Процессы управления и устойчивость

где A есть максимальная цена, возможная на рынке. Также прини-

мается, что стоимость производства одной единицы продукции есть

c для обеих фирм и A > c по причине положительности доходов.

Сначала рассмотрим игру с одной фирмой. После сравнения при-

были для налогообложения с чистой прибыли и с общей выручки

получаем следующее выражение для прибыли фирмы:

a) если A > 5c/3, то

π(q) =











85

100 ((A − q)q − cq), если q > A − 5c/3,

94

100 (A − q)q − cq,

если q ≤ A − 5c/3;

b) если A ≤ 5c/3, то

π(q) =

85

100

((A − q)q − cq),

где q – количество продукта, произведенного фирмой.

Теорема 1. Для одношаговой игры выбора налоговой ставки для

одной фирмы:

a) если A ≤ (5/3 +

√

7990/141)c, тогда фирма выбирает налогообло-

жение с чистой прибыли с оптимальным выпуском q

p

∗

=

A

2

−

c

2

и

соответствующей прибылью

17

80

(A − c)

2

;

b) если A > (5/3 +

√

7990/141)c, тогда фирма выбирает налогообло-

жение с общей выручки с оптимальным выпуском q

t

∗

=

A

2

−

25

47

c и

соответствующей прибылью

47

200

A

2

+

25

94

c

2

−

1

2

Ac.

Перейдем к одношаговой игре для двух фирм. Пусть первая и

вторая фирмы производят q

1

и q

2

изделий соответственно, тогда по-

лучаем следующие функции прибыли:

если q

2

< A − 5c/3, тогда

π

1

(q

1

, q

2

) =











85

100 ((A − q

1

− q

2

)q

1

− cq

1

), если q

1

> A − q

2

− 5c/3,

94

100 (A − q

1

− q

2

)q

1

− cq

1

,

если q

1

≤ A − q

2

− 5c/3;

если q

2

≥ A − 5c/3, тогда

512

π

1

(q

1

, q

2

) =

85

100

((A − q

1

− q

2

)q

1

− cq

1

);

если q

1

< A − 5c/3, тогда

π

2

(q

1

, q

2

) =











85

100 ((A − q

1

− q

2

)q

2

− cq

2

), если q

2

> A − q

1

− 5c/3,

94

100 (A − q

1

− q

2

)q

2

− cq

2

,

если q

2

≤ A − q

1

− 5c/3;

если q

1

≥ A − 5c/3, тогда

π

2

(q

1

, q

2

) =

85

100

((A − q

1

− q

2

)q

2

− cq

2

).

По аналогии с предыдущей теоремой получается следующая

Теорема 2. Для одношаговой игры выбора налоговой ставки для

двух фирм:

a) если A ≤ 135c/47, тогда фирма выбирает налогообложение с чи-

стой прибыли с оптимальным выпуском q

p

∗

=

A

2

−

c

2

и соответ-

ствующей прибылью

17

80

(A − c)

2

;

b) если A > 135c/47, тогда фирма выбирает налогообложение с об-

щей выручки с оптимальным выпуском q

t

∗

=

A

2

−

25

47

c и соответ-

ствующей прибылью

47

200

A

2

+

25

94

c

2

−

1

2

Ac.

3. Двухшаговая игра выбора налоговой ставки. В данном

разделе рассматривается дуополия, где две фирмы соревнуются в

двухшаговом сценарии выбора налоговой ставки. На первом шаге

фирмы планируют свой выпуск в рамках модели Курно для каждой

комбинации налоговых ставок, и на втором шаге они выбирают, ка-

кую налоговую ставку лучше использовать. Поэтому на втором шаге

каждая фирма имеет две чистых стратегии: выбрать налогообложе-

ние с чистой прибыли (P ) или выбрать налогообложение с общей

выручки (T ), а игра описывается следующей биматрицей:

P

T

P

(a

11

, a

11

)

(a

12

, a

21

)

T

(a

21

, a

12

) (a

22

, a

22

),

513

где

a

11

=

17

180

(A − c)

2

,

a

21

=

47

450

A

2

−

53

225

Ac +

2809

21150

c

2

,

a

12

=

17

180

A

2

−

374

2115

Ac +

8228

99405

c

2

,

a

22

=

47

450

A

2

−

2

9

Ac +

50

423

c

2

.

Объясним, например, как получается элемент a

11

, т.е. когда фир-

мы выбирают налогообложение с чистой прибыли. Тогда функции

прибыли фирм в рамках модели Курно имеют следующий вид:

π

pp

1

=

85

100

((A − q

1

− q

2

)q

1

− cq

1

),

π

pp

2

=

85

100

((A − q

1

− q

2

)q

2

− cq

2

).

Каждая фирма максимизирует свой доход, устанавливая оптималь-

ный выпуск на рынке. Из рыночных условий первого порядка полу-

чаем следующие равновесные количества товара

q

pp

∗1

= q

pp

∗2

=

A − c

3

.

После подстановки равновесных количеств в функции прибыли по-

лучаем следующие равновесные прибыли

a

11

= π

pp

∗1

= π

pp

∗2

=

17

180

(A − c)

2

.

Теорема 3. Пусть

t

1

=

2

47

(

160

3

−

1

3

√

7990) ≈ 1, 0016,

t

2

=

7

3

−

2

141

√

7990 ≈ 1, 065,

t

3

=

2

47

(

160

3

+

1

3

√

7990) ≈ 3, 54,

t

4

=

7

3

+

2

141

√

7990 ≈ 3, 6,

t

1∗

=

5

3

−

√

7990

141

≈ 1, 0327,

t

2∗

=

5

3

+

√

7990

141

≈ 2, 3006.

Тогда

a) (P,P) является равновесием по Нэшу тогда и только тогда, ко-

гда A ∈ [t

2

c, t

4

c];

514

b) (T,T) является равновесием по Нэшу тогда и только тогда, ко-

гда A ≤ t

1

c или A ≥ t

3

c;

c) (T,P) является равновесием по Нэшу тогда и только тогда, ко-

гда A ∈ [t

1

c, t

2

c];

d) (P,T) является равновесием по Нэшу тогда и только тогда, ко-

гда A ∈ [t

1

c, t

2

c];

e) (P,P) доминирует по Парето (T,T) тогда и только тогда, когда

A ∈ [t

1∗

c, t

2∗

c].

4. Заключение. В первую очередь рассмотрим полученные рав-

новесия для двухшаговой игры:

a) если A > t

3

c, тогда разумно только одно равновесие по Нэшу –

(T ,T ), так как при A ∈ [t

3

c, t

4

c] оно доминирует равновесие по Нэшу

(P ,P );

b) если A ∈ (t

2

c, t

3

c), то имеется единственное равновесие по Нэшу

(P ,P );

c) в силу неотрицательности дохода и равновесного выпуска для на-

логообложения с общей выручки должно выполняться неравенство

A > 50c/47. Если A ∈ (50c/47, t

2

c), то имеется два равновесия (P, T )

и (T, P ), ситуация становится весьма неопределенной и конкурент-

ной при малых прибылях.

Поэтому, несмотря на наличие множества равновесий по Нэшу в

двухшаговой игре, на самом деле только два из них являются ра-

зумными, а именно (T ,T ) и (P ,P ), а точка перехода от налогооб-

ложения с чистой прибыли на налогообложение с общей выручки

определяется единственным образом и равна t

3

c, что больше, чем

точка перехода для случая одношаговой игры. Это объясняется по-

явлением игровой ситуации с неопределенностью в двухшаговой иг-

ре и показывает готовность фирм получать меньше прибыли, чтобы

чувствовать себя на рынке более стабильно.

Литература

1. Нарежный В.В. Управление малым предприятием: выгоден ли

переход с 2003 г. на упрощенную систему налогообложения? //

Финансовая газета, ЭКСПО, № 10, 2002. С. 15–18.

2. Налоговый кодекс Российской Федерации. Закон № 346.20.

3. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.:

Высш. шк., Книжный дом "Университет", 1998. 304 с.

515

Ганькова А.Б.

Санкт-Петербургский государственный университет

Динамическое доминирование решений в моделях

совместного осуществления проектов

Рекомендовано к публикации профессором Захаровым В.В.

1. Введение. Методология сравнения решений при различных

значениях весовых коэффициентов была построена в [3] на основе

подхода, изложенного в [2]. Опираясь на данную методологию, в [3]

задача сравнения решений кооперативной игры была сведена к за-

даче многокритериального оценивания, предложен алгоритм срав-

нения решений и дано определение доминирования решений. Там

же была проиллюстрирована возможность такого подхода на при-

мере игры трех лиц. В данной статье рассматривается вопрос дина-

мического доминирования и динамической устойчивости решений.

Данные свойства обеспечивают реализуемость решений в многоша-

говых и динамических кооперативных играх. Также рассмотрены

два примера, в одном из них показана возможность одновременного

выполнения данных свойств.

2. Динамическое доминирование. Рассмотрим многошаго-

вую кооперативную игру (N, v) с v : 2

N

× T → R, где T = {t

0

, . . . , t

m

}

множество шагов (или моментов времени), v(∅, t) = 0 для каждо-

го t ∈ T, и v(S, t

m

) = 0 для всех S ∈ 2

N

; v(N, t) строго убы-

вающая над T. Положим, что ξ и η – одноточечные оптимальные

значения таких игр, т.е. каждому моменту времени t

i

∈ T соответ-

ствуют распределения ξ(t

i

) и η(t

i

), делящие v(N, t

i

) среди n игро-

ков. Предположим также, что ξ(t

0

) доминирует η(t

0

), согласно опре-

делению, введенному в [3]. Тогда в начале игры игроки выбирают

оптимальный принцип ξ. Возникает вопрос, как обеспечить устой-

чивость этого решения, а именно, как распределить максимальную

часть

i∈N

α

i

(t) разности v(N, t

0

) − v(N, t) в момент t ∈ T и одно-

временно сохранить доминирование. При распределении на каждом

шаге

i∈N

α

i

(t) изменяется значение характеристической функции

516

от максимальной коалиции в каждый момент времени. Тогда полу-

чаем v

α

(N, t)=v(N, t

0

) −

i∈N

α

i

(t). Будем говорить, что ξ динами-

чески доминирует η в многошаговой кооперативной игре (N, v), если

в каждый момент времени имеет решение следующая задача линей-

ного программирования:















max

i∈N

α

i

(t),

ξ(t

0

) − α(t) = ξ(t),

i∈N

α

i

(t)

v(N, t

0

) − v(N, t),

E Q

w(r)

(ξ(t

0

) − α(t)) − E Q

w(r)

(η(v

α

(N, t)))

0,

(1)

где величина E Q

w(r)

(·) определена в [3]. Согласно [3], в случае равно-

мерного распределения на множестве весовых коэффициентов w(r)

последнее неравенство системы (1) можно записать следующим об-

разом:

M (2

n

−2,k)

l=1

Q

w(l)

(ξ(t

0

) − α(t))

M (2

n

− 2, k)

−

M (2

n

−2,k)

l=1

Q

w(l)

(η(v

α

(N, t)))

M (2

n

− 2, k)

0,

получаем:

M (2

n

−2,k)

l=1

(Q

w(l)

(ξ(t

0

) − α(t)) − Q

w(l)

(η(v

α

(N, t))))

0.

Используя формулу (2) из [3], имеем:

M (2

n

−2,k)

l=1

2

n

−2

j=1

w

j

(l)(q

j

(ξ(t

0

) − α(t)) − q

j

(η(v

α

(N, t))))

0.

Следовательно, в случае равномерного распределения на множе-

стве весовых коэффициентов задача линейного программирования

(1) принимает вид:















max

i∈N

α

i

(t),

ξ(t

0

) − α(t) = ξ(t),

i∈N

α

i

(t)

v(N, t

0

) − v(N, t),

M (2

n

−2,k)

l=1

2

n

−2

j=1

w

j

(l)(q

j

(ξ(t

0

) − α(t)) − q

j

(η(v

α

(N, t))))

0,

где нормализованный эксцесс для коалиции S ∈ 2

N

(единственным

образом соответствующей номеру j) будет следующим:

517

q

j

(ξ(t

0

) − α(t)) =

i∈S

(ξ

i

(t

0

) − α

i

(t)) − v(S, t)

v(N, t) −

i∈S

α

i

(t) − v(S, t)

.

Концепция решения φ(t) динамической кооперативной игры на-

зывается динамически устойчивой, если для каждого вектора выиг-

рышей ξ из φ(t) и для всех τ таких, что t

0

τ

t

m

существует

вектор α(τ )

0: ξ(t

0

) − α(τ ), принадлежащий φ(τ ) [1].

Добавим в систему (1) еще одно условие:























max

i∈N

α

i

(t),

i∈N

α

i

(t)

v(N, t

0

) − v(N, t),

E Q

w(r)

(ξ(t

0

) − α(t)) − E Q

w(r)

(η(v

α

(N, t)))

0,

ξ(t

0

) − α(t) = ξ(t),

α

i

(t)

0,

∀ i ∈ N.

Если полученная задача линейного программирования имеет реше-

ние в каждый момент t ∈ T, то для ξ выполняется и динамическая

устойчивость, и динамическое доминирование.

3. Динамическое доминирование и динамическая устой-

чивость. Примеры. Рассмотрим две многошаговые кооперативные

игры трех лиц. Предположим, что нет информации о весовых ко-

эффициентах, т.е. Inf o = ∅ [3]. Сравним вектор Шепли и марги-

нальный элемент подъядра в каждый момент времени по алгоритму,

представленному в [3]. Как и ранее в [3], возьмем k = 10.

Характеристическая функция первой игры ({1, 2, 3} , v(t)) , t ∈

{t

0

, . . . , t

4

}, представлена в таблице 1.

Таблица 1. Характеристическая функция ({1, 2, 3} , v(t)).

t

0

t

1

t

2

t

3

t

4

v({1}) = v({2}) = v({3})

0

0

0

0

0

v({1, 2})

0,4

0,31

0,22

0,113

0

v({1, 3})

0,9

0,73

0,52

0,28

0

v({2, 3})

0,2

0,153

0,105

0,053

0

v({1, 2, 3})

1

0,81

0,586

0,318

0

В таблице 2 представлены результаты сравнения вектора Шепли

и маргинального элемента подъядра. Легко увидеть, что маргиналь-

ный элемент подъядра и вектор Шепли динамически устойчивы, т.к.

Sh(t) и M SC(t) убывают по t. Более того, маргинальный элемент

518

подъядра динамически доминирует вектор Шепли в данной игре,

т.к. EQ

w(r)

(Sh(t)) < EQ

w(r)

(M SC(t)) для любого t ∈ T.

Таблица 2. Результаты сравнения маргинального элемента подъядра и

вектора Шепли для ({1, 2, 3} , v(t)).

Sh(t)

M SC(t)

t

0

(0,48(3); 0,1(3); 0,38(3))

(0,597; 0,015; 0,388)

t

1

(0,392(3); 0,1038(3); 0,3138(3))

(0,481; 0,012; 0,317)

t

2

(0,283(6); 0,0761(6); 0,2261(6))

(0,3485; 0,0099; 0,2276)

t

3

(0,1538(3); 0,040(3); 0,1238(3))

(0,18786; 0,00554; 0,1246)

Таблица. Продолжение таблицы 2

EQ

w(r)

(Sh(t))

EQ

w(r)

(M SC(t))

P (M SC, Sh(t))

t

0

0,2373

0,4087

0,7499

t

1

0,2462

0,414

0,7505

t

2

0,2730

0,4172

0,7455

t

3

0,2923

0,4229

0,7435

Характеристическая функция второй игры ({1, 2, 3} , w(t)) , t ∈

{t

0

, . . . , t

4

}, представлена в таблице 3.

Таблица 3. Характеристическая функция ({1, 2, 3} , w(t)).

t

0

t

1

t

2

t

3

t

4

w({1}) = w({2}) = w({3})

0

0

0

0

0

w({1, 2})

0,2

0,153

0,105

0,053

0

w({1, 3})

0,8

0,6417

0,4584

0,246

0

w({2, 3})

0,7

0,65625

0,525

0,3

0

w({1, 2, 3})

1

0,81

0,586

0,34

0

Из таблицы 4 видно, что вектор Шепли динамически устойчив, а

маргинальный элемент не является динамически устойчивым. Одна-

ко, маргинальный элемент динамически доминирует вектор Шепли

в этой игре, т.к. EQ

w(r)

(Sh(t)) < EQ

w(r)

(M SC(t)) для любого t ∈ T.

Таблица 4. Результаты сравнения маргинального элемента подъядра и

вектора Шепли для ({1, 2, 3} , w(t)).

Sh(t)

M SC(t)

t

0

(0,2(6); 0,21(6); 0,51(6))

(0,1915; 0,0851; 0,7234)

t

1

(0,1837; 0,190975; 0,435325)

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: