Ҕазаҕстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі «Ҧлттыҕ аҕпараттандыру орталығы» АҔ

208 
 
 
 
 
 

209 
 
 
 
 
 
 
Приведем также основные свойства модуля, часто применяемых в 
решение задач: 
1.
 
|ab|=|a||b|; 
2.
 
 |a|
n
=|a
n
|; 
3.
 
 
4.
 
|a|=0, если a=0  
Поговорим  о  некоторых  способах  решения  задач  с  модулем.  Среди  них  один 
занимает  самое  главное  место,  так  как  он  является  самым  общим,  однако, 
иногда не самым рациональным. Заключается он в следующем. 
a)
 
Метод интервалов. 
Предположим, что имеется уравнение или неравенство, в которое входят один 
или несколько модулей. 
1.
 
Первым  делом  нужно  отделить  критические  точки.  Под  этим  мы 
понимаем  все  значения  переменной,  при  которых  один  из  модулей 
обращается в нуль.  
2.
 
Нанесите  полученное  множество  значений  на  ось  данной  переменной, 
например  Ox.  Прямая  разобьется  на  несколько  конечных  и  два 
бесконечных 
интервала. 
Каждый 
интервал 
соответствует 
знакопостоянству подмодульных выражений.  
3.
 
Рассмотреть  столько  случаев  решения,  сколько  получилось  интервалов. 
При  этом  освобождаться  от  модулей  нужно,  проверяя  знак 
подмодульного выражения. Т.е. изменять его на противоположный, если 
выражение  отрицательно  и  оставлять  его  прежним  в  противном  случае. 
Важно не забыть, что частным ответом в каждом из полученных случаев 
является пересечение интервала и найденного решения.  
4.
 
Объединить полученные в каждом интервале ответы в один.  
Рассмотрим подробнее этот метод на следующем примере. 
|x + 2| + |x - 3| = 5 

210 
 
Нанесем на числовую прямую значение x, при котором x + 2 = 0 и значение x, 
при котором x – 3 = 0. Числовая прямая разобьется на промежутки (- ; -2), [-2; 
3], (3; + ). 
 
Решим уравнений на каждом из этих интервалов. 
х 
(- ; -2) 
[-2;3] 
(3; + ) 
х+2 
- 
+ - + 
+ 
x-3 
- 
- - 
+ 
 
Рассмотрим  первый  промежуток,  чтобы  определить  знак  подмодульного 
выражения, возьмем контрольную точку x = 3, подставим ее в наше уравнение 
–3 + 2 < 0 и во второе -3 – 3 < 0. Аналогично рассмотрим знаки подмодульных 
выражений на втором и третьем промежутках. 
Решим уравнение на каждом из этих промежутков, т.е. решим равносильную 
уравнению совокупность смешанных систем: 
1)  
 
–х – 2 – х + 3 = 5 
–2х + 1 = 5 
–2х = 4  
х = –2 
–2 
 
Не может быть корнем. 
2) 
 
 
х + 2 – х + 3 = 5 
0х = 0 x любое число из [-2; 3]. 
3) 
 
х + 2 + х – 3 = 5,  x = 3 
3 
, не может быть корнем. 
Вывод: Решение второй системы является объединением решений 3-х систем. 
Ответ: x принадлежит [-2;3] или все значения сегмента [-2;3]. 
 
b)
 
Сообщение №2 Графический метод. 
Этот  способ  уже  не  столь  универсален,  но  им  нельзя  пренебрегать,  если  он 
применим.  Часто  уравнение  или  неравенства  с  модулем  содержит  только 
линейные  выражения  относительно  переменной.  В  этом  случае  существует 
очень простой рецепт построения графиков с модулями, что часто существенно 
облегчает  решение  задачи.  Он  базируется  на  простом  замечании  –  графики 
таких  выражений  состоят  из  кусков  линий,  т.е.  являются  ломаными.  Метод 
состоит в следующем: 
1.
 
Найти, как и раньше, все критические точки и нанести их на ось абсцисс. 
Найти  непосредственно  значения  заданной  функции  в  этих  точках  (это 
удобно  делать  с  помощью  отдельной  таблицы)  и  нанести  их  на 
координатную плоскость.  
2.
 
В  каждой  из  конечных  интервалов,  получаемых  после  разбиения 
критическими  точками,  график  является  прямой  и  может  быть  простым 

211 
 
соединением  нанесенных  в  предыдущем  пункте  точек  на  координатной 
плоскости.  
3.
 
Выбрать  две  удобные  для  вычисления  точки,  расположенные  в  левом  и 
правом  бесконечных  интервалах  и  аналогично  п.1  найти  значения 
функций в них. Окончательно, соединяя построенный участок графика с 
оставшимися двумя точками, получим требуемый график.  
Проиллюстрируем это на примере построения графика |x+2|+|x-3|=5. Построим 
график функции 
у = |x + 2| + |x – 3| и y = 5 
х + 2 = 0, x –3 = 0 
x
1 
= –2     x
2 
= 3 
 
Наносим  на  ось  корни  линейных  функций  стоящих  под  знаком  модуля.  На 
каждом  из  трех  промежутков  знаки  этих  линейных  функций  постоянны  и  мы 
можем избавиться от знака модуля. 
если x < – 2, то y =-(x + 2) – (x – 3) = –2x + 1 
если –2 < x < 3, то y = +(x + 2) – (x – 3) = x + 2 – x + 3 = 5 
если x > 3, то y = +(x + 2) + (x – 3) = 2x – 1 
При  построении  графика  провести  вертикальные  прямые  x  =  –2  и  x  =  3, 
которые разобьют плоскость на три части. В левой части надо провести прямую 
y=–2x + 1, в центральной полосе y = 5 и в правой y = 2x – 1: (для контроля надо 
следить, чтобы ломаная была непрерывной, т.е. чтобы значения в разделяющих 
точках изломах, вычисленные по соседним формулам совпали). В нашем случае 
при x - 2 значение функции y = –2x + 1 совпадает со значением y = 5, точно так 
же при x=3 совпадают значения функции y = 5 и y=2x – 1 
Строим график 
 
1) y = –2x + 1 
х 
-3 
-4 
у 
7 
9 
 
 
2) у = 5 
 
 
3) y = 2x – 1 
х 
4 
5 
у 
7 
9 
 
 
 
Графики 
и y = 5 пересекаются на промежутке, если 
. 
Ответ
 
3.Решение уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение 
содержащее модуль. Интерактивное задание к ЦОРу № 1502 

212 
 
 
 

213 
 
 
4.Итоги урока. Домашнее задание. 
Выполнить тестовое задание к ЦОР1 № 1502 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

214 
 
Тема урока: «Случайные величины и ее виды» 
 
Цели урока: 
закрепление знаний и навыков учащихся по изученной теме «Случайные 
события»; 
ввести понятие случайной величины, рассмотреть виды случайных величин, 
закон распределения случайной величины. 
 
Используемые средства обучения: ПК, проектор. 
 
Ожидаемые результаты. 
 
Учащийся должен:  
уметь приводить примеры случайных величин; 
выделять из множества различных случайных величин дискретные, 
непрерывные; 
знать определение закона случайных величин; 
уметь составлять таблицы распределения дискретных случайных величин с 
небольшим числом значений. 
 
ХОД УРОКА 
 
I. Организационный момент 
 
 Сообщить тему и цели урока. 
 
II. Актуализация знаний учащихся 
 
Фронтальная работа с классом – теоретический опрос по вопросам: 
 
– Основное понятие теории вероятностей. 
 – Что изучает теория вероятностей?   
 – Назовите основные объекты изучения теории вероятностей. 
 – Виды случайных событий. 
 – Что называется вероятностью случайного события? 
 – Какие определения вероятности вы знаете? В каких случаях они 
применяются? 
 – Дать классическое определение вероятности и привести примеры. 
 – В каких случаях применяется классическое определение вероятности? 
 – Статистическое определение вероятности, привести пример. Недостатки 
этого определения. 
 – Можно ли статистически определить вероятность, того что мобильный 
телефон после падения на пол будет работать? 
 – Геометрическое определение вероятности, пример (задача о встрече). 

215 
 
 – Аксиоматическое определение вероятности. 
 – Дать определение : несовместных событий, независимых событий, суммы 
событий. 
 – Вероятность суммы несовместных событий. 
 – Определение произведения независимых событий. 
 – Вероятность суммы совместных событий. 
 – Вероятность появления хотя бы одного из событий, образующих полную 
группу. 
 – Формула полной вероятности. 
 – Теорема Бейеса. 
Просмотреть анимацию к ЦОР №1513 
 
 
 
 

216 
 
 
III.Самостоятельная работа 
 
Задача 1. В ящике лежат 6 белых и 5 красных шаров. Из ящика наугад 
выбираются 2 шарика. Какова вероятность того, что:  
Вариант 1 – шарики будут оба белыми? 
Вариант 2 –  шарики будут оба красными? 
 
Задача 2. Двое друзей договорились о встрече в условленном месте между 12 и 
13 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 20 минут. Какова 
вероятность того, что:  
Вариант 1 – друзья встретятся? 
Вариант 2 – друзья не встретятся? 
 
Задача 3. Стрелок стреляет по мишени 4 раза подряд. Известно, что  
Вариант 1. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,9. 
Найдите вероятность того, что мишень будетп оражена хотя бы один раз. 
Вариант 2. Вероятность промаха при каждом выстреле равна 0,1. Найдите 
вероятность того, что стрелок хотя бы один раз промахнется..  
 
IV. Изучение нового материала 
 
Если случайному событию (случайному опыту) можно поставить в 
соответствие определенную величину, то говорят, что задана случайная 
величина. 
 Случайные величины принято обозначать большими буквами X, Y, Z …, а 
принимаемые ими значения строчными буквами x, y, z. 
 
Пример. 
 
Случайной величиной является число выпавших очков игральной кости, рост 
наудачу выбранного ученика, оценка за контрольную работу. 
 Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество 
значений, называется дискретной. 
 Множество значений непрерывной  случайной величины несчетно и обычно 
представляет собой некоторый промежуток – конечный или бесконечный. 
 
Вопрос: Дискретной или непрерывной является случайная величина: 
 
а) число учеников, отсутствующих в классе,   (дискретная); 
 б) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле,   (непрерывная);  
 в) среднее значение оценки за контрольную работу в классе?  (дискретная). 
 

217 
 
Закон распределения случайной величины. Подберем подходящий ключ из трех 
имеющих к двери, при этом рассмотрим анимацию к ЦОРу 1514, стр1 
 
 
 
 
 
Для задания случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее 
значения, нужно еще указать, с какими вероятностями она принимает эти 
значения. 
 Законом распределения случайной величины называют соотношение между 
возможными значениями и их вероятностями. 
 
Рассмотреть анимацию объяснения закона распределения на примере 
распределения дежурства между сержантами:
 

218 
 
 
 
                      
 
Для наглядности закон распределения можно изобразить графически или в виде 
диаграммы. 
 
Непрерывная случайная величина задается  аналитически    
 
Пример. Игральную кость бросают дважды. Таблица элементарных событий 
этого опыта нам известна. По горизонтали указано число очков, выпавшее на 
первой кости, по вертикали – на второй. 
1 
1; 1  1; 2  1; 3  1; 4  1; 5  1; 6 
2 
2; 1  2; 2  2; 3  2; 4  2; 5  2; 6 
3 
3; 1  3; 2  3; 3  3; 4  3; 5  3; 6 
4 
4; 1  4; 2  4; 3  4; 4  4; 5  4; 6 
5 
5; 1  5; 2  5; 3  5; 4  5; 5  5; 6 
6 
6; 1  6; 2  6; 3  6; 4  6; 5   
 
Сумма выпавших очков – случайная величина. Возможные значения этой 
суммы – натуральные числа от 2 до 12. С помощью таблицы элементарных 
событий можно вычислить распределение вероятностей между возможными 
значениями нашей случайной величины. 
  
  
 

219 
 
Высота каждого столбца диаграммы равна вероятности того, что случайная 
величина примет соответствующее значение. 
 Дискретная случайная величина связана с проведением эксперимента. Сумма 
вероятностей значений случайной величины равна сумме вероятностей всех 
элементарных событий эксперимента, поэтому основное свойство 
распределения  заключается в том, что сумма всех вероятностей равна 1.  
 
V. Закрепление изученного 
1 задание: выбрать правильный ответ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 задание: заполнить таблицу, стр 4 

220 
 
 
 
VI. Подведение итогов 
 
– Какие виды случайных величин Вы знаете? 
 – Что называется законом распределения случайной величины? 
 
Домашнее задание  
 
Выучить все определения. Выполнить тестовые задания к ЦОРу № 1514 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

221 
 
Тема урока: «Условная вероятность. Независимые события» 
Тип занятия: изучение нового материала. 
Учебно-воспитательные задачи: 
 - дать понятие о независимом событии, вероятности события; 
 - научить вычислять вероятности события; вероятности случайных событий по 
классическому определению; 
 - научить применять теоремы сложения и умножения вероятностей для 
решения задач; 
 - продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач  с 
применением классического определения вероятности для непосредственного 
подсчета вероятностей явлений; 
 - прививать интерес к математике, используя исторический материал; 
 - воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство 
ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом 
решения и оформления упражнений.  
 
 Обеспечение : компьютер, мультимедийная доска 
 
Мотивация  познавательной деятельности школьников.  
 Преподаватель сообщает, что возникновение теории вероятностей относится к 
середине XVII в. и связанно с исследованием Б. Паскаля, П. Ферма и 
Х.Гюйгенса (1629-1695) . Крупный шаг в развитии теории вероятности связан с 
работами  Я.Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство 
одного из важнейших положений теории вероятностей - законом больших 
чисел . Следующий этап в развитии теории связан с именами А.Муавра (1667-
1754) , К. Гаусса , П. Лапласа (1749-1827) , С.Пуассона (1781-1840). Среди 
ученых Петербургской школой следует назвать имена А.М. Ляпунова (1857-
1918) и А.А Маркова (1856-1922) . После работ этих математиков во всем мире 
теорию вероятностей стали называть ―Русской наукой‖. В средине 20-х годов 
А.Я. Хинчин (1894-1959) и А.Н. Колмогорова создали Московскую школу 
теории вероятностей. Вклад акад. А.Н.Колмогоров – лауреата Ленинской 
премии , международной премии им . Б. Больцано, члена ряда зарубежных 
академиков – в современную математику огромен. Заслуга А.Н.Колмогорова 
состоит не только в разработке новых научных теорий, но и еще в большей 
степени в том, что он воспитал целую плеяду талантливых ученых (акад. АН 
УССР Б.В. Гнеденко , акад. Ю.В. Прохоров , Б.А. Севастьянов и др.). 
 Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности 
случайных величин,- за последнее десятилетие превратилась в один из 
основных методов современных науки и техники. Бурное развитие теории 
автоматического регулирования привело к необходимости решать 
многочисленные вопросы, связанные с выяснением возможного хода 
процессов, на которые влияют случайные факторы. Теория вероятностей 
необходима широкому кругу специалистов – физикам, биологам, врача, 
экономистам, инженерам, военным, организаторам производства и т.д.  

222 
 
 
Ход занятия. 
 
I. Организационный момент. 
 
II. Проверка домашнего задания 
Провести фронтальный опрос в виде ответов на вопросы: 
Что такое комбинаторика? 
Какие задачи называются комбинаторными? 
Назовите основные понятия комбинаторики. 
Что такое размещения, перестановки, сочетания? 
Что называется выборкой объема k? Какие выборки считают различными? 
Дайте определение символа n!. 
Какие формулы существуют для нахождения числа размещений, числа 
перестановок, числа сочетаний? 
Какими свойствами обладают числа ? 
 
Проверить решение упражнений: 
Вычислить:   
Найти число размещений из 10 элементов по 4. 
Решить уравнение:  
Решить задачу:  
Сколькими способами можно составить список из 10 человек? 
Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в 
каждой? 
30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было 
роздано фотокарточек? 
 
III. Изучение нового материала. 
 В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой читаем: «Вероятность – 
возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь». Мы часто 
употребляем в повседневной жизни «вероятно», «вероятнее», «невероятно», 
вовсе не имея в виду конкретные количественные оценки этой возможности 
исполнения. 
 Основатель современной теории вероятностей А.Н. Колмогоров писал о 
вероятности так: «Вероятность математическая – это числовая характеристика 
степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или 
иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз 
условиях». 
 Итак, в математике вероятность измеряется числом. Совсем скоро мы 
выясним, как именно это можно сделать. Но начнем мы с обсуждения того, у 
каких событий бывает «математическая вероятность» и что представляют 
собой эти «определенные, могущие повторяться неограниченное число раз 

223 
 
условия». Именно поэтому рассмотрим случайные события и случайные 
эксперименты. 
 Нужно сказать, что теория вероятностей, как никакая другая область 
математики, полна противоречий и парадоксов. Объяснение этому очень 
простое – она слишком тесно связана с реальной, окружающей нас 
действительностью. Долгое время ее вместе с математической статистикой 
даже не хотели причислять к математическим дисциплинам, считая их сугубо 
прикладными науками. 
 Только в первой половине прошлого века, в основном благодаря трудам 
нашего великого соотечественника А.Н. Колмогорова, имя которого уже 
упоминалось выше, были построены математические основания теории 
вероятностей, которые позволили отделить собственно науку от ее 
приложений. Подход, предложенный Колмогоровым, теперь принято называть 
аксиоматическим, поскольку вероятность в нем (а точнее, вероятностное 
пространство) определяется как некая математическая структура, 
удовлетворяющая определенной системе аксиом. 
 Именно на этом подходе построен современный вузовский курс теории 
вероятностей, через который прошли в свое время все нынешние учителя 
математики. Однако в школе такой подход к изучению вероятности (да и 
математики в целом) вряд ли разумен. Если в вузе основной акцент делается на 
изучении математического аппарата для исследования вероятностных моделей, 
то в школе ученик должен научиться эти модели строить, анализировать, 
проверять их адекватность реальным ситуациям. Такую точку зрения разделяют 
сегодня большинство ученых, занимающихся проблемами школьного 
математического образования 
 В современных школьных учебниках можно найти следующее определение: 
событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может 
как произойти, так и не произойти. Случайным будет, например, событие «При 
подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков». 
 В приведенном определении неявно подразумевается одно важное требование, 
которое необходимо подчеркнуть: мы должны иметь возможность 
неоднократно воспроизводить одни и те же условия, в которых наблюдается 
данное событие (например, подбрасывать кубик),- иначе невозможно судить о 
его случайности. 
 Стало быть, говоря о любом случайном событии, мы всегда имеем в виду 
наличие определенных условий, без которых об этом событии вообще не имеет 
смысла говорить. Этот комплекс условий называют случайным опытом или 
случайным экспериментом. 
 В дальнейшем мы будем называть случайным любое событие, связанное со 

жүктеу/скачать 14,64 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: