§ 6. Предел последовательности

66
90. Пусть матричные последовательности (Ап) и (В п), где А п = (а;7^)> 
— ( ^ ^ ) i и
векторная последовательность (хп), где х п — (xi„, хгп, ■ ■
 ■, x qn), сходятся, причем
Гл. 1. Введение в анализ
lim А„ = A, 
lim В„ = В, 
lim х п = х,
П—
►
ОО 
П—
►
ОО 
П-+ОС
а матрицы С = (с<,■), G = (gik) и вектор у = (уи у2, ■■■, Уч), « = 1, р, j  = 1, Я, к = 1, г — 
постоянные.
Доказать, что:
a) lim А„В„ — АВ;
и —»оо
г) lim АпХп — Ах\
п - » о о
б) lim С Вп = СВ;
П—
+00
д) lim Л„у = Ау.
п—
+оо
в) lim A nG = AG;
n—
* 
00
§ 7. Предел функции
7.1. Предельная точка множества. Предел функции в точке.
О пределение 1. Пусть X  С К. Число хо € R называется предельной тонкой множе­
ства X , если
Ve > 0 З у  6 X, у ф то : \у — хо| < е.
Из определения следует, что любая окрестность точки хо содержит точку из множества 
X ,  отличную от хо. Сама точка хо может принадлежать, а может и не принадлежать мно­
жеству 
X .
О п ред елен и е 2. Значение +оо есть предельная точка множества X , если VM 6 
R Зу G X  : у > М .
Значение — оо есть предельная точка множества X , если
VM £ ^ 3 у £ X ■
. у < М .
Определение 
3. Точка х £ X , не являющаяся предельной точкой множества X , назы­
вается изолированной точкой множества X , т. е.
3S > 0 : S(x, 6 ) П Х = {х}.
О пределение 4. Число х0 £ К называется предельной точкой множества X  С R, 
если из этого множества можно выделить последовательность (хп) различных точек, схо­
дящуюся к хо.
Определения 1 и 4 эквивалентны.
Пусть / : X  —►
R и хо — предельная точка множества X.
О пределение 5 (Гейне). Функция f имеет предельное значение при х -+ хо (или в 
точке Хо), если существует такое число А £ R, что для произвольной последовательности 
(хп) значений х £ (]а, Ь[\{жо}), сходящейся к точке хо, соответствующая последователь­
ность значений функции (/(х„)) сходится к точке А.
О пределение 6 (Коши). Функция / имеет предел при х —+ хо, если
ЗА £ l R A V e > 0 3 6 > 0 : 0 < | x — хо ( < 6 ^  |/(х ) — А\ < е.
При этом число А называем пределом (или предельным значением) функции / в точке хо 
и записываем
lim f( x ) = А или /(х ) —+ А при х —* хо-
I —
10
Определения Гейне и Коши эквивалентны.
Введем понятие одностороннего предела.
Определение 7 (Гейне). Функция f имеет в точке хо предел слева (справа), если 
существует такое число А £ R, что для произвольной последовательности (хп) значе­
ний х, а < х п < хо (хо < хп < Ь), сходящейся к точке хо при п —*■
оо, соответствующая 
последовательность (/ ( х п)) значений функции f сходится к точке А.
О пределение 8 (Коши). Функция / имеет в точке хо предел слева (справа), если
3 A 6 R A V e > 0 3 ^ > 0 : 0 < x o — х < £ (0 < х — Хо < 6) => |/(х ) — А] < в.

67
Число А называем пределом слева ( справа) функции / в точке хо и обозначаем 
/(жо - 0) 
(/(жо + 0)) 
или 
lim f( x )
(  lim f i x )
x
-+
xq
—0 
ул—
*«0+0
Функция / имеет предел в точке хо тогда и только тогда, когда в этой точке существуют' 
и равные между собой пределы слева и справа.
Теорема (критерий Коши). Функция / имеет конечный предел в точке'хо тогда и 
только тогда, когда
V® > 0 3 5 > 0 : (0 < |ж — жо| < & Л 0 < |у — жо| < &) => |/(х ) — f(v)\ < «•
Особую роль играют два замечательных предела:
1) lim S*~ Д = 1; 
2) l i m ( l + x ) * = e .
*_0 
X
*-*0
Если lim f ( x ) = A, lim g(x) — В, то 
*-.*0 
*-»*0
§ 7. Предел функции
lim {f{x) + g{x)) * А + В\ lim f(x ) g (x ) = AB\ lim 
^ (у,(®) / 0, 5 / 0).
a»-*«o 
x
^
xq
 
x
-*
xq
g{x) 
о
7.2. Ограниченность функции.
Функция / : X —> К, X  С К, называется ограниченной на множестве X ,  если существуют 
числа т и М такие, что т ^ /(ж) ^ М , х 6 X .
Число mo = inf {/(ж)} называется точной нижней гранью функции / , а число Мо — 
хех
sup {/(ж)} — точной верхней гранью функции / на множестве М . Разность Afo — г»о наэы- 
*ех
вается колебанием функции / на множестве X .
Е
сли
функция 
/ : 
X  
—► R
имеет конечный предел в точке х0 
&
X , то она ограничена в 
некоторой окрестности этой точки.
7.3. Символы Ландау. Эквивалентные функции.
Пусть io € Й, а В = {X, У, Z, . . .} — семейство всех интервалов пространства R, которые 
либо все содержат точку ®о как внутреннюю, либо все они имеют точку хо своим концом 
только левым или только правым для всех интервалов множества В . Тогда 'iX  £ В  Л УУ € 
B = > x n Y & B , x e B A Z c X ^ z e B .
Пусть Т  = {/, g, h, ...} — семейство числовых функций, обладающих одним из следую­
щих свойств: 
'
1) для произвольной функции / S Т  в множестве В существует содержащий точку хо 
интервал X , на котором функция / определена, кроме, быть может, самой точкй хо;
2) для произвольной функции / 6 Т  в множестве В  существует интервал, имеющий своим 
концом точку хо, на котором / определена.
О п ред ел ен и е 1. Если lim /(ж) = 0, то функция f называется бесконечно малой при
X — XQ
х -+ хо,- если lim /(ж) = оо, то функция f называется бесконечно большой при ж ■«* ®о.
x-tx0
О пределение 2. Если для функций / , g € Т , f : X —>
■
R, g : У —» R, существует 
интервал Z С X Г\ Y Е В, X & В, Y & В , и такое 
конечное 
число А > 0, 
ч т о
V® € Z, 
кроме, быть может, самой точки ®о, выполняется неравенство
lff(*)l < Л!/(г)1,
то записываем
9 = 0 ( / )
при х —* хо. При этом функции f u g называем функциями одного порядка при х —►
ato- 
Если Ve > 0 3Z С 
П У € В такое, что Vx € Z кроме, быть может, самой точки га, 
выполняется неравенство
то записываем
9 = o( f )

68
Г л. 1. Введение в анализ
при х —* хо. При этом в случае д(х) —*• 0, f ( x )  —> 0 при х —►
хо считаем, что функция д есть 
бесконечно малая более высокого порядка, чем / ; если же д(х) —►
оо, /(х ) —►
оо при х —►
Х о ,  
то считаем, что бесконечно большая функция д имеет порядок роста ниже, чем / .
Если существует интервал Z € В такой, что Vx 6 Z\{xo} /(х ) ф 0, то запись д — 0 ( / )
означает, что отношение 
ограничено при х G Z\{xo}, а запись д = о ( /) , что 
-+ О 
при х -* хо-
Символы О и о называются символами Ландау,
О п ред елен и е 3. Функции g и f называются эквивалентными, если f — g = o(g), т. е. 
если Ve > 0 3Z G В такое, что Vx € Z\{xo) выполняется неравенство
|/(х ) - if(x)| < e|j(x)|.
При этом записываем f ~ д, а равенство / = д + о (д) называем асимптотическим 
равенством.
Пусть f , g € f  и д{х) > 0 Vx 6 У 6 В, тогда
f ~ д 
lim
х —*аг0
/(* ) 
_
, 
*(*)
Справедливы асимптотические равенства
sinx = x +
o (x ), 
tg x = x + o(x) при г - * 0 .
7.4. Частичные пределы.
Если для некоторой последовательности (хп) значений аргумента функции / , сходящейся 
к хо, справедливо равенство lim / ( х п) = А, то число А  называется частичным пределом
П—
*00
функции / в 
точке Хо. 
Наибольший и наименьший частичные пределы обозначаем через 
lim /(х ) и lim f ( x )  и называем соответственно верхним и нижним пределами функции f  в
х —*
xq
точке хо.
Очевидно, 
____
Э lim /( х )
lim /(х ) = lim f(x).
х
—*
x q
х —
*а<о 
x
—+
xq
7.5. Предел функции комплексной переменной.

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: