разные  типы  задач  с  числовой  окружностью  и 



рассмотреть методические рекомендации по их решению; раскрыть 

методику  изучения  тригонометрических  функций,  уравнений  и 

неравенств в курсе математики старшей школы. 

3.

 



Разработать  урок  изучения  нового  материала  на  тему  «Числовая 

окружность»  и  урок  обобщения  и  систематизации  знаний  на  тему 



 

«Отбор  корней  при  решении  тригонометрических  уравнений»  для 



учеников 10-го класса. 

4.

 



Разработать систему тренировочных упражнений для учащихся 10-

11 классов по подготовке к ЕГЭ.   



Практической  значимостью  работы  является  то,  что  она  может 

использоваться  как  методическое  пособие  для  учителей  школ  при 

планировании  и проведении уроков по тригонометрии, а также для учеников 

старших классов при подготовке к ЕГЭ. 



Структура  работы:  работа  состоит  из  введения,  двух  глав, 

заключения, списка использованной литературы и трех приложений. 

В первой главе рассматриваются  теоретические сведения, связанные с 

тригонометрией. 

Вторая глава посвящена методике изучения тригонометрии в школьном 

курсе  математики,  где  даются  рекомендации  по  обучению  числовой 

окружности, тригонометрическим функциям, уравнениям и неравенствам.   

В  приложении  1  приведен  урок  изучения  нового  материала  на  тему 

«Числовая окружность» для учеников 10-го класса.  

В приложении 2 представлен урок обобщения и систематизации знаний 

на тему «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» для учеников 10-

го класса. 

В  приложении  3  приведена  система  тренировочных  упражнений 

уровней В7 и С1 по подготовке к ЕГЭ.     

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Глава 1 



Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции 

1.1.  Синус и косинус угла 

Рассмотрим  прямоугольную  систему  координат 

   ,  у  которой 

положительная полуось 

   направлена вправо, а положительная полуось    

направлена  вверх.  Единичным  вектором  координатной  оси 

    называют 

вектор,  имеющий  длину  1,  начало  в  точке 

   и  направленный  вдоль 

положительной полуоси 

  . 

Единичной  окружностью  в  тригонометрии  называют  окружность 

радиуса  1  с  центром  в  начале  системы  координат 

     при  условии,  что 

единичный вектор 

   оси    принят за начальное 

положение подвижного вектора и что направление 

поворота  против  часовой  стрелки  принято  за 

положительное. 

Пусть  подвижный  вектор,  совершив  поворот 

от  вектора 

    до вектора    ,  образует  угол     , 

радианная мера которого равна 

  радиан. Точку   

единичной 

окружности 

назовем 


точкой, 

соответствующей  углу 

   (рис.1),  или,  коротко, 

точкой 


 . 

Заметим, что точка 

  единичной окружности для любого целого числа 

  совпадает с точкой        , где   – любое целое число. 

Число, 

равное 


ординате 

точки 


единичной 

окружности, 

соответствующей углу 

 , называют синусом угла   и обозначают      . 

Число, 

равное 


абсциссе 

точки 


единичной 

окружности, 

соответствующей углу 

 , называют косинусом угла   и обозначают      . 



Замечание.  Для  углов,  радианная  мера  которого  заключена  между 

     ,  приведенное  определение  синуса  и  косинуса  угла  совпадает  с 

определением, известным из курса геометрии. 

Рис.1 


 

Из сказанного выше следует, что для любого угла 



 : 

1)

 



существует синус этого угла и притом единственный; 

2)

 



существует косинус этого угла и притом единственный. 

Поэтому часто говорят, что 

      и       есть функции угла  . 

Пример 1. Вычислить 

                     

  

 

       



  

 



Решение.  Углу  0  радиан  соответствует 

точка 


 (    ), следовательно,  

                      . 

Углу 

  

 



 

радиан 


соответствует  точка 

 (     ),  следовательно, 

   

  

 



         

  

 



    (рис.2). 

 

 

Арксинус 

Рассмотрим  на  координатной  плоскости 

     единичную  окружность  (рис.3).  Если 

число 


  таково, что | |    , то прямая       

пересекает  правую  полуокружность  единичной  окружности  в  единственной 

точке 

 . При этом вектор   



⃗⃗⃗⃗⃗  образует с вектором   

⃗⃗⃗⃗⃗  единственный угол  

 

 

из  промежутка 



 

 



 

 

 



],  синус  которого  равен     (см.  рис.  3).  Этот  угол 

обозначают 

          (читают:  «арксинус   »).  Слово  «арксинус»  происходит 

от греческого слова 

    – дуга. Имеется в виду дуга окружности, на которую 

опирается соответствующий центральный угол. 

 

Рис.2 


 

Арксинус  числа 

  (| |    )  есть  угол    

из промежутка 

 

 



 

 

 



], синус которого равен  :  

         . 

Подчеркнем,  что  для  любого  числа 

 , 


такого, что: 

1) |


 |    , существует, и притом единственный, 

арксинус этого числа;  

2) |

 |    , арксинус этого числа не существует, поэтому запись          для 



такого 

  не имеет смысла. 

 

Например,  не  имеют  смысла  записи 



          и         ( 

 

 



)    так  как 

       и   

 

 

      



Из определения арксинуса следует, что если |

 |    , то 

   (        )    . 

Пример 2. Найти все углы 

 , для каждого из которых        

 

 



Решение. Все такие углы задаются формулами 

          

 

 

                              



 

 

              



 Арккосинус 

Рассмотрим 

на 

координатной 



плоскости 

     единичную  окружность 

(рис. 4). Если число 

  таково, что | |    , 

то  прямая 

       пресекает  ее  верхнюю 

полуокружность в единственной точке 

 . 


При этом вектор 

  

⃗⃗⃗⃗⃗  образует с вектором 



  

⃗⃗⃗⃗⃗  единственный угол   из промежутка 

[    ], косинус которого равен   (см. рис. 

5).  Этот  угол  обозначают 

         

Рис.3 

Рис.4 


 

(читают «арккосинус 



 »). 

Арккосинус  числа 

  (| |    )  есть  угол     из  промежутка  [    ], 

косинус которого равен 

 :            . 

Подчеркнем, что для любого числа 

 , такого, что: 

 ) | |    ,  существует,  и  притом  единственный,  арккосинус  этого 

числа; 


2)  |

 |    ,  арккосинус  этого  числа  не  существует,  поэтому  запись 

         для такого   не имеет смысла. 

Например,  не  имеют  смысла  записи 

          и        (  ),  так  как 

                . 

Из определения арккосинуса следует, что если 

 | |    , то 

   (        )      

Пример 3. Найти все углы 

 , для каждого из которых             



Решение.  Рассмотрим  единичную  окружность  (см.  рис.  5).  Прямая 

        пересекает  ее  в  точке   ,  поэтому 

угол 

 

 



  между  векторами 

   


⃗⃗⃗⃗⃗⃗     

⃗⃗⃗⃗⃗   равен   , 

т.е. 

 

 



        (  )    . 

Условию удовлетворяют лишь углы  

                        

Ответ: 

                    

 

 

Рис. 5 


10 

 

1.2. Тангенс и котангенс угла 

Число, равное отношению 

      к      , называют тангенсом угла   и 

обозначают 

    , т.е. 

      

     


     

Тангенс  угла 



   определен  для  всех  углов   ,  за  исключением  тех,  для 

которых 


         . Поэтому в определении      исключаются все углы 

   


 

 

    ,  



где 

 - любое целое число. 

Из определения  следует, что для любого угла 

 , не совпадающего ни с 

одним  из  углов 

   


 

 

    ,  тангенс  этого  угла  существует,  и  притом 



единственный. Поэтому часто говорят, что 

     есть функция угла  

Число, равное отношению 

      к      , называют котангенсом угла   

и обозначают 

     , т.е. 

       

     


     

Котангенс угла 



  определен для всех углов  , за исключением тех, для 

которых 


         . Поэтому в определении       исключаются все углы 

      ,  

где 

  – любое число. 



Из определения следует, что для любого угла 

 , не совпадающего ни с 

одним  из  углов 

      ,  котангенс  этого  угла  существует,  и  притом 

единственный. Поэтому часто говорят, что 

      есть функция угла  . 



Пример 4. а) 

   


 

 

 



    

 

  



     

 

 



 

 

 



√ 

 

 



√ 

 



                б) 

     


 

 

      



 

      


 

   ; 


                в) 

    


 

 

 



    

 

 



    

 

 



 

√ 

 



 

 

  √  ; 



                г) 

      


 

 

      



 

      


 

 

√ 



 



11 

 

Тангенс  угла   



 

 

  не  существует,  потому  что 



   

 

 



   ,  но  существует 

котангенс угла 

 

 



    

 

 



 

    


 

 

    



 

 

 



 

 

   . 



Для угла 

 

 



, наоборот, не существует котангенс, потому что 

     


 

   , 


но существует тангенс: 

    


 

 

     



 

     


 

 

 



 

   . 


 Арктангенс 

Рассмотрим на координатной плоскости 

    единичную окружность и 

ось тангенсов. Для любого действительного числа 

  прямая       пересекает 

ось тангенсов в единственной точке 

  (рис. 6, а, б). 

а) 


б)

 

 



 

 

Прямая 



    пересекает правую полуокружность в единственной точке 

 .  При  этом  вектор    

⃗⃗⃗⃗⃗   образует  с  вектором    

⃗⃗⃗⃗⃗   единственный  угол     из 

промежутка 

 



 

 

 



 

),  тангенс  которого  равен     (см.  рис.  6).  Этот  угол 

обозначают 

        (читают: «арктангенс a»). 



Пример 5. 

а

            ;   б)          

 

 





Арктангенс  числа 

   есть  угол     из  промежутка  ( 

 

 

 



 

 

),  тангенс 



которого равен 

 :           



Рис. 6 

12 

 

Подчеркнем,  что  для  любого  числа 



   существует,  и  притом 

единственный, арктангенс этого числа. Из определения арктангенса следует, 

что для любого числа 

  

  (       )    . 



Пример 6. Найти все углы 

 , для каждого из которых        √ . 



Решение. Все такие углы 

  задаются формулой 

          √             

Так как 


      √   

 

 



, то эту формулу можно записать так: 

   


 

 

           



 Арккотангенс 

Рассмотрим на координатной плоскости 

    единичную окружность и 

ось  котангенсов.  Для  любого  действительного  числа 

   прямая        

пересекает ось котангенсов в единственной точке 

  (рис. 7, а, б). 

Прямая 


   пересекает верхнюю полуокружность в единственной точке 

 .  При  этом  вектор    

⃗⃗⃗⃗⃗   образует  с  вектором    

⃗⃗⃗⃗⃗   единственный  угол     из 

промежутка  (

    ),  котангенс  которого  равен   .  Этот  угол  обозначают 

         (читают «арккотангенс a»). 

  

     (     )                                    (     ) 



а)

б)

 



 

Рис.7 

Пример 7. а) 

         

 

 

;     б) 



      (  )  

  

 





13 

 

Арккотангенс  числа 

   есть  угол     из  промежутка  (    ),  котангенс 

которого равен 

 :           . 

Подчеркнем,  что  для  любого  действительного  числа 

   существует,  и 

притом единственный, арккотангенс этого числа.  

Из  определения  арккотангенса  следует,  что  для  любого  числа 

  

справедливо равенство 



    (        )    . 

Пример 8. Найти все углы 

 , удовлетворяющие условию 

          . 

Решение. Все такие углы 

  задаются формулой 

           (  )            

Так как 


       (  )  

  

 



, то эту формулу можно записать так: 

   


  

 

           



1.3. Основные тригонометрические формулы 

 Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и 

того же аргумента: 

основное  тригонометрическое тождество:    

 

       


 

     ; 


      

     


     

     


 

 

           



       

     


     

               

      

 

   



 

   


 

 

     



 

 

           



       

 

   



 

   


 

 

               .



Формулы сложения углов: 

   (     )                            

   (     )                            ;

  (     )  

         

           

     

 

 



         

 

 



                             

   (     )  

            

           

                                         .


14 

 

 Формулы  преобразования суммы тригонометрических  функций  в 



произведение: 

                    

   

 

   



   

 

                    

   


 

   


   

 

                     

   


 

   


   

 

             

   (   )


           

     


 

 

         



 

 

              ;



               

   (   )


           

                          .



 Формулы двойного аргумента: 

                      

            

 

       



 

 

       

      


    

 

 



     

 

 



 

  

 



     

 

 



               

        


   

 

   



       

     


  

 

                   



                 

 

 



                 

 

 



             (            )

 



 Формулы тройного аргумента 

                         

 

        



             

 

           



       

         

 

 

     



 

 

     



 

 

(      )       



        

           

 

 

      



 

 

     



  

 

       



Формулы  преобразования  произведения  тригонометрических 

функций в сумму

             

 

 

[   (     )      (     )]



             

 

 



[   (     )      (     )]

15 

 

             



 

 

[   (     )      (     )]



           

          

            

             

            

          



            

           

           





Некоторые значения тригонометрических функций 

Таблица 1

     Функции 

Угол 

      


      

     


      



∞  



 

 

(   ) 



 

 

 



√ 

 

 



√ 

 

 



√  

 

 



(   ) 

√ 

 



 

√ 

 



 



 

 

(   ) 



√ 

 

 



 

 

 



√  

√ 

 



 

 

 



(   ) 



∞ 



16 

 

1.4. Тригонометрические функции числового аргумента 

Для любого действительного числа 

  существует угол, радианная мера 

которого  равна 

 .  Далее  будем  говорить  короче:  для  любого  числа    

существует угол в 

  радиан. При этом не будут различаться число   и угол в 

  радиан. 

Функцию 


     ( )  называют  периодической,  если  существует  число 

     ,  такое,  что  для  любого     из  области  определения  функции       ( ) 

числа 

              также входят в область определения функции      ( ) и 



выполняется равенство  

 (     )    ( )

Число 

   называют  периодом  функции       ( ).  Наименьший 



положительный период 

 ( ) называют ее главным периодом. 

Обычно рассматривают положительные периоды. 

Из  данного  определения  следует,  что  для  любого 

   области 

определения функции 

     ( ) справедливо равенство   (     )    ( ). 

Действительно, функция 

     ( ) определена в точке       и поэтому 

 ( )    ((     )    )    (     ). 



1.4.1. Функция 

          

Если  каждому  действительному  числу 

   поставлено  в  соответствие 

число 

 ,  равное  синусу  угла  в     радиан,  то  говорят,  что  этим  определена 



функция 

         , называемая синусом числового аргумента  

          Областью 

определения 

функции 

является 

множество 

всех 


действительных чисел 

 областью изменения – отрезок [     ]. 

Отметим некоторые свойства функции 

         . 

1. Функция 

          нечетная. 

2. Функция 

          периодическая с главным периодом   . 

3. Функция 

          непрерывная. 

4. Функция 

          на отрезке [ 

 

 

 



 

 

] возрастает, а на отрезке [



 

 

 



  

 



убывает. 

17 

 

График функции 



          называют синусоидой.  

 

Рис. 8 



 

1.4.2. Функция 

          

Если  каждому  действительному  числу 

   поставлено  в  соответствие 

число 

 , равное косинусу угла в    радиан, то говорят, что этим определена 



функция 

         , называемая косинусом числового аргумента  . 

Областью 

определения 

функции 

является 

множество 

всех 


действительных чисел 

 областью изменения – отрезок [     ]. 

Отметим некоторые свойства функции 

         . 

1. Функция 

          четная. 

2. Функция 

          периодическая с главным периодом   . 

3. Функция 

          непрерывная. 

4.  Функция 

           на  отрезке  [    ]  убывает,  а  на  отрезке  [     ] 

возрастает. 

График функции 

          называют косинусоидой. 


18 

 

 



Рис. 9 

1.4.3. Функция 

        

Если каждому действительному числу 

 , отличному от    

 

 

    , где 



  – любое целое число, поставлено в соответствие число  , равное тангенсу 

угла  в 


   радиан,  то  говорят,  что  этим  определена  функция         

называемая тангенсом числового аргумента 

 . 

Областью 

определения 

функции 


является 

множество 

всех 

действительных  чисел 



 ,  отличных  от     

 

 



    ,  где       ,  областью 

изменения – интервал (

      ). 

Отметим некоторые свойства функции 

       . 

1. Функция 

        нечетная. 

2. Функция 

        периодическая с главным периодом  . 

3. Функция 

        непрерывна на интервале ( 

 

 



 

 

 



). 

4. Функция 

        возрастает на интервале ( 

 

 



 

 

 



). 

График  функции 

         называют  тангенсоидой.  Так  как  функция 

         не  определена  в  точках 

 

 

         ,  то  тангенсоида  имеет 



бесконечно много ветвей. 

19 

 

 



Рис. 10 

1.4.4.Функция 

         

Если каждому действительному числу 

 , отличному от           , где 

   , поставлено в соответствие число  , равное котангенсу угла в   радиан, 

то говорят, что этим определена функция 

        , называемая котангенсом 

числового аргумента 

 . 


Областью 

определения 

функции 

является 

множество 

всех 


действительных чисел 

 , отличных от       , где    , областью изменения – 

интервал (

      ). 

Отметим некоторые свойства функции 

        . 

1. Функция

          нечетная. 

2. Функция 

         периодическая с главным периодом  . 

3. Функция 

         непрерывна на интервале (    ). 

4. Функция 

         убывает на интервале (    ). 

График  функции 

          называют  котангенсоидой.  Так  как 

функция 

          не  определена  в  точках             ,  то  котангенсоида 

имеет бесконечно много ветвей. 


20 

 

 



Рис. 11 

1.4.5. График гармонического колебания 

Тригонометрические 

функции 

используются 

для 

описания 



колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов такого рода 

описывается  формулой 

         (      )

Эту  формулу  называют  законом 



(или  уравнением)  гармонических  колебаний.  Если,  например,  материальную 

точку,  висящую  на  пружине,  вывести  из  положения  равновесия,  то  она 

начнет  совершать  вертикальные  колебания,  причем  закон  движения 

выражается  указанной  выше  формулой,  где    –  время,  а   

– 

отклонение 



материальной точки от положения равновесия. 

Пример 9. Построить график функции 

          (    

 

 



Решение.  Имеем 

           (   

 

 

)



.

  Чтобы  построить  график  такой 

функции,  нужно  над  синусоидой 

 

осуществить  следующие 



преобразования: 

1) сжать ее к оси ординат с коэффициентом 2; 

2) растянуть от оси абсцисс с коэффициентом 3; 

3) сжатую и растянутую полуволну сдвинуть вдоль оси абсцисс 

на  

  

влево. 



t

s

sin


s

t

6





21 

 

В  результате  получится  полуволна  искомого  графика,  с  помощью 



которой без труда можно построить весь график. 

На практике полуволну предпочитают строить по-другому. 

Решим  уравнение 

          (    

 

 

)    



 

–  это  даст  нам  точки 

пересечения искомого графика с осью абсцисс. Имеем: 

    


 

 

      



      

 

 



      

     


 

 

 



  

 

 



     

Дадим параметру 

 

 

два соседних значения 0 и 1. При 



     

 

получаем 



 

 

   



 

 

;



 

при 


     

 

получаем 



 

 

   



 

 

 



 

 

 



 

 

  



 

Точки 


  ( 

 

 



   )

 

и 



  (

 

 



   )

 

служат  концами  одной  полуволны  искомого  графика.  Серединой  отрезка 



 

 



 

 

 



] является точка 

 

  



 –

 

среднее арифметическое (полусумма) чисел



 

 

 



 

и 

 



 

Найдем значение заданной функции в точке 



 

  

 



          (    

 

 

)         (



  

  

 



 

 

)         (



 

 

 



 

 

)        



 

 

             



Точка 

  (


 

  

   )  –



 

верхняя  точка  искомой  полуволны.  По  трем  точкам 

       

 

строим  сначала  полуволну  искомого  графика,  а  затем  и  весь  график 



(рис. 12). 

В уравнении гармонических колебаний

          (      ) все величины 

       


 

имеют  определенный  физический  смысл: 

   (или  –   ,  если     <  0)  –    

амплитуда колебаний ( максимальное отклонение от положения равновесия); 

   – частота колебаний;   –

 

начальная фаза колебаний. Так, в рассмотренном 



примере 

          (    

 

 

) амплитуда равна трем (     ) 



частота колебаний 

равна двум (

     ) начальная фаза колебаний равна 

 

 

(   



 

 

).



 

22 

 

 



Рис. 12 

1.5. Тригонометрические уравнения и неравенства 

Решение простейших тригонометрических уравнений 

Тригонометрическими  уравнениями  называют  уравнения,  в  которых 

переменная  содержится  под  знаком  тригонометрических  функций.  К  их 

числу  прежде  всего  относятся  простейшие  тригонометрические  уравнения, 

т.е. 


уравнения 

вида 


                                                

– 

действительное число. 



Уравнение  

         ,  где | |     имеет решение: 

    (  )

 

             ,        или   [



                           

                               

Уравнение 

         , где | |     имеет решение: 

                             

Уравнение  

        , где       имеет решение: 

                         или   [

                          

                              

Уравнение  

         , где       имеет решение: 

                          или   [

                         

                               

Частные  случаи  простейших  тригонометрических  уравнений, 

когда решение может быть записано без применения общих формул:  

                        ;                                  

 

 

            ; 



                 

 

 



            ; 

23 

 

              



 

 

           ;                                        



                              ; 

                       ;                                 

 

 

           ; 



                

 

 



           ; 

              

 

 

           ;                         



 

 

           ; 



                   

 

 



           .

 

Решение простейших тригонометрических неравенств 

1)   


         . 

 



Если |

 |    , то                                                 .  

 

Если 



     , то   – любое действительное число (или       ). 

 



Если 

      , то решений нет. 

2) 

        . 



 

Если |



 |     , то                                                 . 

 



Если 

     , то решений нет.  

 

Если 



      , то   – любое действительное число. 

3) 


         . 

 



Если |

 |    , то                                                  . 

 

Если 



     , то   – любое действительное число.  

 



Если 

       , то решений нет. 

  4)  

        . 



 

Если |



 |    , то                                              . 

 



Если 

     , то решений нет.  

 

Если 



      , то   – любое действительное число. 

5)   


        равносильно                    

 

 



             . 

6)  


        равносильно  

 

 



                                . 

7)  


         равносильно                                . 

8)  


         равносильно                                    . 

x

x

24 

 

Два основных метода решения тригонометрических уравнений 

Для  решения  тригонометрических  уравнений  чаще  используются  два 

метода: введение новой переменной и разложение на множители. 

Рассмотрим  пример  на  использование  метода  введения  новой 



переменной при решении тригонометрических уравнений. 

Пример 10. Решить уравнение 

  

 



 

       


 

 

   . 



Решение.  Поскольку 

   


 

 

 



 

  

 



 

  ,  есть  смысл  ввести  новую 

переменную 

      


 

 

  .  Это  позволит  переписать  уравнение  в  более  простом 



виде: 

   


 

 

   .   



Далее, получаем 

 

 



            

 

                



 

      


 

     


Возвращаясь  к  переменной 

 ,  получаем  два  уравнения:    

 

 

     или 



  

 

 



   . Из первого уравнения находим 

 

 



 

                    

 

 

 



 

 

         



 

 

     . 



Из 

второго 


уравнения 

находим 


 

 

                                . 



Ответ: 

   


 

 

                        



Теперь  рассмотрим  второй  метод  решения  тригонометрических 

уравнений – метод разложения на множители 



Пример 11. Решить уравнение 

(       


 

 

) (       



 

 

)    . 



Решение. Задача сводится к решению совокупности уравнений  

       


 

 

           



 

 



Из этих уравнений находим: 

    (  )


 

      


 

 

                  ( 



 

 

)      . 



Однородные тригонометрические уравнения 

Уравнение 

вида 

                      



называют 

однородным 

тригонометрическим уравнением первой степени.  



25 

 

Уравнение 



вида 

    


 

                        

 

      


называют 

однородным тригонометрическим уравнением второй степени. 

Дано уравнение 

                     , где             . 

Разделив обе части уравнения почленно на 

     , получим 

       


     

 

       



     

 

 



     

т.е. 



              

В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению  

       

 

 



Алгоритм решения уравнения 

     

 

                         



 

     : 


1. Посмотреть, есть ли в уравнении член 

     


 

 . 


2.  Если  член 

     


 

   в  уравнении  содержится  (т.е.       ),  то 

уравнение  решается  делением  обеих  его  частей  на 

     


 

   и  последующим 

введением новой переменной 

       . 

3.  Если  член 

     


 

   в  уравнении  не  содержится  (т.е.       ),  то 

уравнение  решается  методом  разложения  на  множители:  за  скобки  выносят 

     . 


Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного 

Рассмотрим  пример  решения  неравенства,  которую  после  введения 

нового 

неизвестного 



     ( )  где   ( )  –  одна  из  основных 

тригонометрических 

функций, 

превращается 

в 

квадратное 



либо 

рациональное неравенство с неизвестным 

 .  

Пример 12. Решить неравенство 

   


 

                      .          (1) 



Решение.  Введем  новое  неизвестное 

         ,  тогда  неравенство  (1) 

превращается в квадратное неравенство с неизвестным 

 :  


 

 

                                         (2) 



Все решения неравенства (2) есть все 

  из интервала  

 

 

         



26 

 

Следовательно,  множество  всех  решений  неравенства  (1)  состоит  из 



всех решений двойного неравенства 

 

 



       

Так  как  неравенство 

           выполняется  при  любых  значениях   , 

то остается решить неравенство 

       

 

 



.                                             (3) 

Множество всех решений неравенства (3), а значит, и неравенства (1) 

есть серия интервалов  

 

 



  ( 

 

 



       

 

 



     )      . 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



27 

 



  1   2   3   4   5   6


©emirsaba.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал