Паскаль үшбұрышының мысалдары. Математика маған ұнайды

үй
›
Сипаттамалары
Паскаль үшбұрышының
мысалдары. Математика маған
ұнайды
(a + b) n дәрежесі бар келесі өрнектерді қарастырайық,
мұндағы a + b кез келген бином және n - бүтін сан.
Әрбір өрнек көпмүше болып табылады. Барлық
өрнектерде мүмкіндіктерді байқауға болады.
1. Әрбір өрнекте n көрсеткішінен бір мүше артық.
2. Әрбір мүшеде дәрежелердің қосындысы n-ге тең,
яғни. бином көтерілетін қуат.
3. Дәрежелер n биномдық дәрежеден басталып, 0-ге
дейін кемиді. Соңғы мүшеде а факторы жоқ. Бірінші
мүшеде b факторы жоқ, яғни. b дәрежесі 0-ден
басталып, n-ге дейін артады.
4. Коэффиценттер 1-ден басталып, белгілі бір мәндерге
"жарты жолға" дейін артады, содан кейін сол мәндерге
1-ге дейін төмендейді.
Коэффициенттерді толығырақ қарастырайық. (a + b) 6
мәнін тапқымыз келеді делік. Жаңа ғана байқаған
ерекшелігіміз бойынша мұнда 7 мүше болуы керек 
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c
5 ab 5 + b 6 . 
Бірақ әрбір коэффициенттің мәнін қалай анықтауға
болады, c i ? Біз мұны екі жолмен жасай аламыз.
Бірінші әдіс төменде көрсетілгендей үшбұрышқа
коэффициенттерді жазуды қамтиды. Бұл ретінде белгілі
Паскаль
Паскаль үүшбұрышы
шбұрышы :
Үшбұрышта көптеген мүмкіндіктер бар. Мүмкіндігінше
көп табыңыз. 
Жоғарыдағы жолдағы сандарды пайдаланып келесі
сандар жолын жазудың жолын тапқан шығарсыз.
Бірліктер әрқашан бүйірлерде орналасқан. Әрбір
қалған сан сол санның үстіндегі екі санның қосындысы.
Табылған мүмкіндіктер арқылы келесі жолды қосу
арқылы (a + b) 6 өрнегінің мәнін табуға тырысайық: 
Біз мұны соңғы жолдан көреміз
бірінші және соңғы сан 1 ;
екінші сан 1 + 5 немесе 6 ;
үшінші сан 5 + 10, немесе 15 ;
төртінші сан 10 + 10, немесе 20 ;
бесінші сан 10 + 5 немесе 15 ; және 
алтыншы сан - 5 + 1, немесе 6 .
Сонымен (a + b) 6 өрнегі тең болады 
(a + b) 6 = 1 a 6+ 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a
2 b 4 + 6 ab5 + 1 b6.
(a + b) 8 дәрежесіне көтеру үшін Паскаль
үшбұрышының екі түзуін толықтырамыз: 
Содан кейін 
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4
+ 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .
Нәтижелерімізді төмендегідей жалпылай аламыз.
Паскаль
Паскаль үүшбұрышыны
шбұрышыныңң ккөөмегімен
мегімен
Ньютон
Ньютон биномиясы
биномиясы
Кез келген бином a + b және кез келген натурал n саны
үшін, 
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... +
c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n , 
мұндағы c 0 , c 1 , c 2 ,....., c n-1 , c n сандары Паскаль
үшбұрышының (n + 1) қатарынан алынған.