Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

§ 3.  ЧислОВые ПОследОВательНОсти
166
16.46.
  Какое  из  данных  неравенств  равносильно  неравенству 
–5x < 10:
1) 5x < –10; 
2) 10x > –20; 
3) 10x < –20; 
4) 5x > 10?
16.47. Чему равно наименьшее целое решение неравенства
3 (x – 1)
2
 – 3x (x – 5) > –40?
16.48. Упростите выражение:
1)  2 6 2 54 6 96 2 3
−
+
(
)
æ
;   2)  5 20 6 10 2 40 3 5
−
+
(
)
æ
.
16.49. Докажите, что если все цифры трехзначного числа одинако-
вы, то это число кратно 37.
16.50. Рабочий должен был за определенный срок изготовить 216 де-
талей. Первые три дня он выполнял установленную ежедневную 
норму, а потом стал изготавливать ежедневно на 8 деталей сверх 
нормы. За один день до конца срока было изготовлено 232 дета-
ли. Сколько деталей в день должен был изготавливать рабочий 
в соответствии с нормой?
16.51. (Задача Безу
1
) Некто купил коня и через некоторое время 
продал  его  за  24  пистоля.  При  продаже  он  потерял  столько 
процентов,  сколько  стоил  ему  конь.  Спрашивается:  за  какую 
сумму он купил коня?
16.52. Внедрение новых технологий позволило уменьшить время 
на изготовление одной детали с 12 мин до 10 мин. На сколько 
процентов будет выполняться при этом план, если норму вре-
мени не изменят?
  17.
  сумма 
n
 первых членов 
арифметической прогрессии
Рассмотрим  конечную  арифметическую  прогрессию  a
1
,  a
2
,  a
3
, 
..., a
n–2
, a
n–1
, a
n
.
Сумму членов этой прогрессии обозначим S
n
.
Имеем:
 
S
n
 = a
1
 + a
2
 + a
3
 + ... + a
n–2
 + a
n–1
 + a
n
. 
(*)
Выведем формулу для нахождения этой суммы.
1
  Безуˊ  Этьен (1730–1783) — французский математик, основные ра-
боты которого лежат в области высшей алгебры. Преподавал математику 
в  училище  гардемаринов,  Королевском  артиллерийском  корпусе.  Автор 
шеститомного труда «Курс математики».

167
17.  сумма 
n
 первых членов арифметической прогрессии
Вначале рассмотрим задачу, решение которой подскажет, как 
вывести искомую формулу.
Рассмотрим арифметическую прогрессию
1, 2, 3, ..., 98, 99, 100
и найдем сумму ее членов.
Запишем искомую сумму двумя способами и сложим получен-
ные равенства:
+
S
100
 =
1
+
2
+
3
+ ... + 98 + 99 + 100
S
100
 = 100 +
99
+ 98 + ... +
3
+
2
+
1
2S
100
 = 101 + 101 + 101 +
...
+ 101 + 101 + 101





100 слагаемых
Имеем:  2
101 100
100
S
=
æ
;  S
100
 = 5050.
Рассказывают,  что  выдающийся  немецкий  математик  Карл 
Фридрих Гаусс придумал такое решение в возрасте 5 лет.
Воспользуемся описанным приемом для нахождения суммы (*).
Запишем сумму S
n
 двумя способами. Вначале запишем сумму, 
первое слагаемое которой равно a
1
, а каждое следующее слагаемое 
получено из предыдущего прибавлением разности d. Затем запишем 
сумму,  первое  слагаемое  которой  равно  a
n
,  а  каждое  следующее 
слагаемое получено из предыдущего вычитанием разности d. Имеем:
S
n
 = a
1
 + (a
1
 + d) + (a
1
 + 2d) + ... + (a
1
 + (n – 2) d) + (a
1
 + (n – 1) d),
S
n
 = a
n
 + (a
n
 – d) + (a
n
 – 2d) + ... + (a
n
 – (n – 2) d) + (a
n
 – (n – 1) d).
Сложив эти равенства, получим:
2S
n
 = (a
1
 + a
n
) + (a
1
 + a
n
) + ... + (a
1
 + a
n
) + (a
1
 + a
n
).
Выражение, записанное в правой части 
последнего равенства, является суммой n 
слагаемых, каждое из которых равно a
1
 + a
n
.
Тогда 2S
n
 = (a
1
 + a
n
) n, то есть
S
n
a
a
n
n
=
+
1
2
æ
Полученное равенство называют форму-
лой суммы 
n первых членов арифметиче-
ской прогрессии.
Подставив в эту формулу вместо a
n
 вы-
ражение a
1
 + d (n – 1), получим:
S
n
n
a
a
d n
=
+
+
−
1
1
1
2
(
)
.
æ
Карл Фридрих Гаусс
(1777–1855)

§ 3.  ЧислОВые ПОследОВательНОсти
168
Отсюда
S
n
n
a
d n
=
+
−
2
1
2
1
(
)
æ
Последней формулой удобно пользоваться тогда, когда заданы 
первый член и разность прогрессии.
П р и м е р     1   
  Найдите  сумму  всех  трехзначных  чисел,  крат-
ных 6.
Р е ш е н и е.  Данные  числа  образуют  арифметическую  про-
грессию,  первый  член  которой  a
1
 = 102,  а  разность  d = 6.  Тогда 
a
n
 = 102 + 6 (n – 1) = 6n + 96. Найдем количество членов этой прогрес-
сии. Поскольку a
n
 < 1000, то искомое количество — это наибольшее 
натуральное решение неравенства 6n + 96 < 1000. Имеем:
6n < 904;
n
< 150
2
3
.
Следовательно, n = 150. Теперь найдем искомую сумму:
S
150
2 102 6 150 1
2
150 82 350
=
=
+
−
æ
æ
æ
(
)
.
О т в е т: 82 350. 
◄
П р и м е р     2   
  Сумма  семидесяти  пяти  первых  членов  арифме-
тической прогрессии равна 450. Найдите тридцать восьмой член 
прогрессии.
Р е ш е н и е. Пусть первый член прогрессии и ее разность равны 
a
1
 и d соответственно. Тогда можно записать:
S
a
d
a
d
75
1
1
2
74
2
75 75
37
450
=
=
+
=
+
æ
(
)
.
Поскольку a
38
 = a
1
 + 37d, то искомый член равен 
a
38
 = 450 : 75 = 6.
О т в е т: 6. 
◄
1.  Как найти сумму 
n
 первых членов арифметической прогрессии, если 
известны ее первый и последний члены?
2.  Как найти сумму 
n
 первых членов арифметической прогрессии, если 
известны ее первый член и разность?

169
17.  сумма 
n
 первых членов арифметической прогрессии
Упражнения
17.1.° Чему равна сумма семи первых членов арифметической про-
грессии (a
n
), если a
1
 = 9 и a
7
 = 15?
17.2.°
  Чему  равна  сумма  шести  первых  членов  арифметической 
прогрессии (b
n
), если b
1
 = 19 и b
6
 = 14?
17.3.° Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической 
прогрессии, у которой a
1
 = –6 и d = 4.
17.4.°
 Вычислите сумму двадцати первых членов арифметической 
прогрессии –8, –6, –4, ... .
17.5.° Места в секторе цирка расположены так, что в первом ряду 
6 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в преды-
д ущем. Сколько мест в секторе, если в нем 16 рядов?
17.6.°
 Дмитрий взял в библиотеке книгу. За первый день он прочи-
тал 40 страниц, а за каждый следующий день читал на 10 стра-
ниц больше, чем за предыдущий. Сколько страниц в книге, если 
Дмитрий прочитал ее за 7 дней?
17.7.° Арифметическая прогрессия (a
n
) задана формулой n-го члена 
a
n
 = –4n + 1. Найдите сумму тридцати двух первых членов про-
грессии.
17.8.°
 Арифметическая прогрессия (c
n
) задана формулой n-го члена 
c
n
 = 5n – 2. Найдите сумму двадцати шести первых членов про-
грессии.
17.9.
•
 Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической 
прогрессии (a
n
), если:
1) a
1
 = 6, a
9
 = 22; 
2) a
6
 = 49, a
20
 = 7.
17.10.
•
 Чему равна сумма сорока первых членов арифметической 
прогрессии (x
n
), если x
8
 = –14, x
30
 = –3?
17.11.
•
 Сколько ударов сделают часы в течение суток, если они от-
бивают только количество целых часов от 1 до 12?
17.12.
•
 Найдите сумму двадцати пяти первых членов арифметиче-
ской прогрессии (a
n
), если a
10
 = 44, а разность прогрессии d = 4.
17.13.
•
  Найдите  сумму  двадцати  первых  членов  арифметической 
прогрессии (a
n
), если a
6
 + a
8
 – a
14
 = –17 и a
5
 + a
22
 = 101.
17.14.
•
  Найдите  сумму  тридцати  трех  первых  членов  арифмети-
ческой прогрессии (a
n
), если a
3
 + a
5
 + a
13
 = 33  и  a
15
 – a
8
 – a
10
 = –1.

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: