Практикум по алгебре

88 
22.
Доказать
, 
что
любой
кольцевой
гомоморфизм
поля
либо
является
инъекцией
, 
либо
отображает
все
элемен
-
ты
в
нуль
. 
23.
Пусть
A
1
, 
A
2
кольца
с
единицами
, 
ϕ
: 
A
1
→
A
2
— 
гомоморфизм
колец
. 
а
) 
Верно
ли
, 
что
образ
единицы
кольца
A
1
является
единицей
кольца
A
2
? 
б
) 
Верно
ли
предыдущее
утверждение
, 
если
ϕ
 
эпиморфизм
? 
24.
Найти
все
гомоморфизмы
: 
а
) 
групп
Z
→
2
Z
; 
б
) 
колец
Z
→
2
Z
. 
25.
Пусть
A
=
C
R
– 
кольцо
всех
непрерывных
на
R
функций
, 
x
0
∈
R
,
0
x
I
=
{
f
∈
A
: 
f
(
x
0
) 
=
0}. 
Доказать
, 
что
0
x
I
идеал
кольца
A
и
что
A
/
0
x
I
≅
R
. 
26. 
а
) 
Можно
ли
кольцо
с
единицей
эпиморфно
отобразить
на
кольцо
без
еди
- 
ницы
? 
б
) 
Можно
ли
кольцо
без
единицы
эпиморфно
отобразить
на
кольцо
с
единицей
? 
27.
Почему
кольцо
〈
Z
; +, 
⋅〉
нельзя
эпиморфно
отобразить
ни
на
какое
свое
подкольцо
, 
отличное
от
0 
и
самого
Z
? 
28.
Доказать
, 
что
R
[
x
]/(
x
– 
α
) 
≅
R
, 
где
α
 
∈
R
. 
29.
Изоморфны
ли
кольца
Q
[
x
]/(
x
2
– 2) 
и
Q
[
x
]/(
x
2
– 3)? 
30.
Доказать
, 
что
группы
〈
Z
[
2
]; +
〉
и
〈
Z
[
3
]; +
〉
изоморфны
, 
однако
кольца
〈
Z
[
2
]; +, 
⋅〉
и
〈
Z
[
3
]; +, 
⋅〉
не
изоморфны
. 
31.
Найти
все
автоморфизмы
кольца
〈
Q
[
2
]; +, 
⋅〉
. 
32.
Является
ли
кольцо
〈
Z
[
5
−
]; +, 
⋅〉
кольцом
главных
идеалов
? 
33.
Составить
диаграмму
Эйлера
-
Венна
для
следующих
классов
колец
: 
 
А
— 
целостные
кольца
; 
 
В
— 
кольца
главных
идеалов
; 
 
С
— 
факториальные
кольца
; 
 
D — 
поля
; 
 
Е
 — 
евклидовы
кольца
. 
Привести
примеры
и
контрпримеры
. 
§ 7. 
Задачи
 
по
 
теории
 
чисел
 
Если
не
оговорено
противное
, 
то
все
числа
, 
встречающиеся
в
этом
парагра
-
фе
, 
являются
целыми
числами
. 
1.
Доказать
, 
что
если
mn
+
pq
делится
на
m
– 
p
, 
то
mq
+
np
также
делится
на
m
– 
p
. 
2.
Доказать
, 
что
если
ab
+ 
cd
делится
на
n
, 
a
– 
c
делится
на
n
и
числа
c 
и
n
взаимно
простые
, 
то
b
+ 
d
делится
на
n
. 
3.
Доказать
, 
что
a
2
+ 
b
2
делится
на
7 
только
тогда
, 
когда
a
и
b 
одновременно
делятся
на
7. 
4.
Пусть
m
1
, 
m
2
, … , 
m
k
попарно
взаимно
простые
числа
(
натуральные
), 
M
=
m
1
m
2
… 
m
k
, 
i
i
m
M
M
=
, 
i
=
k
1,
. 
Доказать
, 
что
числа
вида
M
1
x
1
+ 
M
2
x
2
+ … +
M
k
x
k
, 
где
x
i
пробегают
полную
систему
вычетов
по
модулю
m
i
, 
составляют
полную
систему
вычетов
по
модулю
M
. 
5.
Доказать
что
не
существует
двух
последовательных
нечетных
чисел
, 
каждое
из
которых
представляет
со
-
бой
сумму
квадратов
двух
целых
чисел
. 
6.
Доказать
, 
что
при
любых
n
∈
N
сумма
1 + 2 + … + 
n
не
может
оканчиваться
цифрами
2, 4, 7 
и
9. 
7.
Доказать
, 
что
если
a
, 
b
, 
c
, 
d – 
взаимно
простые
с
m
=
ad – bc
числа
и
ax + by
делится
на
m
для
некоторых
x
, 
y
∈
Z
, 
то
cx
+
dy 
также
делится
на
m
. 
8.
Доказать
, 
что
сумма
квадратов
пяти
нечетных
чисел
не
является
полным
квадратом
. 
9.
p
, 
q
– 
простые
числа
, 
p 
> 
q 
> 5. 
Доказать
, 
что
p
4
– 
q
4
делится
на
240. 
10.
Доказать
, 
что
число
n
∈
N
, 
n
> 4, 
является
простым
числом
тогда
и
только
тогда
, 
когда
(
n
–1)! 
не
делится
на
n
. 
11.
Доказать
бесконечность
числа
простых
чисел
: 
а
) 
вида
4
k
+ 3; 

89 
б
) 
вида
6
k
+ 5(
k
∈
Z
+
). 
12.
Доказать
, 
что
при
любых
r
∈
Q
, 
r 
≠
1, 0, 
числа
вида
r
+ 1/
r
не
являются
целыми
. 
13.
Доказать
, 
что
при
любых
n 
> 1 
числа
вида
1 + 1/2 + 1/3 + … 1/
n
не
являются
целыми
. 
14.
Написать
каноническое
разложение
числа
50! 
15.
p
1
, 
p
2
— 
два
последовательных
нечетных
числа
, 
p
1
+
p
2
=
2
q
. 
Доказать
, 
что
число
q 
составное
. 
16.
Доказать
, 
что
числа
10, 11, 12 
не
могут
быть
членами
одной
геометрической
прогрессии
. 
17.
Доказать
, 
что
число
lg 2 
число
иррациональное
. 
18.
Доказать
, 
что
длины
двух
катетов
прямоугольного
треугольника
с
целочисленными
сторонами
не
могут
выражаться
простыми
числами
-
близнецами
. 
19.
Доказать
, 
что
a
2
+
ab 
+ 
b
2
делится
на
9, 
если
только
a
, 
b
делятся
на
3 
одновременно
. 
20.
Сформулировать
и
доказать
признаки
делимости
на
3 
и
на
7 
в
восьмеричной
системе
счисления
. 
21.
Сократить
дробь
116690151/427863887. 
22.
Доказать
, 
что
квадрат
любого
нечетного
числа
оканчивается
в
восьмеричной
системе
счисления
цифрой
1. 
23.
Коэффициентами
многочлена
f 
(
x
) 
являются
натуральные
числа
, 
меньшие
, 
чем
10, 
f 
(10) 
=
19981999. 
Мож
-
но
ли
по
этим
данным
восстановить
многочлен
? 
24.
Решить
в
N
уравнения
ϕ
(
x
) 
=
x
/3 
и
ϕ
(
x
) 
=
x
/4 (
здесь
ϕ
– 
функция
Эйлера
). 
25.
Доказать
, 
что
ϕ
(2
n
) 
равняется
ϕ
(
n
) 
или
2
ϕ
(
n
). 
Найти
критерий
для
каждого
из
этих
случаев
. 
26.
Доказать
, 
что
при
n 
> 2 
множество
{1/
n
, 2/
n
, … , (
n
– 1)/
n
} 
содержит
четное
число
несократимых
дробей
. 
27.
Доказать
, 
что
если
числа
a
и
b – 
взаимно
простые
, 
имеющие
разную
четность
, 
то
при
любых
n
∈
N
числа
(
a
+ 
b
)
n
и
(
a
– 
b
)
n
также
взаимно
простые
. 
28.
Пусть
d – 
НОД
чисел
a
1
, 
a
2
, …, 
a
n
. 
Как
найти
представление
d
в
виде
линейной
комбинации
чисел
a
1
, 
a
2
, … 
, 
a
n
(
n
> 2)? 
29.
Доказать
, 
что
если
d
=
(
a
, 
b
), 
d
′
=
(
a
′
, 
b
′
), 
то
dd
′
=
(
aa
′
, 
ab
′
, 
a
′
b
, 
bb
′
). 
30.
Доказать
, 
что
если
число
a
совершенное
натуральное
число
, 
то
∑
k
a
k
M
/
1
=
2. 
31.
Доказать
, 
что
1
n
+ 2
n
+ 3
n
+ 4
n
делится
на
5 
тогда
и
только
тогда
, 
когда
n 
не
делится
на
4. 
32.
Доказать
, 
что
сотая
степень
любого
целого
числа
либо
делится
на
125, 
либо
дает
при
делении
на
125 
оста
-
ток
1. 
33.
Доказать
: (
∀
x
)(
x
7
≡
x
(mod 42)). 
34.
Доказать
: 







≡
≡
≡
)
mod
(
......
..........
..........
),
mod
(
),
mod
(
2
1
k
m
b
a
m
b
a
m
b
a
⇔
a
≡
b
(mod
 M
), 
где
M
=
[
m
1
, 
m
2
, ... 
m
k
]. 
35.
Верно
ли
, 
что
если
ac
≡
bd
(mod
 m
) 
и
a
≡
b
(mod
 m
), 
то
c
≡
d
(mod
 m
)? 
А
если
(
a, m
) 
=
1? 
36.
Доказать
, 
что
если
p
1
и
p
2
— 
различные
простые
числа
, 
то
)
mod
(
1
2
1
1
2
1
1
1
2
p
p
p
p
p
p
≡
+
−
−
.
37.
Пусть
p
– 
простое
число
, 
p>2, 
m
, 
n
∈
N
. 
Доказать
:
a
(
p
–1)
m
+ 
a
(
p
–1)
n
≡
0 (mod
 p
) 
⇔
a
≡
0 (mod
 p
). 
38.
Доказать
: 
если
p 
>
2, 
то
p
– 
простое
число
⇔
(
p
–2)! 
≡
1(mod
 p
). 
39.
Сколько
решений
имеет
сравнение
x
ϕ
(
m
)
≡
1(mod
 m
)? 
40.
Решить
в
натуральных
числах
уравнение
x
+ 1/(
y
+ 1/
z
) 
=
10/7. 
41.
Доказать
, 
что
дробь
n
/(
n
2
+ 
n
+ 1) 
обращается
в
чисто
периодическую
десятичную
дробь
(
n 
≥
1). 
42.
Существует
ли
основание
системы
счисления
 g, 
в
которой
дробь
7/15 
представляется
в
виде
: 
а
) 
чисто
периодической
;
б
) 
конечной
;
в
) 
смешанной
периодической
;
г
) 
непериодической
дроби
? 
43.
Не
обращая
числа
5/48 
в
g
-
ичную
дробь
, 
определить
вид
этой
дроби
и
число
цифр
в
периоде
и
предперио
-
де
(
в
самой
дроби
, 
если
она
конечная
) 
для
g =
3, 6, 7. 
44.
Доказать
, 
что
сумма
конечной
и
правильной
чисто
периодической
дробей
не
может
быть
целым
числом
. 
45.
Доказать
, 
что
если
знаменатель
обыкновенной
дроби
взаимно
прост
с
числом
6, 
то
в
четверичной
системе
счисления
длина
периода
этой
дроби
делится
на
3. 
46.
Доказать
, 
что
при
любых
n 
>
1 
дробь
1/(
n
3
–
n
+1) 
представляется
в
виде
чисто
периодической
шестеричной
дроби
. 
47.
Доказать
, 
что
если
знаменатель
правильной
обыкновенной
дроби
в
некоторой
системе
счисления
оканчи
-
вается
цифрой
1, 
то
данная
дробь
в
этой
системе
счисления
будет
чисто
периодической
. 

90 
48.
Доказать
, 
что
произведение
двух
первообразных
корней
по
модулю
простого
числа
p 
>
2 
не
может
быть
первообразным
корнем
по
этому
модулю
. 
49.
Доказать
, 
что
если
ord
1
m
a
=
k
1
, ord
2
m
a
=
k
2
, (
m
1
, 
m
2
) 
=
1 
и
m
=
m
1
m
2
, 
то
ord
m
a
=
[
k
1
, 
k
2
]. 
50.
Пользуясь
предыдущей
задачей
, 
доказать
, 
что
если
m
нечетное
число
и
m
=
m
1
m
2
, 
где
m
1
, 
m
2 
< 
m
, 
то
не
су
-
ществует
первообразных
корней
по
модулю
m
. 
51.
а
) 
Доказать
, 
что
не
существует
первообразных
корней
по
модулю
m 
=
2
m
1
m
2
,
где
m
1
и
m
2
нечетные
числа
, 
отличные
от
1; 
б
) 
Доказать
, 
что
не
существует
первообразных
корней
по
модулю
m=
2
k
m
1
,
где
k 
> 1, 
m
1
нечетно
и
m
1
≠
1;
в
) 
Доказать
, 
что
по
модулю
m
=
2
k
, 
где
k
>2, 
первообразные
корни
также
не
существуют
; 
г
) 
По
каким
модулям
могут
существовать
первообразные
корни
? 

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: