С.С. Сарсекеева, О.Д. Апышев, Н.Б. Алимбекова

43

 

 

3

4

y

3

2

x

 жанаманың теңдеуі болып 

3

4

x

3

4

y

 табылады. 

Берілген 

2

x

3

4

y

 тҥзуімен 

2

x

y

 парабола осы жанаманың екі жағында 

орналасқандықтан  ең  жақын  ара  қашықтық  параболада  жатқан 

3

4

;

3

2

 

нҥктесінен 

2

x

3

4

y

  тҥзуге  дейінгі  ара  қашықтыққа  тең,  яғни 

15

14

d

. 

(

0

0

y

;

x

  нҥктесінен 

b

kx

y

  тҥзуіне  дейінгі  ара  қашықтық 

2

0

0

k

1

b

kx

y

d

 

арқылы табылатыны белгілі). 

Жауабы: 

15

14

. 

Мысал 



2

. 

0

6

x

3

x

)

x

(

f

3

теңдеуінің  жалғыз  нақты  тҥбірі  бар  екенін 

дәлелдейік. 

Шешуі: 

)

x

(

f

-  ҥшінші  дәрежелі  кӛпмҥшелік  болғандықтан  бҥкіл 

)

;

(

R

- 

сан 

осінде 

ҥзіліссіз, 

дифференциалданатын 

функция 

0

)

1

x

(

3

3

x

3

)

x

(

f

2

2

R

x

.  Сол  себепті 

0

)

x

(

f

теңдеуінің  жалғыз  ғана 

тҥбірі бар, егер 

1

с

 және 

2

с

деген екі тҥбірі бар болса 

0

)

c

(

f

)

c

(

f

2

1

, онда Ролль 

теоремасы  бойынша 

1

с

  мен 

2

с

  арасынан  аргументтің 

c

x

  мәні  табылып, 

0

)

c

(

f

  теңдігі  орындалуы  тиіс,  бҧлай  болуы  мҥмкін  емес,  себебі 

0

)

x

(

f

R

x

. Ал нақты тҥбірі болуы 

)

x

(

f

- тің дәрежесінің тақ екендігінен 

шығады. 

Ескерту: 

0

)

x

(

f

  теңдеуінің  жалғыз  нақты  тҥбірінің  бар  болатындығын 

тӛмендегідей  негіздеуге  болады: 

)

x

(

f

0

)

x

(

f

,  ал 

)

x

(

f

,  егер 

x

, 

)

x

(

f

,  егер 

x

онда  ҥзіліссіз  монотонды  ӛспелі 

)

x

(

f

  функциясының 

графигі Ох – абцисса осін жалғыз нҥктеде қиып ӛтеді, яғни функцияның мәні 

нӛлге айналады, ол мән – берілген теңдеудің тҥбірі. 

Мысал 



3

.  Егер 

2

2

)

2

x

(

)

4

x

(

)

x

(

f

  болса,  онда 

)

x

(

f

  функциясының 

4

;

2

 аралығында екі нақты тҥбірі бар екенін  кӛрсетейік. 

Шешуі:  Берілген 

)

x

(

f

  кӛпмҥшелігі  тӛртінші  дәрежелі  болғандықтан, 

)

x

(

f

  -  квадрат  ҥшмҥшелік,  сондықтан  нақты  тҥбірлерінің  саны  екіден 

артпайды. 

4

;

2

0

)

4

(

f

)

2

(

f

  кесіндісінде  Ролль  теоремасы  бойынша 

c

x

 

нҥктесі  табылып, 

0

)

c

(

f

  болады.  Ал 

4

x

,

2

x

2

1

  екі  еселі  тҥбірлері 

болғандықтан 

0

)

4

(

f

)

2

(

f

.  Олай  болса  онда  тағы  бір  рет 

c

;

2

  және 

4

;

c

 

аралы 

қатарына 

Ролль 

теоремасын 

қолдансақ 

c

;

2

c

1

 

және 

0

)

c

(

f

)

c

(

f

4

;

c

c

2

1

2

.  Сонымен 

)

x

(

f

  функцияының 

4

;

2

  аралығында 

екі 

1

c

 және 

2

c

 нақты тҥбірлерінің бар болатынына кӛз жеткіздік. 

Мысал 



4

. 

16

x

6

x

x

y

2

  функциясының  бҥкіл  сан  осіндегі  анықталған 

монотонды  кемімелі  ҥзіліссіз  кері  функциясының  бар  болып,  оның 

44

 

 

мәндерінің жиыны 

8

;

2

 аралығындажататынын дәлелдейік 

Шешуі: Тӛмендегі шектерді анықтасақ  

)

8

x

)(

2

x

(

x

lim

16

x

6

x

x

lim

)

x

(

f

lim

0

2

x

2

0

2

x

0

2

x

, 

16

x

6

x

x

lim

)

x

(

f

lim

2

0

8

x

0

8

x

болып, 

сонымен 

қатар 

0

)

16

x

6

x

(

16

x

)

x

(

f

2

2

2

8

.

2

x

 

қасиеттерінен 

берілген 

)

x

(

f

 

функциясының

8

;

2

интервалында 

-  тен 

-  ке  дейін  монотонды 

кемитінін  және  ҥзіліссіз  болатынын  кӛреміз.  Кері  функцияның  бар  болуы 

туралы жалпы теорема бойынша 

;

 аралығында анықталған мәндерінің 

жиыны 

;

2

  жататын  кері 

)

x

(

y

  функциясының  (берілген 

)

x

(

f

y

 

функциясының  графигіне 

x

y

  биссектрисасына  қарағанда  симметриалы  ) 

бар  болатынын  кӛреміз.  Іс  жҥзінде  әдетте  берілген 

)

x

(

f

y

  функциясында 

y

пен 

x

  -  тердің  орындарын  ауыстырып, 

y

-ке  қарағанда  шешеді,  біздің 

жағдайда  квадраттық  функция,  кері  функция  болып  –  иррационал  функция 

табылатынын кӛреміз. 

Мысал 



5

. 

2

x

x

x

2

5

9

 теңсіздігін шешейік. 

Шешуі:

2

x

x

x

2

)

x

(

f

5

9

  функциясының  монотондық  аралықтарын 

анықтайық. 

0

1

x

5

x

18

)

x

(

f

4

8

,  себебі  дискриминанты  теріс,  бас 

коэффициенті 18 оң сан, сол себепті 

0

)

x

(

f

R

x

. Бҧдан 

)

x

(

f

 функциясы 

бҥкіл сан осінде ӛспелі екенін кӛреміз, онда оның графигі Ох осін тек бірақ 

нҥктеде қиып ӛтеді, 

0

)

1

(

f

 болғандықтан берілген теңсіздіктің шешімі болып 

;

1

 аралығы табылады. 

Мысал 



6

.

)

4

x

)(

3

x

)(

2

x

)(

1

x

(

x

)

x

(

P

  кӛпмҥшелігінің  туындысы 

)

x

(

P

- 

тің нақты әртҥрлі тҥбірлерінің бар болатынын дәлелдейік.  

Шешуі: 

)

x

(

P

y

  функциясы  ҥшін 

1

;

0

  аралығында  Ролль  теоремасын 

қолданайық. 

0

)

1

(

P

)

0

(

P

  және 

1

;

0

  сегментінде 

)

x

(

P

-  ҥзіліссіз,  ал 

1

;

0

интервалында  дифференциалданатын  болғандықтан 

1

;

0

  аралығында  ең 

болмағанда  бір  нҥктесі 

1

x

  табылады  да, 

0

)

x

(

P

1

  теңдігі  орындалады.  Дәл 

осылайша 

)

x

(

P

y

  функциясына  әрбір 

4

;

3

,

3

;

2

,

2

;

1

  сегментінде  Ролль 

теоремасын  қолданып, олардың ішінен 

0

)

x

(

P

  теңдеуін  қанағаттандыратын 

x

нҥктелері  бар  екенін  кӛреміз.  Ал 

)

x

(

P

-  кӛпмҥшелігінің  дәрежесі  4-ке  тең 

болғандықтан, 

)

x

(

P

-  тің  нақты  тҥбірлерінің  саны  4-тен  аспайды.  Сол  

себепті 

барлық 

4

3

2

1

x

,

x

,

x

,

x

 

тҥбірлері 

нақты, 

сонымен 

қатар 

4

x

3

x

2

x

1

x

0

4

3

2

1

. 

Мысал 



7

.

29

x

26

3

2

x

теңдеуінің  екі  нақты  тҥбірі  бар  болатынын 

дәлелдейік. 

Шешуі: Берілген теңдеу әртҥрлі 

3

2

1

x

x

x

 ҥш нақты тҥбірге ие болсын 

деп  ҧйғарайық. 

29

x

26

3

)

x

(

f

2

x

функциясына 

2

1

x

;

x

 

және 

3

2

x

;

x

 

кесіндісіне  Ролль  теоремасын  қолданайық.  Онда 

3

2

2

2

1

1

x

;

x

,

x

;

x

 

45

 

 

сандары  табылады  да, 

0

)

(

f

)

(

f

2

1

  қатынасы  орындалады.  Бірақ  та 

0

26

3

ln

3

)

x

(

f

2

x

  теңдеуінің  тек  жалғыз  тҥбірі  бар.  Пайда  болған 

қайшылықтан  берілген  теңдеудің  екіден  артық  нақты  тҥбірлерінің 

болмайтынын кӛреміз. 

Берілген  теңдеудің  нақты  тҥбірлері  болып 

1

x

1

  және 

2

x

2

 

табылатынын тексеріп кӛруге болады. 

Мысал 



8

.

0

4

x

3

1

x

x

3

5

 теңдеуін шешейік. 

Шешімі: 

4

x

3

1

x

x

)

x

(

f

3

5

  функциясыын  қарастырайық.  Бҧл 

функцияның  анықталу  облысы 

3

1

;

R

  аралығы.  Осы  аралықта 

)

x

(

f

 

ҥзіліссіз, дифференциалданатын функция 

0

x

3

1

2

3

x

3

x

5

)

x

(

f

2

4

, 

.

R

x

 

Сол себепті 

0

)

x

(

f

 теңдеуінің жалғыз ғана тҥбірі бар. Бҧл дегеніміз берілген 

теңдеуіміз тек бір тҥбірге ғана ие,

1

x

  бастапқы  теңдеуді  қанағаттандыра  -

тынын  оңай  кӛруімізге  болады  және  жоғарыда  айтылғандай  басқа  тҥбірлері 

жоқ. 

Жауабы: 

1

x

. 

Параметрден  тәуелді  теңдеулер  мен  теңсіздіктер,  олардың  жҥйелері 

туралы есептерді мҥлде келтірмедік, себебі ӛзіндік ерекшеліктері бар, оларды 

келешекте жеке – дара қарастырмақпыз. 

 

Әдебиеттер тізімі 

 

1.

 

Олехник  С.  Н.  и  др.  Нестандартные  методы  решения  уравнений  и  неравенств. 

Справочник. М.: Изд.-во МГУ,1991.- 144 c. 

2.

 

Задачи по математике. Начала анализа : Справочное пособие (Вавилов В. В. и др.) 

М., «Наука», 1990.-608  c. 

 

 

УДК 539.213.536.42 

 

А.Б. Сатимбекова, А.С. Батырханов, Р.Б. Абылкалыкова  

Восточно-Казахстанский государственный университет 

имени С. Аманжолова, г. Усть-Каменогорск, Казахстан 

 

КИНЕТИКА МАССОПЕРЕНОСА И МЕХАНОХИМИЧЕСКИХ 

ПРОЦЕССОВ В МЕТАЛЛАХ И СПЛАВАХ 

 

Проблемы  аномально  быстрого  массопереноса  являются  предметом 

острых дискуссий при изучении структурообразования в металлах и сплавах.  

Экспериментальные исследования структурообразования в таких материалах 

имеют  определяющее  значение  для  выявления  и  понимания  общих 

закономерностей,  которым  подчиняются  нанокристаллические  вещества, 

выяснения их природы и новых возможностей использования в технике. 

46

 

 

Свойства  композиционных  материалов  зависят  не  только  от  физико-

химических  свойств  компонентов,  но  и  от  прочности  связи  между  ними. 

Максимальная  прочность  достигается,  если  между  матрицей  и  арматурой 

происходит  образование  твердых  растворов  или  химических  соединений. 

Очевидно,  что  для  образования  новых  фаз  необходимо  перераспределение 

составляющих  компонент  сплава,  которое  может  быть  осуществлено  только 

диффузией. Но классическая диффузия требует времени для ее протекания, а 

при  пластической  деформации,  как  правило,  нагрузки  воздействуют  очень 

непродолжительно.  Следовательно,  для  образования  новых  фаз  в  таких 

условиях в сплавах должна иметь место аномальная диффузия. 

В  настоящее  время  под  аномальной  диффузией  понимается  диффузия, 

для  которой  среднее  от  квадрата  смещения  частицы  пропорционально 

времени в дробной степени. Она наблюдается в аэрозолях, гелях, электронно-

ионной плазме, в системах, описываемых статистической физикой открытых 

систем [1]. 

Явления, связанные со структурно-фазовыми превращениями в металлах 

и  сплавах,  протекающими  в  условиях  экстремальных  механических 

воздействий, до конца не изучены [2]. 

Решение  проблем  выявления  природы  структурообразования,  меха- 

низмов  твердофазных  реакций  важно  для  создания  новых  конструкционных 

материалов,  используемых  в  машиностроении,  а  также  для  решения 

проблемы  соединения  металлических  конструкций  (диффузионная  сварка). 

Внешние  механические  воздействия  способны  вызывать  многочисленные 

фазовые переходы, приводить к изменениям фазового и химического состава 

вещества при достаточно низких температурах.  

Одним  из  видов  твердофазного  синтеза  являются  механохимическая 

реакция,    которой  управляет  механическое  движение.  При  этом  происходит 

сближение  молекул  и  уменьшается  энергия  активации,  т.е.  химическая 

реакция инициируется механическим ударом [3, 4]. Пластическая деформация 

твердого тела обычно приводит не только к изменению формы твердого тела, 

но  и  к  накоплению  в  нем  дефектов,  изменяющих  физико-химические 

свойства,  в  том  числе  реакционную  способность.  Накопление  дефектов 

используют  в  химии  для  ускорения  реакций  с  участием  твердых  веществ, 

снижения  температуры  процессов  и  других  путей  интенсификации 

химических реакций в твердой фазе. Механохимическим методом производят 

деструкцию  полимеров,  синтез  интерметаллидов  и  ферритов,  получают 

аморфные сплавы, активируют порошковые материалы.  

Механизмы  и  кинетика  механохимических  процессов,  в  том  числе, 

процессов 

механически 

активируемого 

самораспространяющегося 

высокотемпературного 

синтеза, 

являются 

предметом 

интенсивных 

экспериментальных  и  теоретических  исследований.  Изучение  критических 

явлений  привело  к  представлению  о  неаналитичности  свободной  энергии  в 

критических  точках.  В  работе  [5],  на  примере  линейной  цепочки  атомов 

показано,  что  наступление  динамической  неустойчивости  основного 

47

 

 

состояния  сопровождается  нарушением  условий  термодинамической 

устойчивости.  Существует  большой  класс  процессов  упорядочения  через 

неустойчивость  и  рост  флуктуаций  в  термодинамически  неравновесных 

системах.  В  этом  классе  одним  из  предельных  случаев  является 

спинодальный распад. 

Одним из факторов химической реакции является скорость, под которой 

подразумевается  количество  вещества,  реагирующего  в  единице  объема  за 

единицу  времени.  Эта  величина  является  функцией  от  температуры  и 

концентрации  веществ,  участвующих  в  реакции.  Для  описания  зависимости 

скорости  реакции  от  концентрации  компонентов,  участвующих  в  реакции, 

обычно пользуются степенным законом: 

 

nB

B

nA

A

C

kC

, 

 

 

 

 

  (1) 

 

где    –  скорость  реакции;  С

А

,  С

В 

–  концентрации  компонентов  А,  В,…, 

участвующих  в  реакции;  k  –  константа  скорости  реакции,  зависящая  от 

температуры;  показатель  n  –  порядок  реакции  (по  компонентам  А,  В,  …). 

Зависимость константы скорости от температуры в работе [4] дается законом 

Аррениуса: 

   

 

 

 

)

exp(

0

RT

E

k

k

a

,  

 

 

 

      (2) 

 

где  Т  –  температура;  R  –  универсальнаягазовая  постоянная;  Е

а

  –  энергия 

активации  (энергия,  которой  должна  обладать  молекула,  чтобы 

прореагировать с другой молекулой); k

0  

- предэкспоненциальный множитель. 

Мартенситные  превращения  одной  фазы  в  другую  могут  служить 

примером твердофазных превращений.  

Диффузия атомов в твердом теле – одно из основных фундаментальных 

свойств,  на  котором  базируется  понимание  многих  явлений.  С  одной 

стороны, диффузионный массоперенос представляет собой один из основных 

кинетических механизмов, осуществляющих процессы фазовых превращений 

в металлических сплавах. С другой стороны, он является одним из способов 

реализации  процессов  вязкопластического  деформирования  материалов  и 

релаксации внутренних напряжений. Экспериментально установлено, что при 

пластическом  деформировании  объемных  нанокристаллических  материалов 

происходит  значительное  ускорение  процессов  диффузии  [6].  Во  многих 

случаях  оно  велико,  и  одними  только  структурными  изменениями  в 

дефектной  подсистеме  металла  его  объяснить  невозможно.  В  связи  с  этим 

был  поставлен  вопрос  о  влиянии  действия  механических  напряжений  на 

диффузионные процессы при деформировании сплавов [6]. 

Согласно  Бокштейну  Б.С.  [7],  диффузия  –  это  обусловленный  хаоти- 

ческим тепловым движением перенос атомов,  он может стать направленным 

под  действием  градиента  концентрации  или  температуры.  Диффундировать 

могут  как  собственные  атомы  решетки  (самодиффузия  или  гомодиффузия), 

48

 

 

так  и  атомы  других  химических  элементов,  растворенных  в  металле 

(примесная  или  гетеродиффузия),  а  также  точечные  (дефекты  кристаллах  и 

дефекты структуры кристалла) – междоузельные атомы и вакансии. 

Одним  из  самых  быстрых  процессов  диффузии  является  реакционная 

диффузия.  При  образовании  химического  соединения,  обладающего  иной 

решеткой,  чем  решетки  взаимодействующих  элементов,  под  реакционной 

диффузией  следует  понимать  перемещение  атомов  непосредственно 

соприкасающихся  реагирующих  веществ.  Интенсивное  механическое 

воздействие на реагирующие компоненты или смеси приводит к повышению 

реакционной  способности  (механоактивации)  за  счет  пластической 

деформации  кристаллической  структуры  и  удаления  оксидных  и 

адсорбированных  слоев  с  поверхности  частиц  порошковой  смеси  [8,9]. 

Твердофазный режим, возможный после механической активации, позволяет 

сохранить  структуру  материала,  заданную  на  стадии  формирования 

исходного порошкового компакта.  

Процессы  диффузии,  как  известно,  в  настоящее  время  описываются 

классическими уравнениями Фика; 

 

   

 

 

 

 

,

2

2

dx

C

d

D

dt

dC

 

 

 

 

       (1) 

 

где  коэффициент  диффузии  D  является  константой,  зависящей  от  природы 

растворителя и растворенного вещества. 

 

   

 

 

 

 

,

2

n

fd

D

 

 

 

 

 

     (2) 

 

здесь  f  –  частота  атомных  прыжков;  d  –  средняя  длина  прыжка;  n  –  число 

степеней  свободы:  2≤n≤6.  Параметр  fd

2 

зависит  от  свойства  материала  и  от 

температуры. 

Существует 

теория 

супер-Аррениусовской 

релаксации 

[10], 

утверждающая,  что  при  динамическом  нагружении  происходит:  локальное 

переключение химической связи и межатомные смещения вдоль направления 

приложенной нагрузки. Такие смещения происходят кооперативно в системе 

возбужденных  (активированных)  атомов  [11].  Считается,  что  возбужденный 

(активированный)  атом  сдвинут  относительно  своего  положения  равновесия 

на  критическое  расстояние,  т.е.  на  такое,  когда  возможно  переключение 

химической  связи.  При  этом  образуются  либо  пора  (трещина),  либо  новое 

вещество.  

 

Список литературы 

 

1 Климонтович Ю.Л. Статистическая физика открытых систем т.1.: Янус, 1995, 624 с. 

2  Васильев  Л.С.  Структурно-фазовые  превращения  и  критические  явления  при 

интенсивном  пластическом  деформировании  и  разрушении  металлов  и  сплавов. 

49

 

 

Автореферат на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Ижевск, 

2010, 40 с. 

3 Smolyakov V.K., Comb. Explosive Shock Waves 41 (2001), p.319. 

4  Лейцин  В.Н.,  Дмитриева  М.А.  Модель  процессов  синтеза  в  реагирующих 

порошковых  компактах  типа  Ti–Al,  Ti-C  при  ударном  нагружении.  Томский  госу- 

дарственный университет. // Химия в интересах устойчивого развития, 13 2005, С 271–277. 

5  Скрипов  В.П.,  Скрипов  А.В.  Спинодальный  распад  (Фазовый  переход  с  участием 

неустойчивых  состояний)  //Успехи  Физических  Наук,  1979г.  Июнь,  том  128,  вып.  2  –  С 

193-231. 

6  Бокштейн  Б.С.,  Ярославцев  А.Б.  Диффузия  атомов  и  ионов  в  твердых  телах.  М.: 

МИСИС, 2005. - 362 с. 

7 Бокштейн Б.С. Диффузия в металлах М. 1978. 383 с. 

8 Бацанов С. С., ФГВ, 32, 1 (1996) - 115 с. 

9 Корчагин М. А., Григорьева Т. Ф., Баринова А. П., Ляхов Н. З. / Химическая физика 

процессов горения и взрыва:  XII Симпозиум  по горению и взрыву,  11–15 сентября 2000, 

Черноголовка, 2000, т. I,. 90 c. 

10  Maloney  C.,  Lemaitre  A.,  Universal  Breakdown  of  Elastisity  at  the  onset  of  Material 

Failure // Phys/ Rev. Lett. 2004, V. 93, № 19, P. 195501 (1-4). 

11  Langer  J.S.,  Lemaitre  A.,  Dinamic  Model  of  Super-Arrhenius  Relaxation  in  Glassy 

Materials // 2004, arXiv:cond-mat/ 0411038v1. 

 

 

ӘОЖ 519.662 

 

жүктеу/скачать 7,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: