Дифференциальные уравнения высшего порядка

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 16

Байланысты:
Диф. уравнения высшего порядка

3.1. Основные теоремы

Совокупность линейно независимых решений дифференциального

уравнения -го порядка (1) называется фундаментальной системой решений

этого уравнения.

Определитель Вронского (или внонскиан) определяется формулой

Теорема 1. Если определитель Вронского

отличен от нуля хотя

бы в одной точке промежутка

, то функции

линейно

независимы на этом промежутке.

Доказательство. Составим уравнение (6) и продифференцируем его (n-1) раз. В

результате получим однородную алгебраическую систему n линейных

уравнений относительно n неизвестных

По теореме Крамера эта система совместна и имеет единственное решение,

определителем является определитель Вронского

, который по условиям

теоремы отличен от нуля. Следовательно, существует только тривиальное

решение этой системы.

Пример 1. Функции

являются линейно независимыми,

поскольку определитель Вронского отличен от нуля:

Пример 2. Функции

являются линейно независимыми, если

множество

не содержит совпадающих друг с другом чисел.

Действительно, составим определитель Вронского и вынесем общие

множители в столбцах:

Определитель в правой части этого уравнения известен под именем

“определитель Вандермонда”, который равен произведению ненулевых

множителей:

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 16