Теория и методика обучения математике



Pdf көрінісі
бет45/88
Дата11.12.2022
өлшемі5,92 Mb.
#56422
1   ...   41   42   43   44   45   46   47   48   ...   88
Байланысты:
82781 45b9f85fc5d0cd5ac77346b82675f3ef (1)

Косвенное д оказательство у стан авл и вает сп р авед л и ­
вость тезиса тем, что вскры вает ошибочность противопо­
лож ного ему допущ ения, антитезиса.
П оскольку косвенное доказательство использует о т­
рицание доказываемого п олож ения, оно явл яется доказа­
тельством от противного.
Н апример, нуж но построить косвенное доказательство 
весьма тривиального тезиса: “Квадрат не явл яется о к р у ж ­
ностью ” . В ы двигается антитезис: “К вадрат есть о к р у ж ­
ность” . Нетрудно п оказать лож ность этого утверж дения. 
С этой целью вы водят из него следствия. Если хо тя бы 
одно из них о каж ется лож ны м , это будет означать, что и 
само утверж дение, из которого выведено следствие, так ж е 
лож но. Н еверным явл яется, в частности, такое следствие: 
“У квадрата нет углов” . П оскольку антитезис лож ен, зн а­
чит тезис долж ен быть истинны м .
В споре при умелом применении такие доказательства 
могут обладать особенной убедительностью.
В зависимости от того, к а к стремятся показать состоя­
тельность его отри ц ан и я, можно выделить несколько р а з­
новидностей косвенного доказательства.
1. 
Следст вия, противоречащие фактам. Ч ащ е всего 
лож ность антитезиса удается установить простым сопос­
тавлением вы текаю щ их из него следствий с ф актам и. Н а­
пример, врач, убеж дая пациента, что тот не болеет гри п ­
пом, рассуждает так. Если бы это действительно был грипп, 
то были бы х ар ак те р н ы е д л я него сим птом ы : головн ая 
боль, повыш енная температура и т. п. Но ничего подобного 
нет. Значит, нет и гриппа.
135


2. В н у т р е н н е противоречивые следствия. По логиче­
скому закону непротиворечивости, одно из двух противо­
р е ч а щ и х д р у г д р у гу у т в е р ж д е н и й я в л я е т с я л о ж н ы м . 
Поэтому, если в числе следствий какого-либо полож ения 
встретились и утверж дение, и отрицание (одного и того 
ж е), можно сразу ж е заклю чить, что это положение ложно.
П римером такого рассуж дения служ и т известное до­
казательство Е вклида, что ряд простых чисел бесконечен. 
П ростые — это натуральны е числа больше единицы , д ел я ­
щ иеся только на себя и на единицу. Простые числа — это 
к а к бы первичны е элементы, на которые все целые числа 
(больш е 1) могут быть р азлож ен ы . Естественно предпо­
лож и ть, что ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... — бес­
конечен. Д ля доказательства данного тезиса допустим, что 
это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущ ение. 
Если ряд просты х чисел конечен, сущ ествует последнее 
простое число р яд а — А. Образуем далее другое число: 
В = (2*3*5* ... *А) + 1. Число В  больше А, поэтому В  не 
может быть простым числом. Значит, В долж но делиться 
на простое число. Но если В разделить на любое из чисел
2, 3, 5, . ..,А , то в остатке получится 1. Следовательно, Б не 
делится ни на одно из указан н ы х простых чисел и я в л я е т­
ся, таким образом, простым. В итоге, исходя из предлож е­
ния, что существует последнее простое число, мы приш ли к 
противоречию: сущ ествует число одновременно и простое, 
и не являю щ ееся простым. Это означает, что сделанное 
предполож ение лож но, а противоположное утверж дение 
правильно: ряд простых чисел бесконечен.
В этом косвенном д о казател ьстве из ан ти тези са в ы ­
водится логическое противоречие, что прям о говорит о 
лож ности ан ти тези са и, соответственно, об истинности 
тезиса. Такого рода доказательства ш ироко использую тся 
в м атем атике.
3. И с т и н а логически вы т екает из своего собственного 
отрицания. Этот прием опирается на закон К лавия: если 
из предполож ения лож ности утверж дения вы текает его 
истинность, то утверж дение истинно. По такой схеме рас­
суж дал еще Евклид в своей “Геометрии” (117).
4.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   41   42   43   44   45   46   47   48   ...   88




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет