Теория и методика обучения математике

их четности или нечетности, а третьего случая не может 
быть. Н а плоскости прям ы е либо пересекаю тся, либо не 
пересекаю тся; треугольник можно различи ть по прямому 
углу: прямоугольный треугольник или не прямоугольный.
З ак о н достаточного о сн ован и я о зн ач ает, что и сти н ­
ность к аж д о го утверж д ен н ого у м о зак л ю ч ен и я д о л ж н а 
быть обоснованной. Обоснование — это убеж денность в 
правильности отраж ения объективной действительности.
Достаточное обоснование, во-вторых, опираясь на ранее 
доказанны е утверж дения, делает вывод об истинности но­
вого ум озаклю чения.
П рям ы е ум озаклю чения в ш кольном курсе математики 
использую тся для получения п рям ы х, обратных, противо­
п олож ны х теорем и обратных к противополож ны м теоре­
мам.
Н априм ер, необходимо определить, делится ли число 
37 845 на 9. Д ля этого вспомним свойство делимости н а­
турального числа на 9. “Если сумма циф р натурального 
числа будет кратной числу 9, то оно делится на 9, сумма 
цифр числа 37 845 составляет число 27, кратное 9, следова­
тельно, это число делится на 9”. Умозаключение, сделанное 
на основе такого вида суж дения, назы вается дедукт ивны м  
ум озаклю чением.
В процессе дедуктивного ум озаклю чения конкретны е 
ф ак ты п о д во д ятся под общ ие п р а в и л а , от этих общ их 
правил выводится заклю чение относительно конкретны х 
ф а к то в . Лю бое д ед у к ти в н о е у м о зак л ю ч ен и е я в л я е т с я
следствием, по меньшей мере, двух утверждений. Если при 
дедуктивном умозаклю чении посы лки будут достоверны­
ми, соблюдаться логические правила, то следствие будет 
п р ави л ьн ы м . С труктура дедуктивного ум озаклю чен и я, 
обязательность соблюдения логических правил и необходи­
мость, подталкиваю щ ая к выводу заклю чений с опорой на 
посы лки, зависят от рода, его видов и особенностей между 
предметами и явлениям и реальной действительности, от­
нош ения общего к частному.
Все свойства, п р и зн ак и и ли особенности, п ри н адле­
ж ащ и е каком у-либо родовому понятию , являю тся п ри ­
сущ ими всем видовым отличиям и каж дом у из них, при­
н ад л еж ащ и х этому родовому поняти ю . Н априм ер, все
132

свойства п он яти я п араллелограм м  являю тся присущ ими 
его виду — прям оугольнику. Следовательно, приведение 
отдельных и частны х случаев к общему составляю т основу 
дедуктивного ум озаклю чения.
5.3. Структура и виды д оказательства.
Обучение доказательству
В своей п р а к ти ч е с к о й ж и з н и лю ди д е л я т с я м еж д у
собой м нениям и об окруж аю щ ей действительности и сооб­
щают об увиденном друг другу. К аж ды й человек, вы сказы ­
вая свое мнение по какому-либо вопросу относительно про­
изводства или ж и зн и , старается довести его убедительно, 
доказы вая свое понимание вопроса. Умение обосновывать 
свои суж дения, ум озаклю чения и приводить д оказатель­
ства явл яется главны м свойством м ы ш ления человека.
В еликий ученый восточного аристотелизма аль-Ф араби 
(870—950 гг.) в ком м ентарии трудов А ристотеля у к азал , 
что доказательство явл яется основой логики.
Одна из основных задач л о ги к и состоит в п ри дан и и
точного значения понятию доказательства.
Доказательство явл яется объектом логики и описы ва­
ется к ак процедура обоснования некоторого утверж дения 
путем приведения тех истинны х утверж дений (предпосы­
лок), из которы х оно логически следует.
Т акие предпосы лки (результаты или утверж дения, по­
н яти я, истинность которы х не вы зы вает н и к ак и х сомне­
ний, накоплены человечеством в его повседневной ж и зн и
ты сячелети ям и . П редпосы лки д оказательства в разн ы х 
науках разны е. В м атем атике к таки м предпосы лкам от­
носятся аксиом ы . Д оказательство явл яется ядром м ате­
матического метода. А образцом доказательства, которому 
в той или иной мере стрем ятся следовать во всех н ауках, 
является математическое доказательство.
Таким образом, доказат ельст во — совокупность логи ­
ческих приемов по обоснованию истинности какого-либо 
утверж дения с помощью других истинны х и связан ны х с 
рассматриваемым суж дением. Структура любого до к аза­
тельства состоит из трех частей:
133

1) тезис (суждение, истинность которого надо доказать);
2) аргум енты (истинные суж дения, используемы е при 
доказательстве тезиса);
3) д ем о н стр ац и я, или форма д о к азател ьства (способ 
логической связи м еж ду тезисом и аргументами).
В качестве аргументов выступают:
• удостоверенны е единичны е ф акты (статистические 
данны е, свидетельские п о к азан и я, результаты эксп ери ­
мента или наблю дения и др.), играю щ ие доказательную
роль, при анализе их в совокупности, относящ ейся к рас­
см атриваемому вопросу;
• о п р ед ел ен и е п о н я т и й , к о то р ы е д аю тся в к а ж д о й
науке;
• аксиомы (суж дения, которые принимаю тся в качестве 
аргументов без доказательства) и постулаты (суж дения, 
п р и н и м аем ы е в р а м к а х как о й -л и б о н аучн ой теории за 
истинны е, хотя и недоказуемые ее средствами и поэтому 
играю щ ие в ней роль аксиом);
• законы науки (необходимые, сущ ественные, устойчи­
вые, повторяю щ иеся отнош ения, связи между явлениям и) 
и теоремы.
П ри доказательстве необходимо соблюдать следующие 
правила доказательного рассуж дения:
1) тезис долж ен быть логически определенным, ясны м , 
точным и оставаться тождественным на протяж ении всего 
доказательства или опроверж ения;
2) аргум енты долж н ы быть и стинны м и, не противо­
речащ им и друг другу и являться достаточным основанием 
для подтверж дения тезиса;
3) истинность аргум ентов долж н а быть д о казан а са­
мостоятельно, независимо от тезиса;
4) необходимо, чтобы тезис был заклю чением , л о ги ­
чески следую щ им из аргументов по общим правилам умо­
заклю чений, или был бы получен в соответствии с прави­
лами косвенного доказательства (т.е. доказательство долж ­
но быть полным).
Если эти п р ав и л а н аруш аю тся, то в до казател ьстве 
или опроверж ении возникаю т логические ош ибки.
Все доказательства можно разделить на прямы е и кос­
венные.
134

При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы 
поды скать таки е убедительные аргументы, из которы х, по 
логическим правилам , получается тезис.
Н апример, нуж но доказать, что сумма углов четы рех­
угольника равна 360°. Из к а к и х утверж дений можно было 
бы вы вести этот тезис? О тмечаем, что д и агон аль делит 
четы рехугольник на два треугольника. Значит, сумма его 
углов равна сумме углов двух треугольников. И звестно, 
что сумма углов тр еу го л ьн и ка составляет 180°. Из этих 
полож ений выводим, что сумма углов четы рехугольника 
равна 360°.

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: