ЗАВИСИМОСТЬ РАСШИРЕННОГО УРАВНЕНИЯ КРИТИЧЕСКОЙ

 
104 
[15,16] расширенное уравнение критической изотермы было записано в виде 
 
                         
( P)= D
P + D
1
P
+...                                              (3) 
 
Цель данной работы выразить параметры D
i
 уравнения (3) через критические 
характеристики диэлектрических жидкостей. 
Ранее в работах Y.Garrabos, например [17], высказано предположение, что амплитуда D
0
 для 
критической изотермы  (P,T) систем пространственно однородных зависит от произведения 
безразмерных критических характеристик Y
к
 и Z
к
 .  
 
                 
1
P
T
)
T
T
(
dT
dP
1
P
T
)
T
T
(
T
P
Y
к
к
к
к
к
к
к
                                    (4) 
 
      
1
вз
к
к
вз
к
к
к
Б
к
к
к
к
Б
к
к
к
к
к
v
n
v
v
T
k
v
P
T
k
m
P
RT
V
P
Z
                                      (5) 
 
В данной работе мы проверили это предположение на примере 6 молекулярных жидкостей 
[18,19].  Для  определения  значений  величины  Y
к
  мы  использовали  литературные  данные 
зависимостей  P(T)  вдоль  кривой  сосуществования  в  близкой  окрестности  КТ.  В  таблице  1. 
приведены значения величин Z
к
  ,  Y
к 
для этих веществ. На рис. 1. для выбранных веществ вдоль 
оси абсцисс отложены значения  величин Y
к
Z
к
, а вдоль оси ординат – значения асимптотической 
амплитуды критической изотермы D
0
(Y
к
,Z
к
).   Проведенный анализ (рис. 1., табл. 1.) показал, что 
ни произведение Y
к
Z
к
 , ни любая другая простая комбинация критических характеристик Y
к
 и Z
к
 
не позволяет найти вид функциональной зависимости D
0
(Y
к
,Z
к
). 
Поскольку  для  описания  вида  функциональной  зависимости  амплитуды  D
0
(Z
к
,Y
к
)  двух 
величин  Z
к
  и  Y
к
  оказалось  не  достаточно,  в  данной  работе  предлагается  при  анализе  уравнения 
критической  изотермы  использовать  качественно  иную  безразмерную  критическую 
характеристику.  
 
Таблица 1 - Амплитуды уравнения критической изотермы и критические характеристики 
молекулярных жидкостей  
 
Вещество 
Z
к
 
Y
к
 
Z
к
Y
к
 
S
к
 
S
к
Y
к
5
 
D
0
 
D
1
 
D
0
     
T
к
, К 
Этан 
0,285  5,458  1,55553 
1,69 
8185,672 
0,76  0,11  1,3 
305,36 
CO
2
 
0,274  6,006  1,64564 
1,4 
10940,94 
0,771  0,11  1,3 
304,22 
Бензол 
0,271  6,235  1,68968 
1,16 
10930,51 
0,77  0,12  1,9 
562,05 
Гептан 
0,263  6,107  1,60614  1,207 
10252,9 
0,765 
0,1  1,8 
540,13 
Вода 
0,229  6,625  1,51712 
4,4 
56154,18 
0,88  0,17  2,4 
647,05 
Метанол 
0,224  7,856  1,75974 
1,89 
56554,76 
0,882  0,17  2,0 
512,6 
 
Поскольку фактор сжатия Z
к
 является модулем отношения в критической точке большого 
термодинамического потенциала  = –P
к
V
к
 к тепловой энергии моля вещества RT
к
, естественным 
представлялось проверить пригодность для поставленной задачи другого отношения  –  
энтропийного потенциала T
к
S
к
 к тепловой энергии моля вещества RT
к
. Эта величина 
пропорциональна критическому значению энтропии S
к
 вещества:                                               
T
к
S
к
/RT
к 
~ S
к 
. Проведенный анализ показывает, что для описания вида функциональной 
зависимости амплитуды D
0
(Y
к
,S
к
) необходимо совместное использование двух критических 
характеристик – Y
к 
и S
к 
. 
                 D
0 
=0,0025  S
к
Y
к
5
 +0,74 ,   D
1
 =0,00115  S
к
Y
к
5
 +0,107                               (6) 
 
 
ҚМУ ХАБАРШЫСЫ 1 (33) 2012
 
 

 
105 
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
Вода
Этан
Гептан
CO
2
Бензол
Метанол
Z
к
 Y
к
D
0
 
Рисунок 1 - Гипотетическая зависимость амплитуды критической изотермы пространственно 
однородных молекулярных жидкостей от критической  
характеристики вещества Z
к
Y
к
, согласно работы [17]. 
 
В качестве примера на рис. 2. представлен вид функциональной зависимости амплитуды 
D
0
(Y
к
,S
к
) для 6 диэлектрических веществ от эмпирически найденной единственной пригодной 
комбинации величин S
к 
и
 
Y
к
:  S
к
Y
к
5 
.  Нами найдено, что асимптотическая и первая 
асимметрическая амплитуды  критической  изотермы  (3)  в  области давлений  P=(P–P
к
)/P
к
2 10  
могут быть описаны соотношениями 
0
10
20
30
40
50
60
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
D
0
=0,0025*S
к
*Y
к
5
+0,74
Метанол
Вода
CO
2
Бензол
Гептан
Этан
D
0
S
к
 Y
к
5
 
Рисунок 2 - Зависимость амплитуды критической изотермы пространственно однородных 
молекулярных жидкостей от критической характеристики вещества S
к
Y
к
5
 
 
Задача существенно осложняется при анализе уравнения критической изотермы реальных 
пространственно неоднородных веществ в поле гравитации Земли вблизи КТ. Для уравнения 
критической изотермы таких неоднородных систем, исходя из (3), 
(h)= D
0
h +... ( 
D
0
=(d
*
/dh)
D
0 
) с использованием условия равновесия (2) сделаны оценки параметров D
i
. Для 
примера, рассчитанные параметры D
0
 для анализируемых веществ [18,19] во внешнем 
гравитационном поле в состоянии термодинамического равновесия представлены в таблице 1. Эти 
параметры рассчитаны согласно эмпирической зависимости градиента внутреннего поля от 
критической температуры вещества T
к
: d
*
/dh(T
к
) dP
*
/dh(T
к
)=1+ T
к
,   =5 10
 
град  [7]. 
 
 
 

 
106 
Литература: 
1.
 
Анисимов М.А. Критические явления в жидкостях и жидких кристаллах. –Москва: Наука, 
1987. 
2.
 
Cheng Hongyuan, Anisimov M.A., Sengers J.V., Fluid Phase Equiliria 128, 67 1997. 
3.
 
Green M.S., Cooper M.J., Levelt Sengers J.M.H., Phys. Rev.Lett. 26, 9, 492 1971. 
4.
 
Фомичев С.В., Хохлачев С.Б., ЖЭТФ. -1974.-№3. 
5.
 
Голик  А.З.,  Шиманский  Ю.И.,  Алѐхин  А.Д.  и  др.,  В  сб.:  Уравнение  состояния  газов  и 
жидкостей, К 100-летию уравнения Ван-дер-Ваальса. –Москва:Наука, (189) 1975.  
6.
 
Алехин А.Д., Укр. Физ. Журн., 26,11,1981. 
7.
 
Alekhin A.D., J.Mol. Liq. 2006. -№62. 
8.
 
Алехин  А.Д.,  Дорош  А.К.,  Рудников  Е.Г.  Критическое  состояние  вещества  в  поле 
гравитации Земли. –Киев: Политехника, 2008.  
9.
 
Алехин А.Д. Известия вузов. Физика.-1983.-№3. 
10.
 
Алѐхин А.Д. Вестник Киевского университета. Серия физ-мат. науки. -2003. -№2. 
11.
 
Алехин  А.Д.,  Абдикаримов  Б.Ж.,  Остапчук  Ю.Л.,  Рудников  Е.Г.  Журнал  Физической 
Химии. -2010.-№1. 
12.
 
Паташинский  А.З.,  Покровський  В.Л.  Флуктуационная  теория  фазовых  переходов.  –
Москва: Наука, 1982. 
13.
 
Ван-дер-Ваальс И.Д., Констамм Ф. Курс термостатики. -Москва, ОНТИ. 1936. –Т.2. 
14.
 
Кипнис  А.Я.,  Явелов  Б.Е.  Иоганнес  Дидерик  Ван-дер-Ваальс,  АН  СССР.  -Ленинград: 
Наука, 1985.  
15.
 
Алехин А.Д. Известия вузов. Физика. -1986.-№1.  
16.
 
Алехин А.Д., Рудников Е.Г. и др., Укр. Физ. Журн.-1999.-№7. 
17.
 
Garrabos Y., Palencia F., Lecoutre C.,  Erkey C.J., Neundre B. Le, Phys. Rev. E 73, 2, 026125 
(2006) J. 
18.
 
Span R., Wagner W., Phys. Chem. Ref. Data. -1996.-№6. 
19.
 
Wagner W., Pruss A., Phys J. Chem. Ref. Data. -2002.-№2. 
 
Түйіндеме 
Жұмыста сындық изотерманың кеңейтілген теңдеуінің заттың сындық сипаттамаларына 
байланыстылығы зерттелінді. Сындық изотерманың кеңейтілген теңдеуінің амплитудасына 
байланысты жаңа сындық сипаттама анықталынды. Бұл нәтижелер алты молекулалық 
сұйықтықтарға қолданылады. Сонымен қатар сындық температурада гравитациялық ӛрісте 
біртекті емес сұйықтардың гравитациялық эффект теңдеуі сараланды. 
 
Summary 
The dependence of the extended equation of critical isotherm on the nonuniversal characteristics of 
substance has been studied in the work. The amplitudes of the extended equation of critical isotherm 
depend on the obtained new critical characteristic. The conclusions have been approved for six molecular 
liquids. The equations of the gravity effect of spatially inhomogeneous liquids under gravity at the critical 
temperature have been  also analyzed. 
 
 
 
ӘОЖ 621.01 
СЫЗЫҚТЫ ЕМЕС СЕРПІМДІ СИПАТТАМАСЫ БАР ТІК ҚАТАҢ 
ТЕҢГЕРІЛМЕГЕН ГИРОСКОПТЫҚ РОТОРДЫҢ РЕЗОНАНСТЫҚ ТЕРБЕЛІСТЕРІ 
 
Ж.ИСКАКОВ, техника ғылымдарының кандидаты, доцент 
Алматы энергетика және байланыс университеті, 
Г.МҦСАЕВА,  
Қорқыт Ата атындағы Қызылорда мемлекеттік университеті 
 
    Ұсынып отырған жұмысымызда [1]жұмыстан ерекшелігі геометриялық сызықты емес 
гироскоптық роторлық жүйедегі негізгі жиілік бойынша резонанстық тербелістер және олардың 

 
107 
орнықтылығы зерттеледі. 
1 - cуретте ротордың геометриялық сұлбасы ұсынылған.  Ұзындығы 
L
 және қатаңдығы EI  
білік тӛменгі шарнирлі және онан 
0

 қашықтықтағы жоғарғы серпімді тіректің кӛмегімен тік 
орнатылған.Серпімді тіректе айқын диссипаттық қасиеттерімен ерекшеленетін 
материалдар,мысалы,резеңке пайдаланылады. Біліктің бос ұшына массасы m, үйектік инерция 
моменті 
P
I
 және кез – келген бағыт үшін бірдей кӛлденең инерция моменті 
T
I
 болатын диск 
бекітілген. Біліктің   айналу жылдамдығы соншалықты үлкендіктен роторды қозғалмайтын 
нүктесі біліктің тӛменгі нүктесі болатын гироскоп деп қарастыруға болады. Дискінің 
геометриялық центрі S  х, у координаталарымен, ал біліктің және толығымен ротордың 
кеңістіктегі орны 
x
, 
y
  бұрыштарымен және 
t
бұрылу бұрышымен анықталады. Сызықты 
эксцентриситет е SХ осінде жатыр, бұрыштық   эксцентриситеттен   бұрышына қалады деп 
ұйғарамыз. Ротор білігінің кіші ауытқуларымен шектелеміз, сол себепті есептеулерде 
y
x
e
,
,
,
 аз 
шамаларына қатысты сызықты мүшелерді ғана ескереміз және ротордың бойлық орын 
ауыстырулары еленбейді. 
 
Сурет 1- Ротордың геометриясы 
   Жүйенің кинетикалық және потенциялық энергияларының, Рэлей функциясының және 
сыртқы күштердің моменттерінің ӛрнектерін таба отырып қозғалыс теңдеулерін Лагранж 
формасында құрамыз.                   
  
            Ӛлшемсіз параметрлерді келесі формулалар 
;
/ L
e
;
0
L


;
)
2
(
2
1
3
mL
EI
t
t
;
2
2
1
3
EI
mL
;
2
mL
I
I
p
p
;
2
mL
I
I
T
T
;
3
1
1
EI
L
k
K
;
5
2
2
EI
L
k
K
;
2
EI
L
G
P
L
E
e
Im
1
  
                                    (1)        
кӛмегімен ендіріп, теңдеулердің оң жақтарында 
        
2
4
2
2
2
2
sin
cos
Н
Н
Р
М
                                     (2)          
мәжбүрлеуші моменттің амплитудасы ӛрнегінің және оның  
                     
cos
sin
2
2
2
Н
P
Н
arctg
        
         
                                    (3) 
- бастапқы фазасы ӛрнегінің белгілеулерін пайдаланып бір ғана гармониялық функциялармен 
ӛрнектеп қозғалыс теңдеулеріне   ықшам түр беруге болады 
  
3
4
2
2
1
1
х
x
x
y
р
x
T
K
P
K
I
I


,
cos
t
М
                     (4) 
            
3
4
2
2
1
y
1
у
y
y
x
р
T
K
P
K
I
I


t
М sin
          (5) 
Бұл жерде   -кедергі күшінің коэффициенті; K
1 
–серпімділік күшінің сызықты құраушысының 

 
108 
коэффициенті; K
2 
– серпімділік күшінің сызықты емес құраушысының коэффициенті;
T
p
I
I
Н
 
- дискінің шартты қалыңдығы. 
 Сонымен қарастырып отырған роторымыздың стационар қозғалыстағы күйі Дуффинг 
типіндегі дифференциалдық теңдеулер (4) және (5) жүйесімен сипатталады екен.  
Әдетте сыртқы әсердің периодына тең периодпен периодтық шешімін қарастыру туралы сӛз 
болғанда (4) және (5) теңдеулерінің   шешімдерін коэффициенттері анықталмаған Фурье 
қатарларына қарапайым жіктеу әдісі қолданылады. Коэффициентер мүшелерінің шектелген, 
әдетте кӛп емес санын ескергендегі гармониялық баланс әдісі  [2,3] арқылы анықталуы мүмкін.  
   Геометриялық сызықты емес серпімді сипаттамасы бар гироскоптық ротор негізгі жиілік 
бойынша резонансқа зерттеледі.Мұндай ротордың серпімді тірегі пайда болған тербелістердің 
демпфері ретінде пайдаланылатын физикалық сызықты емес резеңке,каучук және басқа 
полимерлер түріндегі материалдардан жасалынады. 
   Мәжбүрлеуші моменттің жиілігіне тең тербеліс жиілігіндегі қарапайым гармониканың 
негізгі резонансы жағдайында (4)-(5) теңдеулерінің шешімдерін жуықтау 
                                             
)
t
cos(
1
1
А
х
 ,                                                                         (6) 
                                         
)
t
sin(
1
1
А
у
                                                                               (7) 
теңдеулерін  қанағаттандырады. 
          Гармоникалық баланс әдісін[2,3] пайдаланғаннан кейін негізгі резонанстың амплитудалық – 
және фазалық – жиіліктік (АЖ және ФЖ )тәуелділіктері алынады: 
                                                                       
                                        
2
2
1
2
2
2
2
*
2
1
М
А
Н
,                                               (8) 
                                        
tg
H
tg
H
tg
2
2
2
2
1
)
1
(
1
 .                                                     (9)
 
 
Бұл жерде 
                                  
2
1
4
2
2
1
0
1
4
3
1
)
(
A
H
K
H
P
K
А


                                                         (10) 
демпферсіз ротордың гармониялық тербелістерінің меншікті жиілігі.(4)-(5) сызықты емес моделін 
сызықтандыру [4] жұмысындағы АЖ және ФЖ сипаттамаларының формулаларына алып келеді. 
(8)-(9) теңдеулер жүйесін шешіп жұқа және қалың дискілі гироскоптық ротор тербелісінің бас 
гармоникасының АЖ және ФЖ сипаттамаларын тұрғызып оларға сыртқы демпферлеулеу 
коэффициентінің, дискінің ең үлкен еңкіштік сызығы мен масса дисбалансы сызығы арасындағы 
бұрыштың,серпімді тіректің сызықты емес параметрінің әсерін зерттеуге болады. 
        Орнықтылық мәселесін шешу үшін периодты тепе-теңдік күйден 
х
 және 
у
 ауытқуларын 
қарастырамыз және (4),(5) теңдеулеріндегі
х
және
у
шамаларын
х
х0
және
у
у0
 
шамаларымен ауыстырамыз. 
Бұл жерде
0
х
және
0
у
 (4),(5) теңдеулерінің орнықтылығы зерттелетін шешімдері.Мұнан әрі [2,3] 
әдістемесі бойынша 
х
және 
у
бірден жоғары дәрежелерін елемей 
х
және 
у
вариацияларына қатысты теңдеулерді аламыз 
            
2
0
4
2
2
1
2
2
3
1
x
x
y
p
x
T
l
K
P
l
K
dt
d
dt
d
I
dt
d
I
0
x
,                 (11) 
 
2
0
4
2
2
1
2
2
3
1
у
у
х
p
у
T
l
K
P
l
K
dt
d
dt
d
I
dt
d
I
0
у
.                        (12) 
t
5
,
0
е
х
 және
t
5
,
0
е
y
 түрлендірулерін пайдаланып және
0
х
және
0
у
 шамаларын 
олардың (6) және (7) жіктелулерімен алмастырып Хил типіндегі теңдеулерге  келтіреміз    

 
109 
0
2
1
2
sin
2
cos
1
2
2
01
2
2
p
p
S
C
T
T
I
dt
d
I
t
t
dt
d
I
dt
d
I
 ,                (13)                                   
0
2
1
2
cos
2
sin
1
2
2
01
2
2
p
p
S
C
T
T
I
dt
d
I
t
t
dt
d
I
dt
d
I
 ,                 (14) 
мұндағы 
2
1
4
2
2
1
2
01
3
2
2
1
1
4
1
A
l
K
P
l
K
I
T
; 
1
2
1
4
2
2
2
cos
3
2
A
l
K
C
; 
1
2
1
4
2
s
2
2
sin
3
2
A
l
K
-                                                                                                              (15) 
1
1
,
А

жүктеу/скачать 2,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: