Процессы управления и устойчивость

Решением задачи является некоторое в общем случае нечеткое

множество выбираемых решений SelX (SelX ⊂ X) с функцией при-

надлежности λ

S

X

(·).

Задачу можно сформулировать и в терминах векторов. С этой

целью через SelY обозначим нечеткое множество выбираемых век-

торов, функция принадлежности которого задана на R

m

и естествен-

ным образом согласована с функцией принадлежности нечеткого

множества выбираемых решений:

λ

S

Y

(y) =

λ

S

X

(x), если y = f (x) при некотором x ∈ X,

0, если y ∈ R

m

\ Y.

Функцией µ

X

(·, ·) индуцируется функция принадлежности µ

Y

(·,·)

нечеткого отношения предпочтения на множестве Y : µ

Y

(y , y ) =

µ

X

(x , x ) при y = f (x ), y = f (x ), x , x ∈ X.

В свою очередь, функция принадлежности нечеткого отношения

предпочтения, заданного на множестве векторов, порождает функ-

цию принадлежности нечеткого отношения предпочтения на множе-

стве возможных решений, факторизованном при помощи отношения

равенства на множестве векторов.

В итоге задача нечеткого многокритериального выбора (в терми-

нах векторов) < Y, µ

Y

> включает:

• множество возможных векторов Y ;

• нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежно-

сти µ

Y

(·, ·), заданной на Y и принимающей значения в пределах

числового отрезка [0, 1].

Эта задача заключается в нахождении нечеткого множества вы-

бираемых векторов SelY с функцией принадлежности λ

S

Y

(y).

Сформулированные выше две задачи нечеткого многокритери-

ального выбора (в терминах решений и в терминах векторов) эк-

вивалентны в том смысле, что благодаря указанной выше согласо-

ванности перечисленных функций принадлежности все результаты,

полученные в терминах одной из этих задач, могут быть легко пере-

формулированы в терминах другой задачи.

Основные положения в теории нечеткого многокритери-

ального выбора. Сформулируем ряд ограничений в виде аксиом,

устанавливающих определенный общий принцип произвольного "ра-

зумного" поведения ЛПР в процессе принятия решений.

495

Аксиома 1. Для всякой пары решений x , x ∈ X, для кото-

рой выполняется µ

X

(x , x ) = µ

∗

∈ [0, 1], справедливо неравенство

λ

S

X

(x )

1 − µ

∗

.

Аксиома 2. Существует иррефлексивное и транзитивное

нечеткое отношение µ(·, ·), сужение которого на множество Y

совпадает с отношением µ

Y

(·, ·).

Говорят, что критерий f

i

согласован с отношением предпочте-

ния, если для любых векторов y , y ∈ R

m

из выполнения соотноше-

ний y =(y

1

,. . ., y

i−1

, y

i

, y

i+1

,. . ., y

m

), y =(y

1

, . . . , y

i−1

, y

i

, y

i+1

, . . . , y

m

),

y

i

> y

i

, следует равенство µ(y , y ) = 1.

Аксиома 3. Каждый из критериев f

1

, . . . , f

m

согласован с от-

ношением предпочтения.

Аксиома 4. Нечеткое отношение с функцией принадлежности

µ(·, ·) является инвариантным относительно линейного положи-

тельного преобразования.

Напомним [3] понятие множества парето-оптимальных реше-

ний:

P

f

(X) = {x

∗

∈ X| ∃ x ∈ X : f (x) ≥ f (x

∗

)} ,

где выполнение неравенства f (x) ≥ f (x

∗

) означает справедливость

покомпонентных неравенств f

i

(x)

f

i

(x

∗

), i = 1, . . . , m, причем

f (x) = f (x

∗

). Функция принадлежности множества Парето имеет

следующий вид:

λ

P

X

(x) =

1, если x ∈ P

f

(X),

0, в противном случае.

При выполнении аксиом 1–3 для любого непустого нечеткого мно-

жества SelX cправедливо включение:

SelX ⊂ P

f

(X)

или, что тоже самое, λ

S

X

(x)

λ

P

X

(x), ∀x ∈ X. Данное включе-

ние выражает нечеткий принцип Эджворта – Парето: любой нечет-

кий выбор должен осуществляться в пределах множества парето-

оптимальных решений.

Относительная важность критериев. Пусть задано множе-

ство номеров критериев I = {1, . . . , m}.

Будем говорить, что критерий i важнее критерия j (i, j ∈ I,

i = j), с коэффициентом относительной важности θ

ij

∈ (0, 1) и

496

степенью уверенности µ

∗

∈ (0, 1], если для любых векторов y , y ∈

R

m

, для которых выполняется

y

i

> y

i

, y

j

> y

j

, y

s

= y

s

, ∀s ∈ I \ {i, j};

y

i

− y

i

= w

i

, y

j

− y

j

= w

j

,

имеют место равенства θ

ij

=

w

j

w

i

+w

j

, µ

Y

(y , y ) = µ

∗

.

На основе результатов работы [4] можно сформулировать следу-

ющие две леммы.

Лемма 1. Если нечеткое отношение µ

Y

(·, ·), заданное на про-

странстве R

m

удовлетворяет аксиомам 2–4, то оно является ко-

нусным отношением с нечетким острым выпуклым конусом K, ко-

торый с единичной степенью принадлежности включает неотри-

цательный ортант R

m

+

= {y ∈ R

m

|y ≥ 0

m

} и с нулевой степенью

принадлежности содержит начало координат.

Лемма 2. Пусть выполняется аксиома 4. Критерий i важ-

нее критерия j (i, j ∈ I, i = j) с заданным коэффициентом θ

ij

и степенью уверенности µ

∗

∈ (0, 1] тогда и только тогда, ко-

гда равенство µ(y, 0

m

) = µ

∗

справедливо для вектора y ∈ R

m

, где

y

i

= 1 − θ

ij

, y

j

= −θ

ij

, y

s

= 0, ∀s ∈ I \ {i, j}.

Набор векторов y

i

(y

i

∈ N

m

), i = 1, . . . , l (l

1), вместе с набором

чисел µ

1

, . . . , µ

l

∈ (0, 1] задает непротиворечивую нечеткую инфор-

мацию об относительной важности критериев, если существует хотя

бы одно нечеткое отношение предпочтения µ(·, ·), удовлетворяющее

аксиомам 2–4 и такое, что µ(y

i

, 0

m

) = µ

i

∈ (0, 1], i = 1, . . . , l.

Сформулируем лемму и теорему, представляющие собой основ-

ной результат данной статьи.

Лемма. Набор векторов y

r

таких, что y

r

i

r

= 1 − θ

i

r

k

, y

r

k

=

−θ

i

r

k

, y

r

s

= 0, ∀s ∈ I \ {i

r

, k}, r = 1, . . . , l, вместе с набором чисел

µ

1

, . . . , µ

l

∈ (0, 1] задает непротиворечивую нечеткую информацию

об относительной важности критериев.

Теорема. Пусть заданы критерии i

1

, i

2

, . . . , i

l

, k ∈ I, l ≤ m − 1.

Предположим, что выполнены аксиомы 1–4 и имеется набор инфор-

мации об относительной важности, состоящий из l сообщений о

том, что i

1

критерий важнее k-го с коэффициентом относитель-

ной важности θ

i

1

k

и степенью уверенности µ

1

∈ (0, 1], i

2

крите-

рий важнее k-го с коэффициентом относительной важности θ

i

2

k

и степенью уверенности µ

2

∈ (0, 1], . . . , i

l

критерий важнее k-го с

497

коэффициентом относительной важности θ

i

l

k

и степенью уверен-

ности µ

l

∈ (0, 1], и известно, что µ

1

≥ . . . ≥ µ

l

. Тогда для любых

непустых множеств выбираемых векторов и решений выполняют-

ся включения

λ

S

Y

(y)

λ

M

Y

(y)

λ

P

Y

(y), ∀y ∈ Y,

где λ

S

Y

(y) — функция принадлежности нечеткого множества выби-

раемых векторов, λ

P

Y

(y) — функция принадлежности множества

Парето, а λ

M

Y

(y) — функция принадлежности, определяемая равен-

ствами

λ

M

Y

(y) = 1 − sup

z∈Y

ζ(z, y), ∀y ∈ Y,

ζ(z, y)=











































1, если z

0

−y

0

∈ R

m

+

,

µ

1

, если z

1

−y

1

∈ R

m

+

, z

0

−y

0

/

∈ R

m

+

,

µ

2

, если z

2

−y

2

∈ R

m

+

, z

r

−y

r

/

∈ R

m

+

, r = 0, 1,

. . .

µ

l

, если z

l

−y

l

∈ R

m

+

, z

r

−y

r

/

∈ R

m

+

, r = 0, . . . , l − 1,

0, в остальных случаях,

∀y

0

, z

0

∈ Y,

y

0

= z

0

,

y

r

= (y

0

1

, . . . , y

0

k−1

, y

0

k

+

r

s=1

θ

i

s

k

1 − θ

i

s

k

y

0

i

s

, y

0

k+1

, . . . , y

0

m

),

z

r

= (z

0

1

, . . . , z

0

k−1

, z

0

k

+

r

s=1

θ

i

s

k

1 − θ

i

s

k

z

0

i

s

, z

0

k+1

, . . . , z

0

m

),

где r = 1, . . . , l.

Замечание.

Анализ формулировки теоремы показывает, что

для построения нечеткого множества с функцией принадлежно-

сти λ

M

Y

(y) следует поочередно решить l + 1 (четких) многокрите-

риальных задач. Начать следует с нахождения множества парето-

оптимальных векторов в многокритериальной задаче, содержащей

исходную векторную функцию f и множество возможных решений

X. После чего всем векторам найденного множества Парето нуж-

но присвоить степень принадлежности, равную единице, а осталь-

ным векторам – нулевую степень принадлежности. Затем на том же

самом множестве возможных решений X необходимо рассмотреть

498

вторую многокритериальную задачу с новой векторной функцией,

имеющей компоненты f

s

для всех s ∈ I \ {k} и k-й компонентой вида

f

k

+

θ

i1k

1−θ

i1k

f

i

1

. Найдя множество парето-оптимальных векторов для

последней задачи, всем векторам "предыдущего" множества Парето,

которые не попали в найденное множество Парето, присвоить сте-

пень принадлежности 1−µ

1

. Далее, на множестве X следует рассмот-

реть третью многокритериальную задачу, имеющую исходные ком-

поненты f

s

для всех s ∈ I \{k}, и k-ю компоненту вида f

k

+

θ

i1k

1−θ

i1k

f

i

1

+

θ

i2k

1−θ

i2k

f

i

2

. После нахождения множества парето-оптимальных векто-

ров в этой задаче, векторам "предыдущего" множества Парето, ко-

торые не попали в "новое" множество Парето, присваивается степень

принадлежности 1 − µ

2

и т.д. Последняя (l + 1)-я многокритериаль-

ная задача должна иметь компоненты f

s

для всех s ∈ I \ {k} и k-ю

компоненту вида f

k

+

θ

i1k

1−θ

i1k

f

i

1

+

θ

i2k

1−θ

i2k

f

i

2

+ . . . +

θ

ilk

1−θ

ilk

f

i

l

. После на-

хождения множества парето-оптимальных векторов в этой задаче,

векторам "предыдущего" множества Парето, которые не попали в

"новое" множество Парето присваивается степень принадлежности

1 − µ

l

.

Таким образом, будет построено нечеткое множество векторов,

которое будет представлять собой некоторую оценку сверху для неиз-

вестного множества выбираемых векторов SelY в том смысле, что

любое выбираемое множество векторов не должно "выходить за пре-

делы" построенной оценки сверху.

Литература

1. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Inform. Control, 1965. Vol. 8. P. 338-353.

2. Nogin V.D. Upper estimate for fuzzy set of nondominated solutions

// Fuzzy sets and systems, 1994. P. 303–315.

3. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: ко-

личественный подход (2-е изд., испр. и доп.). М.: Физматлит, 2005.

176 с.

4. Ногин В.Д. Принцип Эджворта-Парето и относительная важ-

ность критериев в случае нечёткого отношения предпочтения //

Журнал вычислительной математики и математической физики,

2003. Т. 43, №11. С. 1676-1686.

499

Боровцова М.В., Кузютин Д.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Международный банковский институт

Построение абсолютного равновесия

в теоретико-игровой модели

монополистической конкуренции

1. Предпосылки и формализация QP -модели стратеги-

ческой конкуренции в условиях вертикальной дифферен-

циации. В статье представлены результаты исследования одной

теоретико-игровой модели монополистической конкуренции ("ка-

чество–цена") фирм в условиях вертикальной дифференциации.

При этом построения опираются на следующие предпосылки (см.,

например, [2–5, 7]):

• потребители формируют и используют собственные оценки ка-

чества предлагаемых товаров, которые играют важную роль в

определении верхней границы цены, приемлемой для данных

потребителей, а также в выборе конкретного товара из числа

доступных;

• потребители в разной степени готовы платить более высокую

цену за повышение качества предлагаемого товара, т.е. имеют

определенную "склонность к качеству" как один из парамет-

ров неоднородности потребителей, однако все потребители ран-

жируют доступные на рынке товары-заменители одинаково в

случае равенства их цен;

• повышение потребительской оценки качества товара, предпо-

лагаемой некоторой фирмой, требует от этой фирмы соответ-

ствующего повышения издержек, как правило, и постоянных и

переменных;

• двумя важнейшими и тесно связанными компонентами страте-

гии фирмы, предлагающей определенный вид товара потреби-

телям, являются выбор желательного уровня потребительской

оценки качества данного товара ("выбор уровня качества") и

последующий выбор его цены.

Перейдем к более формализованному описанию двухшаговой

теоретико-игровой модели стратегической конкуренции "качество-

цена" (QP -модели).

500

На первом шаге (этап выбора уровней качества) две фирмы

(n = 2) одновременно выбирают уровни качества q ∈ [q, q] ⊂ [0, +∞)

собственного товара, достижение которого требует издержек F C(q).

С точки зрения каждого из конечного числа S потребителей товары

являются заменителями, причем в рассматриваемый временной про-

межуток потребитель может приобрести не более единицы какого-

либо из предложенных товаров.

На втором шаге (этап ценовой конкуренции) фирмы, зная вектор

выбранных на первом шаге уровней качеств q

2

≥ q

1

, одновременно

назначают цены на свои продукты p

1

и p

2

соответственно. Всюду

дальше индекс 2 выделяет фирму, выбравшую уровень качества не

меньший, чем уровень качества товара конкурента.

Реакция потребителей на предлагаемый набор товаров проявля-

ется в максимизации каждым потребителем своей функции потре-

бительского излишка следующего вида:

U

t

= max{tq

2

− p

2

, tq

1

− p

1

, 0},

где t ∈ [ t, t ] ⊂ [0, +∞) — единственный скалярный параметр неод-

нородности потребителей, характеризующий готовность данного по-

требителя платить за повышение качества товара (или склонность

к качеству). С точки зрения фирм параметр t является случайной

величиной, равномерно распределенной на [ t, t ].

Отмеченная реакция потребителей на наблюдаемый вектор

(q

1

, p

1

, q

2

, p

2

) приводит к самоотбору потребителей и однозначному

определению доли рынка D

1

и D

2

и дохода каждой фирмы. На

этом же этапе учитываются переменные издержки V C

i

(q

i

, D

i

). Це-

лью каждой фирмы считается максимизация прибыли от продажи

товаров за рассматриваемый период.

В качестве принципа оптимального поведения конкурирующих

фирм в подобных многошаговых теоретико-игровых моделях тра-

диционно выбирается абсолютное (совершенное в подыграх) равно-

весие SPE [6], при построении которого удобно использовать метод

обратной индукции [1].

Отметим сразу, что выбор конкурирующими фирмами одинако-

вого уровня качества (q

1

= q

2

) на первом шаге не может соответ-

ствовать оптимальному поведению, так как приводит к необходи-

мости выбора цен, равных предельным издержкам на втором ша-

ге (известный парадокс Бертрана). Поэтому всюду далее мы будем

501

предполагать наличие вертикальной дифференциации на рассмат-

риваемом рынке (q

2

> q

1

).

2. Аналитическое построение абсолютного равновесия

для частного случая QP -модели. Рассмотрим частный случай

формализованной выше QP -модели стратегической конкуренции в

условиях вертикальной дифференциации.

• q = 0.

• [ t, t ] = [0, 1], S = 1.

• F C(q) =

1

2

q

2

. Отметим, что именно постоянные затраты (арен-

да и (или) содержание помещений, приобретение и обслужива-

ние высокотехнологичных средств производства, вложения в

исследования и инновации, затраты на привлечение и повыше-

ние квалификации персонала и т.д.) как правило имеют тен-

денцию к нелинейному росту при повышении уровня качества

q.

• V C

i

(q

i

, D

i

) = M C(q

i

)D

i

, где M C(q

i

) = aq

i

, a ∈ [0, 1) — удель-

ные издержки фирмы i, выбравшей уровень качества q

i

.

Представленный выше частный случай будем называть QP (a)-

моделью, где параметр a характеризует скорость роста удельных

издержек при повышении уровня качества q.

В соответствии с методом обратной индукции построение абсо-

лютного равновесия в двухшаговой QP (a)-модели необходимо на-

чать с поиска ценового равновесия по Нэшу на втором шаге (этапе

ценовой конкуренции).

Пусть q

1

и q

2

— выбранные конкурирующими фирмами на первом

этапе QP (a)-модели уровни качества товаров.

Утверждение 1. На этапе ценовой конкуренции QP (a)-модели

существует единственный равновесный по Нэшу вектор цен:















p

∗

1

(q

1

, q

2

) =

q

1

(q

2

− q

1

+ 3aq

2

)

4q

2

− q

1

,

p

∗

2

(q

1

, q

2

) =

2(1 + a)q

2

2

− 2q

2

q

1

+ aq

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: