Практикум по алгебре



Pdf көрінісі
бет42/42
Дата10.12.2023
өлшемі0,63 Mb.
#135717
түріПрактикум
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   42
Байланысты:
moiseev 2

Q
/
Z

обладающий
свойством
na

Z

совпа
-
дает
с
одним
из
элементов
этой
указанной
подгруппы

25. 
Каков
порядок
этой
группы

26. 
Заменить
равенство
ab
=
ba
равносильным
и
воспользоваться
критерием
нормальной
подгруппы

27. 
Показать

что
Н
подгруппа
индекса
2. 
28. 
Использовать
теорему
об
эпиморфизмах
и
теорему
Лагранжа

30. 
Смотреть
указание
к
задаче
28. 
Сколько
элементов
должно
бы
содержать
ядро
такого
эпиморфизм

32. 
Не
встречалась
ли
уже
такая
задача

33. 
а

Воспользоваться
теоремой
Лагранжа

б

Такой
гомоморфизм
только
один

Какой
?
34. 
Связать
ответ
со
свойствами
натуральных
кратных
элементов

35. 
Использовать
задачу
19 
и
теорему
о
гомоморфных
образах
циклической
группы

36. 
Использовать
теорему
о
подгруппах
группы

Z
; +


39. 
Рассмотреть
в
качестве
Н
класс
эквивалентности
K
e

порожденный
нейтральным
элементом
е
.
§ 4 
2. 
Найти
пересечение
подпространств
и
размерность
пересечения

4. 
б

Использовать
задачу
1.8. 
5. 
а

Сравнить
размерность
подпространств
U
1
+
U
2

U
1

U
2
и
U
1
I
U
2

6. 
а

Найти
пересечение
U
и
W
и
использовать
величины
размерностей
этих
подпространств

8. 
Использовать
свойство
ступенчатых
систем
векторов

11. 
Использовать
свойства
размерностей
подпространств

12. 
Доказать
методом
от
противного

15. 
Показать

что
x
– 







94 
18. 
Использовать
равенство
U
=
(


)


19. 
д

Применить
свойство
г

для
U
1

и
U
2


24. 
Отметим

что
{
b
1

b
2
, …, 
b
k

и
{
c
1

c
2
, … 
c
k
} — 
ортогональные
базисы
подпространства
L(a
1

a
2
, …, 
a
k
). 
Ут
-
верждение
доказывается
индукцией
по
k

25. 
Связать
с
решениями
системы
линейных
однородных
уравнений

§ 5 
1. 
Подействовать
на
базисные
векторы
i, j, k.
4. 
Связать
с
матрицами
линейных
отображений

5. 
Какова
размерность
векторного
пространства
(
использовать
задачу

б
))? 
6. 
Использовать
задачу

б
). 
8. 
Показать

что
данное
утверждение
равносильно
следующему

ϕ
переводит
базис
в
базис

9. 
Доказать

что
ϕ
сюръекция
и
использовать
задачу

б
). 
10. 
Использовать
задачу
8. 
12. 
Использовать
равенство
x
=
ϕ
(
x
) + (
x
– 
ϕ
(
x
)).
13–14. 
Использовать
теорему
об
описании
линейных
отображений
через
образы
векторов
базиса

15. 
Определить
размерности
Ker
ϕ
и
Ker
ψ

Дополнить
базис
Ker 
ϕ
до
базиса
V

16. 
Проверить

что
ненулевая
линейная
комбинация
собственных
векторов

принадлежащих
различным
собст
-
венным
значениям

уже
не
является
собственным
вектором

17. 
Учесть
равенство
|
λ
2
E
– 
A
2

=
|
λ
E
– 
A
||
λ
E

A
|. 
20. 
Воспользоваться
свойством
определителя
транспонированной
матрицы

21. 
Использовать
задачу
20 
и
доказать
равенство
|
λ
E
– 
A
–1

=
|
A
–1
|
λ
n
|
A
– 1/
λ
E
|. 
22. 
Положить
для
определенности

что
А
невырожденная
матрица

24. 
Использовать
изоморфизм
каждого
из
этих
пространств
с
соответствующим
пространством
матриц

25. 
Использовать
задачу
24. 
26. 
Вспомнить
формулу
связи
координат
вектора
и
координат
образа
этого
вектора
.
 
 
§ 6 
5. 
а

Вычислить
(
a
+
b
)
2
.
б

Аналогичен
а
). 
7. 
Использовать
задачу
2.8. 
11. 
Использовать
равенство
x
p
–1
– 1 
=
(
x
(
p
–1)/2
– 1)(
x
(
p
+1)/2
+ 1) 
и
тот
факт

что
многочлен
над
полем
имеет
корней
не
больше

чем
его
степень

20. 
Рассмотреть
множество
степеней
этого
ненулевого
элемента

21. 
Укажем

что
в
Z
(
p
)

с
точностью
до
ассоциированности

существует
только
один
простой
элемент

22. 
Использовать
теорему
об
эпиморфизмах
колец
и
задачу
16. 
24. 
а

Так
как

Z
; +

циклическая
группа

то
всякий
гомоморфизм
определяется
действием
на
образующий
эле
-
мент
группы

б

Чему
равен
ϕ
 
(
x
)? 
25. 
Воспользоваться
теоремой
об
эпиморфизмах
колец

26. 
Рассмотреть
декартово
произведение
кольца
с
единицей
и
кольца
без
единицы

29–30. 
Рассмотреть
уравнение
x
2
=

в
каждом
из
этих
колец

31. 
Учесть

что
всякий
автоморфизм
кольца
на
множестве
Q
действует
тождественно
(
проверьте
!). 


95 
32. 
Вспомнить
о
связи
колец
главных
идеалов
и
факториальных
колец

§ 7 
3. 
Рассмотреть
комбинации
суммы
остатков
от
деления
a
2
и
b
2
на
7. 
4. 
Сравнить
любые
два
таких
числа
по
модулю
М

5. 
Какие
остатки
от
деления
на

могут
иметь
суммы
квадратов
двух
чисел

6. 
Какой
может
быть
последняя
цифра
числа
n
(
n
+ 1)/2? 
8. 
Каков
остаток
от
деления
этой
суммы
на
4? 
9. 
Разложить
число
240 
на
взаимно
простые
множители
и
доказать

что
выражение
делится
на
каждый
из
этих
множителей

11. 
Вспомнить

как
доказывалась

по
Евклиду
’ 
бесконечность
множества
простых
чисел

14. 
Использовать
свойства
функции

целая
часть
числа
’. 
15. 
На
что
делится
q

16. 
Доказать
методом
от
противного

17. 
Воспользоваться
определением
логарифма

19. 
Воспользоваться
равенством
a
2

ab

b
2
=
(
a
– 
b
)
2
+ 3
ab

21. 
Применить
признаки
делимости

24. 
В
знаменатель
формулы
для
ϕ
 
(
x

входят
простые
множители
только
в
первой
степени

причем
наибольшее
простое
число
сократиться
с
числителем
не
может
(
доказать
!) 
27. 
Предположив

что
р
общий
простой
делитель
чисел
(
a

b
)
n
и
(
a
– 
b
)
n

попытайтесь
найти
его

29. 
Воспользоваться
коммутативностью
и
ассоциативностью
(
доказать
!) 
опера
-
ции
взятия
НОД

30. 
Умножить
обе
части
доказываемого
равенства
на
а

40. 
Воспользоваться
тем

что
всякое
рациональное
число
разлагается
в
цепную
дробь
единственным
образом

41. 
Вспомнить
формулировку
теоремы
-
критерия
для
этого
случая
.
§ 8 
2. 
Умножить
и
поделить
многочлен
на
x
–1. 
7. 
Свести
к
задаче
6, 
введя
однородные
переменные
x
k
=
y
k
/
y
n
+1

8. 
Связать
корни
делимого
и
делителя

14. 
б

Разложить
на
множители
над
R

16. 
Найти
рациональные
корни

19. 
Рассмотреть
многочлен
x
n
– 1. 
23. 
Исключить
радикалы

24. 
Использовать
трансцендентность
π

25. 
Использовать
производную

29. 
а

Доказать

что
3
– 
2

Q
(
3

2
). 
б

Использовать
задачу
23. 
в

Использовать
правую
часть
равенства
.
30. 
Использовать
задачу
29 
в
). 
Каковы
образы
базисных
элементов

32. 
Использовать
каноническое
разложение
над
R

33. 1-
й
способ

разложить
297 
на
множители

2-
й
способ

произвести
группировку
множителей

34. 
Связать
с
кратностью
корней
f

36. 
Доказать

что
коэффициенты
при

и
x
3
равны
нулю



96 
Оглавление
 
Предисловие
……………………………………………………………………. 

ЧАСТЬ
1. 
Система
индивидуальных
заданий
……………………………….. 

ЧАСТЬ
2. 
Система
групповых
заданий
………………………………………. 
77 
ЧАСТЬ
3. 
Система
заданий
к
семестровым
экзаменам
……………………... 
100 
§ 1. 
Системы
векторов
и
системы
линейных
уравнений
………… 
100 
§ 2. 
Матрицы
и
определители

Комплексные
числа
……………... 
102 
§ 3. 
Группы
………………………………………………………….. 
105 
§ 4. 
Векторные
и
евклидовы
пространства
……………………….. 
108 
§ 5. 
Линейные
отображения
и
линейные
операторы
…………….. 
110 
§ 6. 
Кольца
………………………………………………………….. 
113 
§ 7. 
Задачи
по
теории
чисел
……………………………………….. 
115 
§ 8. 
Алгебра
многочленов
………………………………………….. 
118 
Указания
………………………………………………………………………… 
120 


97 
Учебно
-
методическое
издание
Моисеев
 
Сергей
 
Алексеевич
 
Суворов
 
Николай
 
Михайлович
 
ЗАДАЧНИК
-
ПРАКТИКУМ
ПО
АЛГЕБРЕ
И
ТЕОРИИ
ЧИСЕЛ
Редактор
В
.
Л

Рубайлова
Технический
редактор
О
.
С

Верещагина
Подписано
в
печать
18.09.06. 
Поз


064. 
Бумага
офсетная

Формат
60
х
84
1
/
16

Гарнитура
Times New Roman. 
Печать
трафаретная
.
Усл

печ

л
. 7,21. 
Уч
.-
изд

л
. 7,9. 
Тираж
500 
экз

Заказ

Государственное
образовательное
учреждение
высшего
профессионального
образования
«
Рязанский
государственный
университет
имени
С
.
А

Есенина
» 
390000, 
г

Рязань

ул

Свободы
, 46 
Редакционно
-
издательский
центр
РГУ
390023, 
г

Рязань

ул

Урицкого
, 22


98 


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   42




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет