большим, чем p i. А так как расстояние между соседкимнэлемрн- тами при п > N (е) меньше 2е, то среди натуральных чисел п, для которых pi < » < qi+. существует хотя бы одно такое число гд, что элемент х г, принадлежит «-окресТнбЙп£ ЙЙЙг а. Далее, существует элемент хР2 с индексом рг большим, чем q i , Я такой, что kpf llJilUHih лежит «-окрестности точки 1. Следовательно, среди номеров п; для которых < » < *fa, найдется такой номер гг, что элемент х Г2 принадлежит е-окрестаости точки ОЦ П р о д а * » этот процесс до бесконечности, убеждаемся в существовании бесконечного числа элементов последовательности (х г„ ), принадлежащих «-окрестности точки а. бледовательНй-;^1^ дельная точка, а так как а — произвольная точка интервала ](, L[ то требуемое утверждение доказано. ► 1 1 1 . Пусть числовая последовательность (х п) удовлетворяет условию 0 &т -f- х„, т, п € N. Доказать, что lim — существует. , :Г П—
►
СО п '1' 4 •
◄
Имеем 0
^
х п ^ xi + xi + . .. + XI = nxi,
0
^
^ xi, п = 2
, 3, . . . ,
X 3 -.1 I
следовательно, последовательность ( ^ f ) ограничена и существует конечнаЯ^т<ЛЙ£#;ШЙа1(Ш^ грань а — inf { — }. Пусть е > 0 — произвольное, тогда существует' такой номер- « < - * • » ✓
n , J . «
V. -V- -Т -Ю .» ^ . “ ГЯЯОДЭВООВ
^ m ^ “ "г
2
'
It
