16. арифметическая прогрессия
161
Из определения арифметической прогрессии (a
n
) следует:
a
2
= a
1
+ d;
a
3
= a
2
+ d = (a
1
+ d) + d = a
1
+ d
æ2;
a
4
= a
3
+ d = (a
1
+ d
æ2) + d = a
1
+ d
æ3;
a
5
= a
4
+ d = (a
1
+ d
æ3) + d = a
1
+ d
æ4.
Эти примеры помогают заметить такую закономерность: чтобы
найти некоторый член арифметической прогрессии, можно к перво-
му члену прибавить произведение разности d и числа, на 1 мень-
шего, чем номер искомого члена. Отсюда, например, a
a
d
6
1
5
=
+
æ
,
a
a
d
7
1
6
=
+
æ
, и вообще
a
n
=
a
1
+
d (n – 1)
Записанное равенство называют формулой
n-го члена арифме-
тической прогрессии.
Установим важное свойство членов арифметической прогрес-
сии (a
n
).
Имеем:
a
2
– a
1
= a
3
– a
2
, отсюда 2a
2
= a
1
+ a
3
; a
a
a
2
1
3
2
=
+
.
a
3
– a
2
= a
4
– a
3
, отсюда 2a
3
= a
2
+ a
4
; a
a
a
3
2
4
2
=
+
.
Вообще, для любого натурального n, большего 1, можно запи-
сать: a
n
– a
n – 1
= a
n + 1
– a
n
, откуда
a
n
a
a
n
n
=
+
+
_ 1
1
2
Любой член арифметической прогрессии, кроме первого (и по-
следнего, если прогрессия конечна), равен среднему арифмети-
ческому двух соседних с ним членов.
П р и м е р
Докажите, что последовательность (a
n
), заданная фор-
мулой n-го члена a
n
= 9n – 2, является арифметической прогрессией.
Р е ш е н и е. Рассмотрим разность двух произвольных последова-
тельных членов последовательности:
a
n + 1
– a
n
= 9 (n + 1) – 2 – (9n – 2) = 9n + 9 – 2 – 9n + 2 = 9.
Следовательно, при любом натуральном n выполняется равенство
a
n + 1
= a
n
+ 9, то есть каждый член данной последовательности, начи-
ная со второго, равен предыдущему члену, к которому прибавлено
одно и то же число 9. Таким образом, данная последовательность
является арифметической прогрессией.
◄
§ 3. ЧислОВые ПОследОВательНОсти
162
1. Какую последовательность называют арифметической прогрессией?
2. Какое число называют разностью арифметической прогрессии? Как
обозначают это число?
3. Что надо указать, чтобы задать арифметическую прогрессию?
4. Как можно задать арифметическую прогрессию рекуррентно?
5. Какой вид имеет формула
n
-го члена арифметической прогрессии?
6. Как связаны между собой любой член арифметической прогрессии
и соседние с ним члены?
Упражнения
16.1.°
Среди данных последовательностей укажите арифметические
прогрессии:
1) 3, –6, 12, –24; 3) 5, 10, 5, 10;
5) –5, –3, –1, 1;
2) 4, 8, 12, 16;
4) 42, 39, 36, 33;
6) 1,2; 1,3; 1,5; 1,6.
16.2.°
Является ли арифметической прогрессией последовательность
(в случае утвердительного ответа укажите разность прогрессии):
1) 24, 22, 20, 18;
2) 16, 17, 19, 23;
3) –3, 2, 7, 12?
16.3.° Найдите четыре первых члена арифметической прогрессии,
первый член которой равен 1,2, а разность равна –0,3.
16.4.°
Первый член арифметической прогрессии равен –7,4, а раз-
ность равна 1,8. Найдите пять первых членов прогрессии.
16.5.° Первый член арифметической прогрессии (a
n
) равен 4, а раз-
ность равна 0,4. Найдите:
1) a
3
;
2) a
11
;
3) a
32
.
16.6.°
Первый член арифметической прогрессии (a
n
) равен 17, а раз-
ность равна –2. Найдите:
1) a
4
;
2) a
15
;
3) a
60
.
16.7.° Найдите разность и двести первый член арифметической
прогрессии 2,6; 2,9; 3,2; ... .
16.8.°
Чему равна разность арифметической прогрессии (a
n
), если
a
6
= –2, a
7
= 6?
16.9.°
Найдите разность арифметической прогрессии (a
n
), если
a
8
= 3, a
9
= –12.
16.10.° Найдите разность арифметической прогрессии (x
n
), если
x
1
= 2, x
8
= –47.
16.11.°
Найдите первый член арифметической прогрессии (y
n
), если
y
17
= 22, а разность прогрессии d = 0,5.
16. арифметическая прогрессия
163
16.12.
•
Найдите формулу n-го члена арифметической прогрессии:
1) –5, –7, –9, –11, ...;
3) a
2
, 2a
2
, 3a
2
, 4a
2
, ...;
2) 2, 2
1
6
, 2
1
3
, 2
1
2
, ...;
4) a + 3, a + 1, a – 1, a – 3, ... .
16.13.
•
Является ли членом арифметической прогрессии (c
n
):
1) число 20,4, если c
1
= 11,4, а разность прогрессии d = 0,6;
2) число 38, если c
1
= 8, а разность прогрессии d = 1,4?
В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.
16.14.
•
Найдите номер члена арифметической прогрессии 8,1; 8,5;
8,9; 9,3; ..., равного 13,7.
16.15.
•
Найдите второй член арифметической прогрессии, если
первый и третий члены равны соответственно –6 и 12.
16.16.
•
Восьмой и десятый члены арифметической прогрессии равны
соответственно 3,5 и 2,7. Чему равен девятый член прогрессии?
16.17.
•
Найдите первый член арифметической прогрессии (b
n
), если
b
5
= 11, b
11
= –7.
16.18.
•
Чему равна разность арифметической прогрессии (x
n
), если
x
8
= 58, x
15
= 16?
16.19.
•
Как изменится разность конечной арифметической прогрес-
сии, если переставить ее члены в обратном порядке?
16.20.
•
Сколько положительных членов содержит арифметическая
прогрессия 5,2; 4,9; 4,6; ...?
16.21.
•
Какой номер имеет первый положительный член арифме-
тической прогрессии –10,2; –9,5; –8,8; ...?
16.22.
•
Найдите первый отрицательный член арифметической про-
грессии 7,2; 6,6; 6; ... .
16.23.
•
Между числами –6 и 3 вставьте пять таких чисел, чтобы
они вместе с данными числами образовали арифметическую
прогрессию.
16.24.
•
Какие четыре числа надо вставить между числами 4 и –5,
чтобы они вместе с данными числами образовали арифметиче-
скую прогрессию?
16.25.
•
Найдите первый член и разность арифметической прогрес-
сии (a
n
), если:
1) a
3
+ a
7
= 30 и a
6
+ a
16
= 60;
2) a
4
+ a
10
= 36 и a a
5
11
340
æ
=
.
|
