Тақырып: Кванттық статистикадағы үлестірулер

Көп бөлшектерден құралатын жүйлердің қасиетін зерттеуге Гибббс әдістемесінің орнына Больцманның ұяшық әдістемесін пайдалануға болады. Бұл әдістемесі бойынша термодинамикалық жүйенің тепе-теңдік күйіне жүйенің энтропиясының максималдық мәні сәйкес келеді.

Көлемі V, температурасы Т тең N бөлшектерден құралған, толық энергиясы U тер-модинамикалық жүйені қарасырайық. Осы жүйеге сәйкес келетін фазалық кеңістікті m () ұяшыққа бөлінген деп санайық. Әр ұяшықтың энергиялары тең болсын, мында ұяшықтың энергиясы , онда орналасқан бөлшектедің саны -ге тең.Термодинамикалық жүйенің толық микрокүйлерінің саны, яғни N - бөлщектердің m - ұяшақтан таралуы тең болады:

(10.25)

ақырғы өрнектің логарифымын алсақ:

(10.26)

cонан соң Стирлинг теңңдігін пайдалансақ: ,онда:

(10.27)

ақырғы өрнекті анықталмаған тұрақтыларға көбейтіп қоссақ, онда:

барлық шамалар бір-біріне тәуелді емес болғандықтан орындалу үшін кей-бір бөлшекке келесі теңдік орындалу керек:

(10.32)

Осы алынған теңдік бөлщектердің энергия бойынша таралуын көрсетеді, оны үлестірім функция деп қарастыруға болады. Мындағы тұрақтылар барлық жүйеге бірдей боп саналады. нормалау шартынан тұрақтының мәнін табуға болады:

егер деп белгілесек, ол күй қосындысы деп аталады, онда:

(10.33а)

Термодинамикалық жүйенің энергиясы тең болады:

(10.34)

(10.36)

(10.37)

онда тең болады:

(10.38)

Ақырғы өрнеті энтропияның термодинамикалық дифференциалымен салыстырсақ:

(10.39)

(10.40)

Осыдан Больцман әдістемесе бойынша бөлшектердің ұяшық бойынша үлестірімі тең болады:

(10.41)

Бірақ ұящықтың әрбір энергиясына фазалық кеңістіктің әртүрлі көлемі сәйкес келуі мүмкін, яғни мүмкіншілік микрокүлерінің әртүрлі саны. Сол бір энергиялық деңгейіне сәйкес келетін мүмкіншілік күйлерінің саны і – лік энергиялық күйдің ста-тистикалық салмағы деп аталады. Оны деп белгіленеді.

Енді кез келген бөлшектің энергияға ие болатын ықтималдығын анықтасақ, онда шаманы статистикалық салмағына көбейтуіміз керек. Яғни кез-келген бөлщек-тің энергияға ие болатын ықтималдығы тең болады:

Кванттық статистикақаға толық көшу үшін біріншіден жүйелердің фазалық ұяшақтар бойынша таралуын жүйелердің кванттық күйлері бойынша таралуымен ауыстырыумыз керек. Екіншіден Больцманның фазалық ұяшақтар бойынша күйлердің таралуының теңықтималдығын кванттық күйлерінің теңықтималдық тұжырыммен ауыстырамыз. Гиббстың үлестірімі кванттық термодинамикалық жүйелерге жалпыланады, бірақ жүйенің бір күйіне минималдық фазалық кеңістік сәйкес болады. Ал кванттық бөлшектердің энергия бойынша үлестірім заңын анықтауға Больцманның ұяшақ әдістемесін падалануға болады. Соны мен қоса кванттық үлестірім заңын анықтағанда әрқашанда кванттық бөлшектердің келесі қасиеттерін есептеуміз керек:

1) тепе-теңдік бөлшектердің ажыратылмаушылық принципы

2) Бозе және Ферми бөлшектерді сипаттайтын толқындық функциялардың екі түрін

Яғни кванттық стистикаға көшкенде бөлшектердің ажыртылмайтын тәсілге бағынады деп, олардың екі түрі кездесетінін ескерту керек. Олардың бағынатын үлестірім функциясын табу үшін күйлерінің ықтималдығын анықтаумыз керек. Осылай қойылған мәселе математикада комбинаторика есептері боп саналады, ал статистикалық мәселе бұл жағдайда жүйенің күйлерінің санын есептелуден құралатын болады.

Мысалы түрінде екі кванттық бөлшектердің екі ұяшыққа орнасатын мүмкіншілігін қарастырайық. Бастапқыда екі бөлщектерді бір-бірінен ажыратылады деп санайық. Онда екі ұяшақта орналасатын төрт мүмкіншілік бар: