Железнодорожный путь, изыскание и проектирование железных дорог

 
1
УДК 539.3:624.044 
 
Буганова Светлана Николаевна - ассистент (Алматы, КазГАСА) 
Отарбаев Жангельды Отарбаевич - д.т.н., профессор (Алматы, КазНТУ) 
Божанов Есберген Токшылыкович - д.ф.-м.н., профессор (Алматы, КазНТУ) 
 
К ВОПРОСУ УСТОЙЧИВОСТИ И КОЛЕБАНИЯ ВЫРАБОТКИ В МАССИВЕ 
ГОРНЫХ ПОРОД С ПОЗИЦИИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ  
 
Вопросы  расчета  на  прочность,  устойчивость  и  колебания  выработок  всегда 
считались  актуальной  проблемой.  Обычные  методы  расчета  выработок  не  всегда  дают 
возможности  оценить  несущую  способность  выработок,  выявить  ту  максимальную 
нагрузку  при  помощи  простых  инженерных  расчетных  формул,  при  действии  которой 
выработка разрушается.  
Рассмотрим выработку в толще горных пород в виде многослойных анизотропных 
оболочек  типа  Винклера [1], где  физико-механические  свойства  пород  соответствуют 
физико-механическим  свойствам  многослойных  анизотропных  оболочек [2]. Будем 
предполагать,  что  материал  каждого  слоя  оболочки  в  процессе  деформации  остается 
упругим  и  подчиняется  обобщенному  закону  Гука  для  анизотропного  тела.  Учет 
анизотропии  материала  таков,  что  они  позволяют  по  абсолютному  значению 
сопротивления  руд  или  по  отношению  сопротивления  руд  к  сопротивлению  вмещающих 
пород  оценивать  форму  критической  деформации  поперечного  сечения  и  возможную 
мощность предполагаемых рудных зон [3]. 
Кроме  того,  будем  считать,  что  при  отработке  первой  зоны  выработки  впереди 
имеем  зону  повышенного  напряженно-деформированного  состояния.  Однако  переход  от 
устойчивого  положения  к  возмущенному  состоянию  происходит  как  сближение  первой 
зоны  ко  второй  зоне  в  виде  с  начальной  симметричной  волнистостью  (начальная 
неправильность). 
Общее решение уравнения выпучивания выработки 
 
k
q
R
W
Eh
dx
W
d
D
=
+
2
4
4
                                               (1) 
имеет вид 
EJ
K
где
x
x
x
EJ
e
q
x
e
C
x
e
C
x
e
C
x
e
C
x
W
x
k
x
x
x
x
=
−
+
−
−
+
+
+
=
−
−
−
4
4
4
3
2
),
1
cos
sin
5
2
sin
5
(
24
sin
cos
sin
cos
,
)
(
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
            (2) 
 
Во многих исследованиях [4]-[5], когда слой отработки есть изотропный материал, частное 
решение неоднородного дифференциального уравнения (1) берут в виде 
 
)
(
)
(
2
1
x
l
Eh
R
x
W
−
=
γ
                                                                (3) 
 
 
Следовательно, общее решение выпучивания выработки и внутренние усилия имеют 
вид: 
)
(
sin
cos
sin
cos
,
)
(
2
4
3
2
x
l
Eh
K
q
x
e
C
x
e
C
x
e
C
x
e
C
x
W
k
x
x
x
x
−
−
+
+
+
=
−
−
β
β
β
β
β
β
β
β
      (4) 

 
2
)]
sin
cos
(
)
sin
cos
(
[
)
(
]};
sin
)
(
cos
)
[(
]
sin
)
(
cos
)
(
{[
2
)];
sin
cos
(
)
sin
cos
(
[
2
4
3
2
1
2
4
3
3
4
2
1
1
2
2
1
3
4
1
2
2
1
x
C
x
C
e
x
C
x
C
e
K
Eh
x
l
q
N
x
C
C
x
C
C
e
x
C
C
x
C
C
e
D
Q
x
C
x
C
e
x
C
x
C
e
D
M
x
x
k
x
x
x
x
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
+
+
+
−
−
=
+
−
+
+
+
+
+
−
−
−
=
+
+
−
−
=
−
−
−
            (5) 
где 
 
4
2
)
1
(
3
1
ν
β
−
=
Rh
                                                       (6) 
Граничные условия в виде: 
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
=
=
=
=
=
l
x
при
dx
dW
o
x
W
x
при
dx
W
d
o
x
W
0
,
)
(
0
0
,
)
(
2
2
                                                (7) 
 
В  работе [3] приведено  общее  решение  уравнения  равновесия  выработки  на  основании 
формулы: 
)
1
(
12
,
2
3
4
4
ν
−
=
−
=
Eh
D
q
dx
W
d
D
k
                                                  (8) 
в виде  
4
3
2
2
3
1
4
2
1
6
1
)
(
C
x
C
x
C
x
C
x
EJ
q
x
W
k
+
+
+
+
−
=
                                   (9) 
 
Граничные условия взяты в виде: 
 
l
x
x
при
dx
W
d
o
x
W
=
=
=
=
,
0
0
,
)
(
2
2
                                              (10) 
 
Тогда выпучивание горизонтальной выработки имеет вид 
 
]
2
[
24
)
(
3
3
4
x
l
lx
x
EJ
q
x
W
k
+
−
−
=
                                                         (11) 
 
Рассмотрим общее решение выпучивания выработки вида [4] при граничных условиях (7) с 
начальной симметричной волнистостью. 
Подставляя (7) в (1) имеем  
l
Eh
qR
C
C
l
Eh
qR
C
C
x
W
x
2
3
1
2
3
1
0
0
)
(
−
=
+
⇒
=
+
+
=
=
                       (12) 
Eh
R
q
e
x
C
C
x
C
C
e
x
C
C
x
C
C
x
W
k
x
x
2
4
3
3
4
1
2
2
1
]
sin
)
(
cos
)
[(
]
sin
)
(
cos
)
[(
−
×
×
+
−
−
+
−
+
+
=
∂
∂
−
β
β
β
β
β
β
β
β
Eh
qR
C
C
C
C
x
W
x
2
4
3
2
1
0
)
(
,
0
=
+
−
+
⇒
=
∂
∂
=
β
                              (13) 

 
3
0
,
0
,
)
cos
sin
(
2
)
sin
cos
(
2
4
2
0
2
2
2
4
3
2
1
2
2
2
=
−
=
∂
∂
−
+
−
=
∂
∂
=
−
C
C
x
W
e
x
C
x
C
e
x
C
x
C
x
W
x
x
x
β
β
β
β
β
β
β
β
           (14) 
Аналогично,  
0
)
sin
cos
(
)
sin
cos
(
,
0
4
3
2
1
=
+
+
+
=
∂
∂
−
=
x
l
l
x
e
l
C
l
C
e
l
C
l
C
x
W
β
β
β
β
β
β
            (15) 
 
В частности при условии 
0
sin
cos
2
1
=
+
l
C
l
C
β
β
 имеем 
0
sin
cos
4
3
=
+
l
C
l
C
β
β
                                                            (16) 
Eh
qR
e
l
C
C
l
C
C
e
l
C
C
l
C
C
x
W
l
l
l
x
2
4
3
3
4
1
2
2
1
]
sin
)
(
cos
)
[(
]
sin
)
(
cos
)
[(
;
0
−
+
−
−
+
+
−
+
+
=
∂
∂
−
=
β
β
β
β
β
β
β
β
                              (17) 
 
В частности, при условии 
0
sin
)
(
cos
)
(
1
2
2
1
=
−
+
+
l
C
C
l
C
C
β
β
 имеем: 
l
e
qR
l
C
l
C
β
β
β
β
2
4
3
cos
sin
−
=
−
                                                (18) 
 
Таким  образом,  при  х=0  выработка  шарнирно  закреплена,  когда  при  х=l  выработка 
скользяще заделана, имеем граничные условия 
 
β
β
β
β
β
β
l
e
qR
l
C
l
C
l
C
l
C
C
C
l
Eh
qR
C
C
2
4
3
4
3
4
2
2
3
1
cos
sin
,
0
sin
cos
,
0
,
−
=
−
=
+
=
−
−
=
+
                                               (19) 
Тогда 
)]
cos
(
)
sin
cos
cos
(sin
2
cos
2
[
]
cos
[
sin
)
(
2
cos
cos
cos
)
(
2
cos
sin
)
(
2
2
2
2
2
x
le
x
l
Eh
R
x
x
lch
x
x
lsh
l
e
R
q
x
le
x
l
Eh
qR
x
e
e
l
l
e
qR
x
e
e
l
l
e
qR
x
W
x
l
k
x
x
x
l
x
x
l
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
−
−
+
+
−
=
−
−
+
+
+
−
−
=
−
−
     (20) 
 
Далее  для  определения  критической  силы  по  критическим  деформациям 
прямоугольной  формы  с  начальной  симметричной  волнистостью  в  отличие  от  работы [6] 
применим  метод  интегральных  преобразований  в  геомеханике,  суть  которого  в  данной 
задаче заключается в следующем: первую зону выработки представим в виде бесконечной 
полосы  высотой 2R по  аналогии  работы [7] с  нежесткой  матрицей  заполнителя.  Упругое 
равновесие под действием заданных усилий на её границах возьмем в виде: 
 
,
0
y
x
,
0
y
x
y
xy
xy
x
=
∂
σ
∂
+
∂
σ
∂
=
∂
σ
∂
+
∂
σ
∂
                                             (21) 
и условие сплошности 

 
4
 
(
)
0
y
x
=
σ
+
σ
Δ
                                                                             (22) 
при граничных условиях 
 
),
x
(
g
),
x
(
f
0
y
xy
0
y
y
=
σ
=
σ
=
=
                                                     (23) 
где 
g
,
f
-заданные функции. 
Общее решение (21) согласно Папковичу-Нейберу, представим  
 
2
1
)
1
(
4
y
F
Gv
2
,
)
1
(
4
x
F
Gu
2
Φ
ν
−
+
∂
∂
−
=
Φ
ν
−
+
∂
∂
−
                           (24)  
 
где 
v
,
u
 - перемещения, 
ν
Φ
+
Φ
+
Φ
=
,
y
x
F
2
1
0
 - коэффициент  Пуассона, 
G
 - модуль 
сдвига. 
Интегрируем  методом  интегральных  преобразований  для  второй  основной  задачи 
для  бесконечной  полосы (21)–(24), затем  определим  НДС  и  форму  критической 
деформации  в  поперечном  сечении  первой  зоны  выработки.  Пользуясь  произвольностью 
одной из гармонических функций, положим 
0
1
≡
Φ
 и запишем соотношение (24) в форме 
 
 
,
y
y
y
Gv
2
,
x
y
x
Gu
2
2
0
2
2
0
∂
Φ
∂
−
∂
Φ
∂
−
Φ
χ
−
=
∂
Φ
∂
−
∂
Φ
∂
−
=
                                            (25) 
 
Тогда  поставленная  задача  состоит  в  нахождении  двух  гармоничных  функций 
,
,
2
0
Φ
Φ
 
удовлетворяющих следующим краевым условиям на границах полосы 
R
y
,
0
y
=
=
: 
)
x
(
v
v
),
x
(
v
v
),
x
(
u
u
),
x
(
u
u
R
R
y
0
0
y
R
R
y
0
0
y
=
=
=
=
=
=
=
=
            (26) 
где 
)
x
(
v
),
x
(
v
),
x
(
u
),
x
(
u
R
0
R
0
- заданные функции. 
Представляя гармонические функции 
2
0
,
Φ
Φ
 в виде интегралов Фурье 
 
,
d
e
]
y
sh
)
(
D
y
ch
)
(
C
[
2
1
,
d
e
]
y
sh
)
(
B
y
ch
)
(
A
[
2
1
x
i
2
x
i
0
λ
λ
λ
+
λ
λ
π
=
Φ
λ
λ
λ
λ
+
λ
λ
π
=
Φ
λ
−
∞
+
∞
−
λ
−
+∞
∞
−
∫
∫
                                 (27) 
 
получим на основании (25) следующие выражения для упругих перемещений: 
λ
λ
λ
−
λ
χ
+
λ
λ
−
λ
χ
+
λ
λ
+
λ
λ
−
π
=
λ
λ
λ
+
λ
λ
λ
+
λ
λ
+
λ
λ
π
=
λ
−
∞
+
∞
−
λ
−
+∞
∞
−
∫
∫
d
e
)]
y
ych
y
sh
(
D
)
y
ysh
y
ch
(
C
)
y
ch
)
(
B
y
sh
)
(
A
(
[
2
i
Gv
2
,
d
e
)]
y
sh
)
(
D
y
ch
)
(
C
(
y
y
sh
)
(
B
y
ch
)
(
A
[
2
i
Gu
2
x
i
x
i
  (28) 
Напряжения 
y
xy
x
,
,
σ
τ
σ
  выражаются  через  введенные  функции 
2
1
0
,
,
Φ
Φ
Φ
  с 
помощью следующих зависимостей 

 
5
,
y
y
y
x
x
2
]
y
)
1
(
2
[
y
,
x
y
)
2
1
(
y
x
]
y
y
y
x
y
[
x
,
x
y
x
x
y
2
]
x
)
1
(
2
[
x
2
2
2
2
1
2
1
0
2
y
2
1
1
2
2
1
0
xy
2
2
2
2
1
2
2
0
1
x
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Φ
∂
+
∂
Φ
∂
−
∂
Φ
∂
ν
+
∂
Φ
∂
−
Φ
ν
−
∂
∂
=
σ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Φ
∂
+
∂
Φ
∂
ν
−
+
∂
∂
Φ
∂
+
∂
Φ
∂
+
∂
Φ
∂
+
∂
Φ
∂
∂
∂
−
=
τ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Φ
∂
+
∂
Φ
∂
−
∂
Φ
∂
ν
+
∂
Φ
∂
−
Φ
ν
−
∂
∂
=
σ
          (29) 
 
так что для получения напряжений в рассматриваемой задаче достаточно положить 
0
1
≡
Φ
. 
Из корней 
τ
±
σ
±
=
i
z
 уравнений 
,
0
4
3
z
shz
,
0
4
3
z
shz
=
ν
−
+
=
ν
−
−
 необходимо выбрать те 
значения, которые соответствуют постановке задачи. 
Заметим,  что  уравнение 
0
z
xshz
=
−
  относится  к  случаю  задачи,  симметричной 
относительно  средней  линии 
2
b
y
= ,  а  уравнение 
0
z
xshz
=
+
 - к  соответствующему 
антисимметричному случаю. 
Таким  образом,  вспучивание  выработки  с  начальной  симметричной  волнистостью 
находится в виде: 
)],
cos
(
)
sin
cos
cos
(sin
2
cos
2
[
)
(
2
2
x
e
x
Eh
R
x
x
ch
x
x
sh
e
R
q
x
W
x
k
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
l
l
l
l
l
l
−
−
+
−
=
  (30) 
где 
4
2
)
1
(
3
1
ν
β
−
=
Rh
 
 
Рассмотренная  задача  относилась  к  случаю  плоской  деформации.  Для  плоского 
напряженного  состояния  во  всех  формулах  следует  величину 
ν
  заменить  на 
ν
+
ν
1
.  На 
рисунке 1 приведены численные результаты (30) при следующих данных: 
,
a
M
10
7
,
2
,
1000
750
H
,
30
,
0
25
,
0
,
a
M
10
)
8
3
(
E
2
4
Π
⋅
=
γ
−
=
−
=
ν
Π
⋅
−
−
−
 
]
3
,
0
1
,
0
[
x
L
R
−
=
=
 - 
длинная выработка, 
]
5
,
0
1
,
0
[
x
L
R
−
=
=
 - выработка средней длины, 
]
9
,
0
1
,
0
[
x
L
R
−
=
=
 - 
короткая выработка, 
]
05
,
0
001
,
0
[
R
h
−
=
, 
75
,
0
;
5
,
0
;
1
,
0
x
L
b
,
75
;
50
;
10
x
b
L
=
=
=
=
 
 

 
6
 
 
Рисунок 1 – График вспучивания выработки 
 

жүктеу/скачать 5,71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: