Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических наук в современном образовательном пространстве»

61
 
 
элементтерінің жүйесі бар, мұндағы коэффициенттер   
 
∈  .  
 
Әдебиеттер тізімі 
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., 1977 
2. Л.Я. Куликов., Алгебра и теория чисел. М,. 1979 
3.  Винберг Э. Б. Курс алгебры — М., Издательство «Факториал Пресс», 2002. 
4.  Бухштаб А. А. Теория чисел.  М., «Просвещение», 1966 
5.  Б. М. Оразбаев. Сандар теориясы. Алматы., «Мектеп», 1970.  
6.  Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. М.,  Издательство Московского 
университета, 
1984 
7.  С.Сингх. «Великая теорема Ферма», М., МЦНМО, 2000. 
8.  Хинчин А.Я.3 жемчужины теории чисел. М., Наука, 1979 
9.  К. Айерленд, М. Роузен.Классическое введение в современную теорию чисел — М., 1987. 
10.Балк 
М.Б., 
Балк 
Г.Д. 
Реальные 
применения 
мнимых 
чисел. К., 
Рад. 
шк. 1988 
11.  Арнольд В.И. 
 Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО,2002 
12.  Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982. 
13. Б.З. Кенжеғұлов., Қ.Қ. Камматов. Алгебралар. «Қазақ университеті». Алматы, 2003.  
14.  М.И.Яглом,  «Комплексные числа».  М., 1963. 
15. Л.С.Понтрягин. Обобщение чисел. М., «Наука», 1986 
 
 
УДК 514.112 
ПЛАНИМЕТРИЯНЫҢ ТАҢДАМАЛЫ ТЕОРЕМАЛАРЫ 
 
Султангалиева Л.С., Мырзағазиева М.С. 
 
А.Қ. Жұбанов атындағы Ақтөбе өңірлік мемлекеттік университеті, Ақтөбе қаласы 
Meruert_m94@mail.ru
 
 
   Бір  түзудің  бойында  жатқан  А,  В  және  С  нүктелерін  қарастырайық.  Бұл  үш  нүкте  үш  кесіндіні 
анықтайды (АВ, АС, ВС). АС кесіндінің ВС кесіндісіне қатынасы А, В, С нүктелерінің жай қатынасы деп аталады 
да, (АВС) түрінде белгіленеді.  
 
1-сурет 
Сонда: 
ВС
АС
АВС 
)
(
 
Жай қатынастағы нүктелердің рольдері бірдей емес. Формуладағы оң жақ шеткі нүкте (С нүктесі) 
бөлуші 
нүкте
,  ал  А  және  В 
негізгі
  немесе 
вазистік  нүктелер
  деп  есептелінеді.  Базистік  нүктелер  түзудің  бойында 
тиянақты,  олар  бекітілген  болады.  С  –  айнымалы,  жылжып  тұратын  нүкте.  Оның  әр  түрлі  орнына  (АВС) 
қатынасының  әр  түрлі  мәндері  сәйкес  келеді,  басқаша  айтқанда  (АВС)=(АВС′)  теңдігінен  С≡С′  теңдігі      шығады 
(бұдан  былай  екі  элементтің  теңбе-теңдігін,  яғни  беттесіп  кететіндігін  жазғанда  теңдік  таңбасына  үш  сызықша 
қоюға келісеміз). Осының дәлелін келтірейік:  
;
C
B
С
А
ВС
АС



;
C
B
C
B
AB
BC
BC
AB





;
1
1




C
B
AB
BC
AB
 
;
C
B
AB
BC
AB


;
C
B
BC


.
C
C 

 
Демек,  С′  пен  С  –  беттескен  нүктелер.  Ал  керісінше, 
C
C 

  болғанда 
)
(
)
(
ABC
C
AB


  теңдігі 
орындалатыны өзінен-өзі түсінікті.  
  Бөлуші  нүктенің  бұл  қасиеті  түзуді  арифметикаландыруға  –  геометриялық  нүктелерді  сандар  арқылы 
сипаттауға  мүмкіндік  тудырады.  Түзудің  бойында  орналасқан  кез  келген  С  нүктесінің  координатасы  ретінде 
(АВС)=λ  санын  алуға  болады.  С  нүктесінің  әр  түрлі  орындарына  λ  санының  әр  түрлі  мәндері    сәйкес  келеді. 
Координаталардың мұндай системасын геометрияға 1827 жылы Мебиус енгізген.  
  Берілген түзудің бойындағы оң бағыт АВ бағыты делік. Онда ВА теріс бағыт болады. С нүктесі базистік 
нүктелердің  арасында  жатса,  АС  мен  ВС  кесінділерінің  таңбалары  екі  түрлі  болады  да,  λ  теріс  сан  болады.  С 
нүктесі  АВ  кесіндісінен тысқары,  оның созындысында  жатқан  болса,  λ  оң сан болады; ал С  нүктесі А  нүктесімен 
беттескен  болса, 
0

АС
,  сондықтан  жай  қатынас  және  оның  мәні  λ  саны  ноль  болады.  Бұдан  А  нүктесінің 
координаталар басы болатыны көрінеді. С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы болса, 
1



 болатынына көз жеткізу 
қиын емес.  

62
 
 
  С  нүктесі  В  нүктесімен беттескен  болса, жай  қатынастың  бөліміндегі  ВС саны  нольге айналып,  бөлшек 
мағынасын жояды. Сондықтан С нүктесі В нүктесімен беттеспеу керек.  
  М  жазықтығындағы  АВ  түзуінде  А,  В,  С  нүктелері,  N  жазықтығындағы  сәйкес  A′B′түзуінде  А′,  В′, 
С′нүктелері орналасалы делік. (2-сурет) 
 
2-сурет 
 
Проекциялаушы түзулердің әрқайсысы
 l 
бағытқа параллель болғандықтан, олар өзара параллель болады. 
Сонда  бұл  параллель  түзулер  BRB′  бұрышының  қабырғаларын  қиып  өтеді.  Одан  шығатын  кесінділер 
пропорционал болғандықтан:  
;
В
С
СВ
С
А
АС





;
С
В
С
А
ВС
АС





).
(
)
(
С
В
А
АВС




 
Бұдан мынадай маңызды қорытынды шықты: 
перспективті-афиндік түрлендіруде бір түзудегі үш нүктенің 
жай қатынасы сол нүктелерге сәйкес екінші түзудегі үш нүктенің жай қатынасындай болады.  
  Жай  қатынастардың  теңдігінде  алты  нүкте бар. Олардың  бесеуі  белгілі болса,  кез келген алтыншысын 
табуға болады.  
  Үш  нүктенің жай қатынасы  бұдан  былай  үлкен  роль атқаратындықтан,  оның  кейбір  негізгі  қасиеттерін 
қарастырып өтейік. 
  А  нүктесінің  декарттық  координатасы 
а
,  В  нүктесінікі 
b
,  С  нүктесінікі
c
  болсын.  Сонда: 
.
)
(
b
с
а
с
АВС





 
1. 
Үш нүктенің жай қатынасы масштабқа байланысты болмайды.
 
  Түзудегі  масштабты 
к
есе  үлкейттік  (немесе  кішірейттік)  дейік.  Сонда  А,  В,  С  нүктелерінің 
координаталары 
ak, bk, ck
болады, бірақ  
.
b
c
a
c
bk
ck
ak
ck







 
Демек λ масштабқа байланысты емес. 
2. 
Жай қатынас координаталар басына байланысты болмайды.
 
  Координаталар системасын я оңға, я солға 
m
өлшемге жылжытайық. Сонда нүктелердің координаталары 
m
c
m
b
m
a



,
,
болады. Бірақ одан қатынас өзгермейді: 
.
)
(
)
(
)
(
)
(
b
c
a
c
m
b
m
c
m
a
m
c











 
3. 
Үш нүктенің рольдерін ауыстырғанда жай қатынастың алты түрлі мәні шығады.
 
Олар:     
;
)
(
1







b
c
a
c
АВС
;
1
)
(
2








c
b
a
b
ACB
 
;
1
1
)
(
3








a
b
c
b
CAB
;
1
)
(
4







a
c
b
c
BAC
 
;
1
)
(
5









c
a
b
a
BCA
.
1
)
(
6









b
a
c
a
CBA
 
  Бұл теңдіктердің дұрыстығына көз жеткізу қиын емес. 
4. 
Мына теңдіктерді де дәлелдеу оңай: 
;
1
)
(
)
(

 АСВ
АВС
;
1
)
(
)
(

 СВА
САВ
.
1
)
(
)
(

 ВСА
ВАС
 
 Жай қатыныстың қолданылуына мысал ретінде кейбір теоремаларға тоқтала кетейік.  
Чева  теоремасы.  АВС  үшбұрышының  төбелерінен  қарсы  қабырғаларды  Q,  N,  P  нүктелерінде  қиып 
өтетін  AQ,  BN,  CP  түзулері  жүргізілсе  және  бұлар  сол  жазықтықтағы  бір  О  нүктесінен  өтетін  болса,  онда  осы 
нүктелерден жасалатын жай қатынастар  
1
)
)(
)(
(


ABP
CAN
BCQ
 
теңдігін қанағаттандырады.  
 Дәлелдеуі:  AQ  мен  CP  түзулерін  созамыз  да,  BN  түзуіне  параллель  етіп  CR  мен  AH  түзулерін 
жүргіземіз.(3-сурет). 

63
 
 
 
3-сурет 
HAмен ONпараллель болатындықтан: 
HO
OC
AN
NC

 
АОН және COR үшбұрыштарының ұқсастығынан: 
,
AH
CR
HO
OC

 
олай болса,    
.
AH
CR
AN
NC

  (1) 
CQR және BOQ үшбұрыштарының ұқсастығынан: 
;
CR
OB
CQ
QB

    (2) 
AHP және BOP үшбұрыштарының ұқсастығынан: 
.
OB
AH
BP
PA

     (3) 
(1),  (2),  (3)  теңдіктерді  біріне-бірін  мүшелеп  көбейтсек: 
1



BP
PA
CQ
QB
AN
NC
  шығады.  Мұны  былай 
жазуға болады: 
;
1
)
(
)
(
)
(







BP
AP
CQ
BQ
AN
CN
.
1
)
)(
)(
(


ABP
BCQ
CAN
 
Теорема  дәлелденді.  О  нүктесі  үшбұрыштың  сыртында  жатса  да,  теорема  дұрыс  болады.  Үшбұрыштың 
төбелерінен  шығып,  бір  нүктеде  қиылысатын  түзулер  Чева  түзулері  немесе  чевиандар  деп  аталады.  Демек  QA, 
BN, PC –чевиандар. 
  Енді Чева теоремасының кейбір салдарларына тоқталып кетейік. 
Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады.  
 Бұл жағдайда 3-суретті қолданамыз: 
;
QC
BQ 
;
NA
CN 
;
PB
AP 
 
;
1
)
(


BCQ
;
1
)
(


CAN
;
1
)
(


ABP
 
.
1
)
)(
)(
(


ABP
CAN
BCQ
 
Теорема бойынша BN, AQ, CP медианалары бір нүктеде қиылысады. 
Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының биссектрисалары бір нүктеде қиылысады.  
Қысқаша
,
c
AB 
,
a
BC 
b
CA 
делік.  Биссектрисаның  қасиеті  бойынша  (3-суретті  пайдаланамыз)  
;
b
c
QC
BQ

;
c
a
NA
CN

.
a
b
PB
AP

 
Бұл теңдікті мүшелеп көбейткенде: 
;
1



PB
AP
NA
CN
QC
BQ
.
1
)
)(
)(
(


ABP
CAN
BCQ
 
Үшбұрыштың биіктіктері бір нүктеде қиылысады. 
Мұнда       
;
cos A
b
AP 
;
cos B
a
PB 
;
cos B
c
BQ 
 
;
cos C
b
QC 
;
cos C
a
CN 
.
cos A
c
NA 
 
Бұл теңдіктен:
,
1



PB
AP
NA
CN
QC
BQ
  яғни  
.
1
)
)(
)(
(


ABP
CAN
BCQ
 
 
Менелай теоремасы. Үшбұрыштың ВС, СА, АВ қабырғалары немесе олардың созындылары кез келген 
бір түзумен M, N, P нүктелерінде қиылысатын болса,  
1
)
)(
)(
(

ABP
CAN
BCM
 
теңдігі орындалады. 

64
 
 
Дәлелдеу.Үшбұрыштың  төбелерінен  қиюшы түзуге  кез келген бағытта, бірақ өзара  параллель  үш түзу 
жүргізейік (4-сурет). 
 
4-сурет 
Олардың төбелерден қиюшыға дейінгі кесінділері 



,
,
болсын.  
Сонда 
;



CM
BM
;



AN
CN
.



BP
AP
 
 Бұларды мүшелеп көбейткенде: 
;
1



BP
AP
AN
CN
CM
BM
.
1
)
)(
)(
(

ABP
CAN
BCM
 
Теорема дәлелденді. 
  Чева  және  Менелей  теоремалары  Понселе  мен  Карно  теоремаларының  салдарлары  болып  табылады. 
Бұл екі теоремаға да қысқаша тоқталып кетейік.  
Понселе  теоремасы.  Қабырғаларының  саны  тақ  сан  болып  келетін  көпбұрыштың  төбелерін  сол 
көпбұрыштың жазықтығындағы кез келген нүктемен қосудан шығатын түзулер қарсы қабырғаларды әрдайым екі 
кесіндіге  бөлінеді,  сонда  ортақ  ұштары  жоқ  кесінділердің  көбейтіндісі  қалған  кесінділердің  көбейтіндісіндей 
болады.  
Дәлелдеу.ABCDE бесбұрышын алайық (5-сурет) 
 
5-сурет 
Аудандарды салыстырудан төмендегі пропорциялар шығады:  
;
sin
sin


KE
KA
NE
AN

;
sin
sin


KD
KE
MD
EM

;
sin
sin


KC
KD
RC
DR

;
sin
sin


KB
KC
PB
CP

.
sin
sin


KA
KB
LA
BL

 
 Бұл бес теңдікті мүшелеп көбейтсек: 
.
1





LA
BL
PB
CP
RC
DR
MD
EM
NE
AN
 
 Соңғы  қатыс  Понселе  теоремасының  дұрыстығын  көрсетеді.  Оны  былай  да  жазуға  болады: 
1
)
)(
)(
)(
)(
(


BAL
CBP
DCR
EDM
AEN
 
Қабырғаның  саны  үшеу  болса,  Понселе  теоремасы  Чева  теоремасына  айналады.  Көпбұрыштың 
қабырғаларының саны 7, 9, ... (2n-1) болса да теорема осылай дәлелденеді.  
Карно  теоремасы.  Көпбұрыштың  қабырғалары  немесе  олардың  созындылары  кез  келген  бір  түзумен 
қиылса, одан шыққан ортақ ұштары жоқ кесінділердің көбейтіндісі қалған кесінділердің көбейтіндісіндей болады.  
Дәлелдеу.ABCDE 
көпбұрышын 
қарастырайық. 
Оның 
қабырғаларын 
немесе 
қабырғаларының 
созындыларын кез келген LN түзуі қиып өтсін. Сол көпбұрыш пен LN түзуі жатқан жазықтықтан кез келген бір KH 
түзуін алайық (6-сурет). 

65
 
 
 
6-сурет 
Көпбұрыштың  төбелерінен  LN  бағытына  параллель  етіп  түзулер  жүргіземіз.  Бұлардың  KH  түзуімен 
қиылысқанда анықтайтын кесінділерінен төмендегідей пропорциялар шығады:  
;
R
C
R
B
CM
BM



;
R
D
R
C
DN
CN



;
R
E
R
D
EP
DP



;
R
A
R
E
AQ
EQ



.
R
B
R
A
BL
AL



 
Бұларды мүшелеп көбейткенде,  
1





BL
AL
AQ
EQ
EP
DP
DN
CN
CM
BM
 
шығады. Бұл теңдік Карно теоремасының дұрыстығын көрсетеді. Соңғы қатысты былай жазуға да болады: 
.
1
)
)(
)(
)(
)(
(

ABL
EAQ
DEP
CDN
BCM
 
Көпбұрыштың қабырғаларының саны қанша болса да теореманы осылай дәлелдеуге болады.  
Қабырғаның саны үшеу болса, Карно теоремасы Менелай теоремасына айналады. 
 
Әдебиеттер тізімі 
1.  Понарин Я.П. Элементар геометрия Т.1. Планиметрия. М.МЦНМО, 2004 
2.  Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч.ч.І.ІІ. М.Наука, 1991 
3.  Хан Д.И. Избранные теоремы планиметрии, задачи на построение. Учебное пособие.-Астана:Фолиант, 2013   
 
 
ӘОЖ 512.1 
РЕКУРРЕНТТІ АНЫҚТАЛЫНҒАН ЕКІНШІ ЖӘНЕ ҮШІНШІ РЕТТІ АРИФМЕТИКАЛЫҚ 
ПРОГРЕССИЯДА ЖАЙ САНДАРДЫҢ ТАРАЛУЫ 
 
Ж.Сайдолқызы 
 
Х.Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті 
 
=
+ ( − 1)
  формуласымен  екінші  ретті  рекурентті  анықталынған арифметикалық  прогрессияның 
жалпы  мүшесін  есептеуге  болады.  Енді  осы  {
}  тізбегіндегі  жай  сандардың  таралу  мәселесіне  тоқталалық. 
Жалпы  жағдайда  екінші  ретті  арифметикалық  прогрессияда  жай  сандардың  таралу  әлі  күнге  дейін  толық 
зерттелмегендіктен,  екінші  ретті  арифметикалық  прогрессиядағы  жай  сандардың  шекті  немесе шексіз  болуы  әлі 
дәлелденілмеген мәселе болып келеді. Дегенмен, сандық есептеулер мысалға, 
=  – тақ жай, ал   - жұп  сан 
болғанда 
=
+ 2( − 1)   тізбегінде  жай  сандардың  бар  болатындығын  көрсетті.  Сондықтан,  мына  сұраққа 
жауап іздейміз:   - жай саны мен   - натурал санының қандай мәндерінде 
,
, … ,
  - сандарының барлығы жай 
сан болады.  
 
= 3  болғанда  рекуррентті 
= 3 + 2( − 1)   –  екінші  ретті  арифметикалық  прогрессияның 
алғашқы  үш  мүшесі 
= 3 + 2(1 − 1) = 3, 
= 3 + 2(2 − 1) = 5және
= 3 + 2(3 − 1) = 11-  жай  сандар  болып 
келеді.  
 
= 5  болғанда  рекуррентті 
= 5 + 2( − 1)   –  тізбегінде,  алғашқы  бес  мүшесі 
= 5 +
2(1 − 1) = 5, 
= 5 + 2(2 − 1) = 7
, 
= 5 + +2(3 − 1) = 13
, 
= 5 + 2(4 − 1) = 23 және
= 5 + 2(5 − 1) =
37 – жай сандар болады.  
 
Дегенмен, бұл заңдылық барлық   – жай сандары үшін орындала бермейді. Мысалға, 
= 7 үшін 
= 7 + 2( − 1)  – тізбегінің екінші мүшесі 
= 7 + 2(2 − 1) = 9 - құрама сан болады.  
 
Егер 
= 29  болса,  онда 
= 29 + 2( − 1)   –  формуласымен  анықталынатын  екінші  ретті 
арифметикалық прогрессияның алғашқы 29 мүшесі жай сандар болатындығын мына есептеулер көрсетеді: 
 
= 29 + 2(1 − 1) = 29,  
= 29 + 2(2 − 1) = 31
,  
= 29 + 2(3 − 1) = 37
, 
= 29 + 2(4 − 1) = 47
,  
= 29 + 2(5 − 1) = 61
,  
= 29 + 2(6 − 1) = 79, 
= 29 + 2(7 − 1) = 101
, 
= 29 + 2(8 − 1) = 127
, 
= 29 + 2(9 − 1) = 157
, 

66
 
 
 
= 29 + 2(10 − 1) = 191
,
= 29 + 2(11 − 1) = 229, 
= 29 + 2(12 − 1) = 271
, 
= 29 + 2(13 − 1) = 317
, 
= 29 + 2(14 − 1) = 367
,
= 29 + 2(15 − 1) = 421
, 
= 29 + 2(16 − 1) = 479, 
= 29 + 2(17 − 1) = 541
,
= 29 + 2(18 − 1) = 607
, 
= 29 + 2(19 − 1) = 677
, 
= 29 + 2(20 − 1) = 751
,
= 29 + 2(21 − 1) = 829, 
= 29 + 2(22 − 1) = 911
,
= 29 + 2(23 − 1) = 997
, 
= 29 + 2(24 − 1) = 1087
,
= 29 + 2(25 − 1) = 1181
, 
= 29 + 2(26 − 1) = 1279,   
= 29 + 2(27 − 1) = 1381
, 
= 29 + 2(28 − 1) = 1487
,
= 29 + 2(29 − 1) = 1597
.
 
 
Тізбектің келесі мүшесі 
= 29 + 2(30 − 1) = 29(1 + 2 ∙ 29) = 29 ∙ 59 – құрама сан. 
Кейбір жағдайларда екінші ретті арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің берілуіне байланысты 
алынатын  жай  сандар  тізбегінің  мүшелерінің  саны  алғашқы  мүшеден  аз  болатындығы  байқалды.  Мұның  мысал 
ретінде  жалпы  мүшесі  төмендегідей  рекуррентті  формуламен  берілген  екінші  ретті  арифметикалық 
прогрессияларды алуға болады:  
а) 
= 11 + 8( −1) ;   = {11.19.43.83.139.211}; 
ә) 
= 73 + 10( −1) ;   = {73,83,113,163,233}. 
 Есептеулер алғашқы төрт жай саннан құралған 
= {2.3.5.7} жиынының мынадай қасиетін көрсетті. Осы 
төрт сан арқылы жазылған мына рекуррентті формулалардың мәндері жай сандар болатындығын: 
1) 
3 ∙ 5 + 2
; 2) 
3 ∙ 7 + 2
; 3)
 5 ∙ 7 + 2
; (k=1,2,3). 
 
Ван дер Варденнің [1] индуктивті анықтамасы бойынша үшінші ретті арифметикалық прогрессия 
деп,  айырмаларының  тізбегі  екінші  ретті  арифметикалық  прогрессия  құрайтын  нақты  сандар  тізбегін  айтамыз. 
Үшінші  ретті  арифметикалық  прогрессиялардың  құрылымын  анықтау  үшін,  оған  анықтаманы  рекуррентті  түрде 
берген ыңғайлы болады. 
 
Барлық жай сандар жиынын   арқылы белгілелік.   –жай сан, ал   – жұп натурал болсын, яғни 
∈ \{2},  = 2 ,
∈ ℕ. Үшінші ретті арифметикалық прогрессияның мүшелерін  ( = 1, 2, … ) арқылы белгілесек, 
онда  сызықты  жағдайда 
=
+
.  Анықтама  бойынша  екінші  ретті  арифметикалық  прогрессияның 
айырмаларының                    
=
−
 
( = 1, 2, … ) тізбегі арифметикалық прогрессия құрайды және 
−
=
.   Тұрақты шама шығуы үшін екі  рет айырымдық шамалардың тізбегін  қарастырғандықтан  екінші  ретті 
арифметикалық  прогрессияның  мүшелері  қандайма  бір  квадрат  үшмүшеліктің  мәндерінің  жиынынан  құралады. 
Демек,  жалпы  жағдайда  екінші  ретті  арифметикалық  прогрессияларды  ( )
=
+
+  ( , , ,
∈ ℕ)  квадрат 
үшмүшелік  арқылы  беруге  болады.  Бұлардың  ішінен 
= 0, 1,2, … , ℎ  болғанда  мәндері  жай  сандар  болатындай 
, , ∈ ℕ  сандарын  іздейміз.  Нақты  есептеулер  мына көпмүшеліктердің  мәндерінің жай сан  болатындығын  және 
қанша жай сандар шығатындығын көрсетеді.  
 
( ) =   ( − 1) + 17, ( = 0,1, 2, … , 16);  
( ) = 3 ( − 1) + 17( = 0, 1, 2, … , 15); 
( ) = 7 ( − 1) + 17 ( = 0,1, 2, … , 16);  
( ) = 4 ( − 1) + 19( = 0, 1, 2, … , 18); 
( ) = 3 ( − 1) + 23( = 0, 1, 2, … , 22);   
( ) = 6 ( − 1) + 31( = 0, 1, 2, … , 29); 
( ) = ( − 1) + 41( = 0, 1, 2, … , 40); 
( ) = 25 ( − 1) + 47( = 0, 1, 2, … , 16); 
( ) = 17 ( − 1) + 607( = 0, 1, 2, … , 15);  
( ) = 4 ( − 1) + 653( = 0, 1, 2, … , 18); 
( ) = 53 ( − 1) + 1381( = 0, 1, 2, … , 15);  
( ) = 42 ( − 1) + 1777( = 0, 1, 2, … , 15); 
( ) = 42 ( − 1) + 19249( = 0, 1, 2, … , 15) ; 
( ) = 6 ( − 1) + 28591( = 0, 1, 2, … , 15); 
( ) = 27 ( − 1) + 53117( = 0, 1, 2, … , 15); 
( ) = 18 ( − 1) + 67391( = 0, 1, 2, … , 17); 
 
 
Бұл  келтірілгендердің  ішінде  ( )
= ( − 1) + 41  үшмүшелігі  [2]  ең  көп  жай  сан  беретінін 
байқаймыз және оның мәндері мынаған тең болады: 
41,43,47,53, 61,71, 83, 97,113,131, 151, 173, 197, 223, 
251,281,313, 347,383,421,461,503,547,593,641,691,743, 
797,853,911,971,1033,1097,1163,1231,1301,1373,1447,1523,1601. 
 
Бұл алынған нәтижеден және келтірілген үшмүшеліктердің тізбегінен   тақ натурал сан болғанда 
40 жай сан беретін квадрат үшмүшелік мына түрде болады деген болжам жасауға болады: 
( ) ≡
−
+ 0,25(
+ 163) 
= 1  болғанда,  ( ) = ( − 1) + 41  квадрат  үшмүшелігін  аламыз.  Параметр    -ның  бастапқы  бірнеше 
мәнінде болжам ақиқат болады. Жалпы жағдайда параметрдің мәндерін өзгерту арқылы арнайы, мысалға Maple 
компьютерлік бағдарлама арқылы тексеріп көруге болады.  

67
 
 
Екінші  ретті  арифметикалық  прогрессиялардағы  жай  сандардың  таралу  мәселесі  әлі  күнге  дейін  ашық 
күйінде  қалып  отыр.  Мұның  басты  себебі  екінші  ретті  арифметикалық  прогрессиялардың  қолдану  аясының 
кеңеймеуінде, яғни бұл мәселеге қызығушылықтың болмауында болып тұр. 
 

жүктеу/скачать 12,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: