Практикум по алгебре
таковы , что а 1 = 2 b 1 – 5 b 2
жүктеу/скачать 0,63 Mb. Pdf көрінісі
|
moiseev 2
- Бұл бет үшін навигация:
- § 2. Матрицы и определители . Комплексные числа
|
таковы , что а 1 = 2 b 1 – 5 b 2 , а 2 = 17 b 1 , а 3 = 14 b 2 , а 4 = b 1 – b 2 . Что можно сказать о линейной зависимости или линейной независимости систем векторов { а 1 , а 2 , а 3 }, { а 1 , а 2 , а 3 , а 4 }? 7. Векторы а 1 , а 2 , а 3 линейно независимы и каждый из этих векторов является линейной комбинацией век - торов b 1 , …, b k . Можно ли сказать что - либо о числе k ? 8. Доказать , что система векторов { а 1 , а 2 … а k } линейно независима в R n тогда и только тогда , когда её мож - но дополнить до базиса R n . 9. Пусть вектор b является линейной комбинацией векторов линейно зависимой системы . Доказать , что этот вектор имеет бесконечно много разложений по векторам этой системы . 10. Каким должно быть число α∈ R , чтобы векторы (1; 1; 1) и (1; α ; α 2 ) составляли базис R 3 ? 11. Доказать , что базис системы векторов можно определить как минимальную ( по включению ) систему об - разующих эту систему векторов . 12. В каких случаях конечная система векторов обладает единственным базисом ( описать все такие случаи )? 13. Привести примеры такой системы линейных уравнений , которая имеет одно решение , а при изменении некоторых свободных членов получается система , имеющая бесконечное множество решений . 14. Возможна ли такая ситуация : система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений , а при изменении некоторых свободных членов получается система , не имеющая решений ( привести при - мер или обосновать невозможность )? 15. Однородная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений . Нулевые свободные члены заменили некоторыми числами . Всегда ли получившаяся система имеет решение ? 16. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений подверглась элементар - ным преобразованиям . Будет ли получившаяся система векторов оставаться фундаментальной системой решений ? 17. Сформулировать и доказать утверждение , обратное свойству решений однородной системы линейных уравнений . 77 18. Доказать , что если ранг матрицы однородной системы линейных уравнений на единицу меньше числа переменных , то любые два решения этой системы пропорциональны . 19. Пусть все координаты векторов , образующих ФСР однородной системы линейных уравнений , являются рациональными числами . Доказать , что существует ФСР , все координаты которых являются целыми чис - лами . 20. Указать достаточное условие , связывающее числа m и n , для того , чтобы совместная система m линейных уравнений с n переменными имела более одного решения . 21. Доказать , что две совместные системы линейных уравнений с одними и теми же переменными равно - сильны тогда и только тогда , когда обе они приводятся с помощью элементарных преобразований к од - ному и тому же ступенчатому виду . 22. Доказать , что если матрицы А и В имеют одинаковое число строк и ранг матрицы А не изменяется от приписывания к ней любого столбца матрицы В , то ранг не изменится при приписывании к А всех столб - цов матрицы В . 23. Пусть матрица А имеет формат m × n и строки матрицы линейно независимы . Доказать , что m ≤ n. 24. Строками матрицы В являются столбцы матрицы А , записанные в каком - то порядке . Доказать , что ранги матриц А и В равны . 25. Доказать , что система векторов { а 1 , a 2 , … а k } линейно независима тогда и только тогда , когда существует вектор b , который единственным образом линейно выражается через векторы этой системы 26. Доказать , что вектор b является линейной комбинацией системы векторов { а 1 , a 2 , … а k } тогда и только тогда , когда ранг системы { а 1 , a 2 ,… а k } равен рангу системы { а 1 , a 2 , … а k , b }. 27. Ранг системы { а 1 , a 2 , … а k , a k +1 } равен k , причем а 1 + a 2 + … + а k + a k +1 = θ . Доказать , что любые k векторов этой системы образуют ее базис . 28. В n - мерном арифметическом пространстве вектор b единственным образом представляется в виде линей - ной комбинации векторов системы { а 1 , a 2 , … а n }. Доказать , что векторы { а 1 , a 2 , … а n } образуют базис всего векторного пространства . Изобразить на диаграмме Эйлера - Венна следующие классы объектов . Ответ объяснить . 29. А — множество всех систем линейных уравнений . В — множество всех совместных систем линейных уравнений . С — множество всех однородных систем линейных уравнений . D — множество всех систем линейных уравнений , имеющих различные ранги основной и расширенной матриц ( все системы — от одних и тех же переменных ). 30. А — множество всех систем , состоящих из р векторов а 1 , а 2 , …, а р , таких , что ⋅ 0 а 1 + ⋅ 0 а 2 + … + ⋅ 0 а р = θ . В — множество всех линейно независимых систем векторов , содержащих р элементов . С — множество всех систем векторов , состоящих из р векторов , ранг которых меньше р . D — множество всех систем векторов { а 1 , a 2 , …, а р }, в которых подсистема { а 2 , … а р } линейно зависима ( р ≥ 2). 31. А — множество всех систем линейных уравнений , у которых ранг расши - ренной матрицы на единицу больше ранга основной матрицы . В — множество всех совместных систем линейных уравнений . С — множество всех однородных систем линейных уравнений . D — множество всех однородных систем линейных уравнений , ранг основной матрицы которых равен числу переменных ( все системы от одних и тех же переменных ). 32. Система векторов { а 1 , a 2 , … а k } (1) линейно зависима . Истинно или ложно каждое из следующих высказываний : 78 a) всякая подсистема системы (1) линейно зависима ; b) система (1) содержит хотя бы одну линейно независимую подсистему ; c) ранг системы (1) меньше k ; d) вектор а k линейно выражается через предыдущие векторы ? § 2. Матрицы и определители . Комплексные числа 1. Пусть через t А обозначается матрица , полученная из матрицы А путем транспонирования . Доказать свойст - ва транспонирования : а ) t 0 = 0 ; b) t E = E ; c) t ( A + B ) = t A + t B ; d) t ( α A ) = α t A , где α ∈ R ; е ) t ( AB ) = t B t A ; f) если А невырожденная матрица , то t ( A –1 ) = ( t A ) –1 . 2. Доказать , что если А и В симметрические матрицы одного порядка , то АВ – симметрическая матрица тогда и только тогда , когда А и В перестановочны . 3. Доказать , что любая квадратная матрица представляется в виде суммы двух матриц , одна из которых сим - метрическая , а другая кососимметрическая . Написать какую - нибудь конкретную матрицу и представить ее в виде указанной суммы . 4. Доказать , что матрица А является диагональной матрицей тогда и только тогда , когда А перестановочна со всеми диагональными матрицами . 5. Найти вид матрицы , перестановочной со всеми матричными единицами E ij . 6. Доказать , что две k × n - матрицы А и В равны тогда и только тогда , когда выполняется равенство АХ = ВХ для всех n × 1- матриц X . 7. Для невырожденных матриц А и В доказать равносильность следующих равенств : AB = BA ; A –1 B = BA –1 ; AB –1 = B –1 A ; A –1 B –1 = B --1 A --1 . 8. Доказать , что если квадратная ненулевая матрица А вырожденная , то существует матрица В ≠ 0, такая , что АВ = ВА = 0. 9. Верна ли , что матрица , обратная к невырожденной треугольной матрице , также является треугольной матрицей того же вида ? 10. Доказать , что любая k × n - матрица ранга 1 может быть представлена в виде произведения ( k × 1)- и (1 × n )- матриц . 11. Справедливо ли для квадратных матриц одинакового порядка тождество А 2 – В 2 = ( А – В )( А + В )? Доказать или привести опровергающий пример . 12. Пусть А невырожденная n × n - матрица , ϕ : жүктеу/скачать 0,63 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|