таковы ,  что а 1  = 2 b 1 – 5 b 2

77 
18.
Доказать
, 
что
если
ранг
матрицы
однородной
системы
линейных
уравнений
на
единицу
меньше
числа
переменных
, 
то
любые
два
решения
этой
системы
пропорциональны
. 
19.
Пусть
все
координаты
векторов
, 
образующих
ФСР
однородной
системы
линейных
уравнений
, 
являются
рациональными
числами
. 
Доказать
, 
что
существует
ФСР
, 
все
координаты
которых
являются
целыми
чис
-
лами
. 
20.
Указать
достаточное
условие
, 
связывающее
числа
m
и
n
, 
для
того
, 
чтобы
совместная
система
m
линейных
уравнений
с
n
переменными
имела
более
одного
решения
. 
21.
Доказать
, 
что
две
совместные
системы
линейных
уравнений
с
одними
и
теми
же
переменными
равно
-
сильны
тогда
и
только
тогда
, 
когда
обе
они
приводятся
с
помощью
элементарных
преобразований
к
од
-
ному
и
тому
же
ступенчатому
виду
. 
22.
Доказать
, 
что
если
матрицы
А
и
В
имеют
одинаковое
число
строк
и
ранг
матрицы
А
не
изменяется
от
приписывания
к
ней
любого
столбца
матрицы
В
, 
то
ранг
не
изменится
при
приписывании
к
А
всех
столб
-
цов
матрицы
В
. 
23.
Пусть
матрица
А
имеет
формат
m
×
n
и
строки
матрицы
линейно
независимы
. 
Доказать
, 
что
m 
≤
n.
24.
Строками
матрицы
В
являются
столбцы
матрицы
А
, 
записанные
в
каком
-
то
порядке
. 
Доказать
, 
что
ранги
матриц
А
и
В
равны
. 
25.
Доказать
, 
что
система
векторов
{
а
1
, 
a
2
, … 
а
k
} 
линейно
независима
тогда
и
только
тогда
, 
когда
существует
вектор
b
, 
который
единственным
образом
линейно
выражается
через
векторы
этой
системы
26.
Доказать
, 
что
вектор
b 
является
линейной
комбинацией
системы
векторов
{
а
1
, 
a
2
, … 
а
k
} 
тогда
и
только
тогда
, 
когда
ранг
системы
{
а
1
, 
a
2
,…
а
k
} 
равен
рангу
системы
{
а
1
, 
a
2
, … 
а
k
, 
b
}. 
27.
Ранг
системы
{
а
1
, 
a
2
, … 
а
k
, 
a
k
+1
} 
равен
k
, 
причем
а
1
+
a
2
+ … +
а
k
+
a
k
+1
=
θ
. 
Доказать
, 
что
любые
k
векторов
этой
системы
образуют
ее
базис
. 
28.
В
n
-
мерном
арифметическом
пространстве
вектор
b
единственным
образом
представляется
в
виде
линей
-
ной
комбинации
векторов
системы
{
а
1
, 
a
2
, … 
а
n
}. 
Доказать
, 
что
векторы
{
а
1
, 
a
2
, … 
а
n
} 
образуют
базис
всего
векторного
пространства
. 
Изобразить
на
диаграмме
Эйлера
-
Венна
следующие
классы
объектов
. 
Ответ
объяснить
. 
29.
А
— 
множество
всех
систем
линейных
уравнений
.
В
— 
множество
всех
совместных
систем
линейных
уравнений
. 
С
— 
множество
всех
однородных
систем
линейных
уравнений
. 
D — 
множество
всех
систем
линейных
уравнений
, 
имеющих
различные
ранги
основной
и
расширенной
матриц
(
все
системы
— 
от
одних
и
тех
же
переменных
). 
30.
А
— 
множество
всех
систем
, 
состоящих
из
р
векторов
а
1
, 
а
2
, …, 
а
р
, 
таких
, 
что
⋅
0
а
1
+ 
⋅
0
а
2
+ … + 
⋅
0
а
р
=
θ
. 
В
— 
множество
всех
линейно
независимых
систем
векторов
, 
содержащих
р
элементов
. 
С
— 
множество
всех
систем
векторов
, 
состоящих
из
р
векторов
, 
ранг
которых
меньше
р
. 
D — 
множество
всех
систем
векторов
{
а
1
, 
a
2
, …, 
а
р
}, 
в
которых
подсистема
{
а
2
,
 
… 
а
р
} 
линейно
зависима
(
р
 
≥
2). 
31.
А
— 
множество
всех
систем
линейных
уравнений
, 
у
которых
ранг
расши
-
ренной
матрицы
на
единицу
больше
ранга
основной
матрицы
. 
В
— 
множество
всех
совместных
систем
линейных
уравнений
. 
С
— 
множество
всех
однородных
систем
линейных
уравнений
. 
D — 
множество
всех
однородных
систем
линейных
уравнений
, 
ранг
основной
матрицы
которых
равен
числу
переменных
(
все
системы
от
одних
и
тех
же
переменных
). 
32.
Система
векторов
{
а
1
, 
a
2
, … 
а
k
} (1) 
линейно
зависима
. 
Истинно
или
ложно
каждое
из
следующих
высказываний
: 

78 
a)
всякая
подсистема
системы
(1) 
линейно
зависима
; 
b)
система
(1) 
содержит
хотя
бы
одну
линейно
независимую
подсистему
;
c)
ранг
системы
(1) 
меньше
k
; 
d)
вектор
а
k
линейно
выражается
через
предыдущие
векторы
? 
§ 2. 
Матрицы
 
и
 
определители
. 
Комплексные
 
числа
 
1.
Пусть
через
t
А
обозначается
матрица
, 
полученная
из
матрицы
А
путем
транспонирования
. 
Доказать
свойст
-
ва
транспонирования
:
а
) 
t
0
=
0
; b) 
t
E
=
E
; c)
t
(
A + B
) 
=
t
A
+ 
t
B
; d) 
t
(
α
A
) 
=
α
t
A
,
где
α
∈
R
;
е
) 
t
(
AB
) 
=
t
B
t
A
; f) 
если
А
 
невырожденная
матрица
, 
то
t
(
A
–1
) 
=
(
t
A
) 
–1
. 
2.
Доказать
, 
что
если
А
и
В
симметрические
матрицы
одного
порядка
, 
то
АВ
– 
симметрическая
матрица
тогда
и
только
тогда
, 
когда
А
и
В
перестановочны
. 
3.
Доказать
, 
что
любая
квадратная
матрица
представляется
в
виде
суммы
двух
матриц
, 
одна
из
которых
сим
-
метрическая
, 
а
другая
кососимметрическая
. 
Написать
какую
-
нибудь
конкретную
матрицу
и
представить
ее
в
виде
указанной
суммы
. 
4.
Доказать
, 
что
матрица
А
является
диагональной
матрицей
тогда
и
только
тогда
, 
когда
А
 
перестановочна
со
всеми
диагональными
матрицами
. 
5.
Найти
вид
матрицы
, 
перестановочной
со
всеми
матричными
единицами
E
ij
.
6.
Доказать
, 
что
две
k
×
n
-
матрицы
А
и
В
равны
тогда
и
только
тогда
, 
когда
выполняется
равенство
АХ
=
ВХ
для
всех
n
×
1-
матриц
X
. 
7.
Для
невырожденных
матриц
А
и
В
доказать
равносильность
следующих
равенств
: 
AB = BA
; 
A
–1
B
=
BA
–1
; 
AB
–1
=
B
–1
A
; 
A
–1
B
–1 
=
B
--1
A
--1
. 
8.
Доказать
, 
что
если
квадратная
ненулевая
матрица
А
вырожденная
, 
то
существует
матрица
В
≠
0, 
такая
, 
что
АВ
 = 
ВА
 = 
0. 
9.
Верна
ли
, 
что
матрица
, 
обратная
к
невырожденной
треугольной
матрице
, 
также
является
треугольной
матрицей
того
же
вида
? 
10.
Доказать
, 
что
любая
k
×
n
-
матрица
ранга
1 
может
быть
представлена
в
виде
произведения
(
k
×
1)- 
и
(1
×
n
)-
матриц
. 
11.
Справедливо
ли
для
квадратных
матриц
одинакового
порядка
тождество
А
2
– 
В
2
=
(
А
 – 
В
)(
А
 + 
В
)? 
Доказать
или
привести
опровергающий
пример
. 
12.
Пусть
А
невырожденная
n
×
n
-
матрица
, 
ϕ
:

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: