Процессы управления и устойчивость

капитала между двумя соседними моментами наступления страхо-

вых событий равен cτ .

Далее в рассмотрение вводится случайная величина Y = cτ −X —

прирост капитала за счет поступления премий за интервал времени

между соседними выплатами. Пусть Φ(y) — функция распределения

случайной величины Y .

Анализ динамики капитала привел Крамера к интегральному

уравнению:

P (u) =

∞

−u

P (u + y) dΦ(y),

(1)

где P (u) — вероятность неразорения страховой компании при на-

чальном капитале u.

Крамер занимался решением этого уравнения в предположении,

что распределение выплат и распределение интервалов между собы-

тиями — экспоненциальные. Была найдена вероятность разорения

страховой компании как функция ее начального капитала в виде

изображения по Лапласу.

Обобщение модели Лундберга – Крамера в случае ис-

пользования страховыми компаниями своего капитала в

неосновной деятельности. В [1, 2] была обобщена модель Лунд-

берга – Крамера для потока Эрланга страховых премий и выплат по

страховым событиям. В [2] была рассмотрена задача нахождения ве-

роятности неразорения страховой компании в каждый конкретный

момент наступления страхового события.

В силу особенностей своей деятельности страховые компании рас-

полагают свободным капиталом, который помимо использования по

своему прямому назначению (выплаты по страховым событиям, на-

логи, заработная плата и пр.) может быть направлен на получе-

ние дополнительной прибыли (инвестиционная деятельность, игра

на бирже ценных бумаг и т.д.). Будучи акционерным обществом,

компания вправе также осуществлять выплаты дивидендов своим

акционерам.

В данной работе предпринята попытка дальнейшего обобщения

модели Лундберга – Крамера с учетом указанной деятельности стра-

ховых компаний.

Рассмотрим модель Лундберга – Крамера с рекуррентным пото-

ком исков, в которой X

i

(страховые выплаты) — независимые, оди-

473

наково распределенные случайные величины с известной функцией

распределения F (x) и плотностью распределения Эрланга порядка

m + 1 вида:

f (x) =

µ

m+1

x

m

m!

e

−µx

.

(2)

Введем в рассмотрение новую случайную величину Z

i

, отража-

ющую поступление страховых премий, расход средств на сторонние

цели и возможный дополнительный доход в момент времени t

i

. Та-

ким образом, величина Z

i

, в отличие от рассмотренных ранее X

i

и

τ

i

, может принимать отрицательные значения. Предположим, что

Z

i

— независимые, одинаково распределенные случайные величины

с известной функцией распределения G(y) и плотностью распреде-

ления вида g(z) = {g

1

(z) при z ≥ 0; g

2

(z) при z < 0}, где g

1

(z)

и g

2

(z) — плотности распределения Эрланга порядка n + 1 и l + 1

соответственно:

g

1

(z) = L

λ

n+1

z

n

n!

e

−λz

, g

2

(z) = N

η

l+1

(−z)

l

l!

e

ηz

,

(3)

причем X

i

и Z

i

— независимые случайные величины.

В силу того, что функция g(z) — плотность распределения, вы-

полнено

g(z)dz = 1, или

L + N = 1.

(4)

Следует отметить, что необходимым и достаточным условием су-

ществования ненулевой вероятности неразорения является ограни-

чение на математические ожидания случайных величин X

i

и Z

i

:

M (Z

i

) > M (X

i

), или с учетом (2) и (3)

L

(n + 1)

λ

− N

(l + 1)

η

>

(m + 1)

µ

.

(5)

Для нахождения P (u) исследуем изображение по Лапласу урав-

нения (1), обозначив φ(p)

P (u).

В силу сделанных предположений, φ(p) имеет вид:

474

φ(p) =

L

n

k=0

−1

k!

(ϕ(λ) ψ(λ))

(k)

λ

(p−λ)

k

(

1+

p

µ

)

m+1

(

1+

p

η

)

l+1

(

1−

p

λ

)

n+1

(

1+

p

µ

)

m+1

(

1+

p

η

)

l+1

−L

(

1+

p

η

)

l+1

−N

(

1−

p

λ

)

n+1

,

(6)

т.е. φ(p) имеет вид рациональной дроби. Это дает возможность раз-

ложить φ(p) на простейшие дроби и обратить преобразование Ла-

пласа, вернувшись к явному виду искомой вероятности неразорения

P (u):

P (u) =

k

C

k

e

p

k

u

,

где p

k

— корни знаменателя функции φ(p), C

k

— константы, полу-

ченные при разложении φ(p) на простейшие дроби.

Заметим, что в (6) имеются неизвестные константы: ϕ(λ), ϕ (λ),

. . . , ϕ

(n)

(λ). Для нахождения единственного решения интегрально-

го уравнения (1) возникает задача однозначного определения этих

констант.

В работе [2] приведен алгоритм уточнения констант для анало-

гичного представления функции φ(p), основанный на использовании

теоремы Руше. С ее помощью доказывалось, что количество корней

знаменателя с положительными вещественными частями в совокуп-

ности с нулевым корнем совпадает с количеством неизвестных кон-

стант в числителе. С учетом того, что в представлении функции

P (u), в силу ее ограниченности, не должны участвовать корни зна-

менателя с положительными вещественными частями, данный факт

позволял уточнить эти константы.

В силу ограничений (4), (5) условия теоремы Руше в рассматри-

ваемом случае также выполняются. Опираясь на представление (6),

можно утверждать, что количество корней знаменателя с положи-

тельными вещественными частями в совокупности с нулевым корнем

совпадает с количеством неизвестных констант в числителе и равно

n + 1. Этот вывод дает возможность однозначно определить неиз-

вестные константы и, обратив преобразование Лапласа, вернуться к

явному виду искомой вероятности неразорения P (u).

Решение интегрального уравнения для вероятности нера-

зорения страховой компании. Рассмотрим более общий случай,

когда статистически известна информация о величине прироста ка-

питала за интервал времени между соседними выплатами (Y

i

). Пред-

475

положим, Y

i

образует рекуррентный поток. Причем величина Y

i

,

в отличие от рассмотренных ранее τ и X, может принимать отрица-

тельные значения. Y

i

, как и в предыдущем случае — независимые,

одинаково распределенные случайные величины с известной функ-

цией распределения Φ(y) и плотностью распределения ϕ(y) вида:

ϕ(y) = {L ϕ

1

(y) при y ≥ 0; N ϕ

2

(y) при y < 0}

В силу того, что функция ϕ(y) — плотность распределения, имеем

L + N = 1.

(7)

Необходимым и достаточным условием существования ненулевой

вероятности неразорения является ограничение на математическое

ожидание случайных величин Y

i

:

M (Y

i

) > 0.

(8)

Для нахождения P (u) исследуем изображение по Лапласу урав-

нения (1), обозначив, как и в предыдущем случае, φ(p)

P (u).

Предположим, что ϕ

1

(y) имеет вид

ϕ

1

(y) = L

λ

n+1

y

n

n!

e

−λy

.

Тогда условие (8) выглядит следующим образом:

L

n + 1

λ

+ M (Y

−

) > 0,

(9)

где M (Y

−

) — математическое ожидание отрицательных по значению

случайных величин Y

i

.

Отметим, что в случае, когда ϕ

1

(y) представляет собой комбина-

цию эрланговских функций распределения, изображение φ(p) также

удобно для исследования.

В силу сделанных предположений, φ(p) имеет вид:

φ(p) =

L

λ

n+1

n!

ϕ(λ)

p−λ

(n)

λ

1 − L

1

1−p/λ

n+1

− N ψ(p)

,

(10)

где ψ(p) — изображение по Лапласу для функции ϕ

2

(y):

476

ψ(p) =

∞

0

ϕ(−t) e

−pt

dt.

Таким оразом, в выражении для φ(p), имеются неизвестные кон-

станты: ϕ(λ), ϕ (λ), . . . , ϕ

(n)

(λ). Для нахождения единственного ре-

шения интегрального уравнения (1) вновь возникает задача одно-

значного определения этих констант.

Аналогично описанному ранее случаю, данная задача сводится

к нахождению корней знаменателя. Доказательство того, что коли-

чество корней знаменателя с положительными вещественными ча-

стями в совокупности с нулевым корнем совпадает с количеством

неизвестных констант в числителе, основано на использовании тео-

ремы Руше. Покажем выполнение условий этой теоремы.

Рассмотрим на комплексной плоскости замкнутый контур C,

который состоит из правой полуокружности большого радиуса R,

отрезков мнимой оси (−R; −r), (r; R) и левой полуокружности мало-

го радиуса r.

Рассмотрим

знаменатель

φ(p)

в

(10).

Покажем,

что

на контуре C выполняется неравенство:

1 > L

1

1 − p/λ

n+1

+ N ψ(p) .

(11)

Очевидно, что в силу (7), (9) на полуокружности большого ра-

диуса R и отрезках мнимой оси (−R; −r), (r; R) неравенство (11)

выполняется. Докажем, что оно верно и на левой полуокружности

малого радиуса r.

Разложим ψ(p) в ряд Тейлора в окрестности нуля:

ψ(p) = 1 − p M (Y

−

) + o(|p|).

Неравенство (11) с помощью формулы обобщенного бинома Нью-

тона для слагаемых заменим более строгим:

1 > 1+ L

(n + 1)

λ

− N M (Y

−

) p

1

+

1

2

N M (Y

−

)

2

− L

(n + 1)

λ

2

ρ

2

+o.

В силу (7), (9) данное неравенство, а следовательно, и неравен-

ство (11), выполняются.

477

Таким образом, выполняются условия теоремы Руше. Опираясь

на представление (10), можно утверждать, что количество корней

знаменателя с положительными вещественными частями в совокуп-

ности с нулевым корнем совпадает с количеством неизвестных кон-

стант в числителе и равно n + 1. Этот вывод дает возможность од-

нозначно определить неизвестные константы.

Для обращения преобразования Лапласа и нахождения искомой

вероятности неразорения P (u) необходимо дополнительно задать

функцию ϕ

2

(y). Каждый возможный случай требует отдельного рас-

смотрения.

В заключении следует отметить, что повышение точности вычис-

ления вероятности разорения является актуальной задачей. Расши-

ряя класс функций, используемых в модели, получаем возможность

полнее описывать процессы движения капиталов, что позволяет точ-

нее оценивать вероятность неразорения компании и корректировать

ее финансовую политику с большей эффективностью.

Литература

1. Иголкин В.Н., Ковригин А.Б. Динамика капитала страховой ком-

пании. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002.

2. Иголкин В.Н., Ковригин А.Б. Динамика капитала страховой ком-

пании (продолжение). СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2004.

3. Cramer H. On some questions connected with mathematical risk.

Univ. Calif. Publications in Statistics, vol. 5, 1954.

478

Адрианов А.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Об одном классе кооперативных

дифференциальных игр

Рекомендовано к публикации профессором Чистяковым С.В.

1. Введение. В настоящей статье, по аналогии с [1], для одного

класса дифференциальных игр с неограниченной продолжительно-

стью обосновывается возможность использования инструментов ко-

оперативной теории для решения проблемы выбора одной из равно-

весных в смысле Нэша траекторий.

2. Постановка задачи и основные предположения. Рас-

смотрим дифференциальную игру Γ(t

0

, x

0

) [2], в которой процесс,

управляемый игроками i ∈ I = {1, . . . , m},

m ≥ 2, описывается

уравнением

dx

dt

= f (t, x, u

1

, . . . , u

m

),

(1)

где t ∈ R, x ∈ R

n

, u

i

∈ P

i

∈ CompR

k(i)

, i = 1, m, с начальным

условием

x(t

0

) = x

0

.

(2)

При этом функционал качества i-го игрока имеет вид

H

i

(u

1

(·), . . . , u

m

(·)|t

0

, x

0

) =

+∞

t

0

h

i

(t, x(t), u

1

(t), . . . , u

m

(t))dt,

(3)

где x(t) = x(t, t

0

, x

0

, u

1

(·), . . . , u

m

(·)) – решение задачи Коши (1)–

(2) на интервале [t

0

, +∞), соответствующее измеримому по Лебегу

набору программных управлений u

i

(·) ÷ u

i

= u

i

(t) ∈ P

i

, i = 1, m.

Такие управления далее будем называть допустимыми.

Далее используются предположения, понятия и обозначения, вве-

денные в [2].

479

Пусть D – интегральная воронка, исходящая из начальной по-

зиции (t

0

, x

0

), а Γ(D) = {Γ(t

∗

, x

∗

) | (t

∗

, x

∗

) ∈ D}, где каждая игра

Γ(t

∗

, x

∗

) отличается от игры Γ(t

0

, x

0

) лишь начальной позицией.

Пусть X

∗

(t

0

, x

0

) – множество всех стабильно равновесных траек-

торий системы (1) с начальным условием (2), т.е. траекторий, опи-

санных в теореме 1 статьи [2].

3. Идентификация стабильно равновесных траекторий.

Для каждой позиции (t, x) ∈ D положим

F (t, x) = {f (t, x, u

1

, . . . , u

m

) | u

i

∈ P

i

, i ∈ I} ,

F H(t, x) = {(f, h

1

, . . . , h

m

) ∈ R

n+m

| f = f (t, x, u

1

, . . . , u

m

),

h

i

= h

i

(t, x, u

1

, . . . , u

m

), u

i

∈ P

i

, i = 1, m}.

Обозначим через v

i

(·) функцию максиминного выигрыша (по-

тенциал) игрока i ∈ I в классе рекурсивных стратегий [2], а через

d

i

(t, x, f ) – производную функции v

i

(·) в точке (t, x) ∈ D по направ-

лению (1, f ) = (1, f

1

, . . . , f

n

) ∈ R

n+1

, если она сущеcтвует.

Предположение 1. В каждой точке (t, x) ∈ D функции

v

i

(·), i ∈ I, дифференцируемы по любому направлению (1, f ) ∈

R

n+1

, f ∈ F (t, x), и множество

ΦH(t, x) = {(f, h

1

, . . . , h

m

) ∈ F H(t, x) | d

i

(t, x, f ) + h

i

≥ 0, i ∈ I}

непусто.

Если выполнено это предположение, то определено многозначное

отображение Φ : (t, x) → Φ(t, x) ⊂ R

n

,

(t, x) ∈ D,

Φ(t, x) = {f ∈ F (t, x) | ∃h ∈ R

m

: (f, h) ∈ ΦH(t, x)} .

Теорема 1 [3]. Если выполнено предположение 1 и в некоторой

окрестности множества D функции v

i

(·), i ∈ I, удовлетворяют

локальному условию Липшица, то каковы бы ни были начальные

данные (t , x ) ∈ R

n+1

, множество X

∗

(t , x ) совпадает со множе-

ством всех абсолютно непрерывных на полуоси [t , +∞) решений

дифференциального включения

.

x ∈ Φ(t, x), удовлетворяющих на-

чальному условию x(t ) = x .

480

Если функция v

i

(·) является непрерывно дифференцируемой в

некоторой окрестности множества D, то будем писать v

i

(·) ∈ C

1

(D).

Лемма 1. Если v

i

(·) ∈ C

1

(D), i ∈ I, и

{(f, h) ∈ F H(t, x) | d(t, x, f ) + h > O} = Ø, ∀ (t, x) ∈ D,

то многозначное отображение Φ непрерывно на множестве D и

имеет на нем компактные и выпуклые значения.

Рассмотрим многозначные отображения

X

∗

: (t

∗

, x

∗

) → X

∗

(t

∗

, x

∗

), (t

∗

, x

∗

) ∈ D,

L

∗

: (t

∗

, x

∗

) → L

∗

(t

∗

, x

∗

) ⊂ R

m

, (t

∗

, x

∗

) ∈ D,

L

∗

(t

∗

, x

∗

) = {y = H(t

∗

, x

∗

| u(·)) | ∀u(·) = (u

1

(·), . . . , u

m

(·)) :

x(·, t

∗

, x

∗

, u(·)) ∈ X

∗

(t

∗

, x

∗

)}.

Отображение L : (t, x) → L(t, x) ⊂ R

m

будем называть коопера-

тивным решением игры Γ(D), если:

1) L – многозначный селектор L

∗

, т.е. L(t, x) ⊂ L

∗

(t, x) и L(t, x) =

Ø, ∀(t, x) ∈ D;

2) для любой позиции (t

∗

, x

∗

) ∈ D и любого y ∈ L

∗

(t

∗

, x

∗

)

cуществует набор допустимых управлений u(·) = (u

1

(·), . . . , u

m

(·))

такой, что для всех t

1

, t

2

∈ [t

∗

, +∞), t

2

≥ t

1

, справедливо

y ∈

t

2

t

∗

h(τ, x(τ ), u(τ ))dτ ⊕ L

∗

(t

2

, x(t

2

)) ⊂

⊂

t

1

t

∗

h(τ, x(τ ), u(τ ))dτ ⊕ L

∗

(t

1

, x(t

1

)),

где x(·) = x(·, t

∗

, x

∗

, u(·)), h(·) = (h

1

(·), . . . , h

m

(·)), а смысл операции

⊕ следующий: если a ∈ R

m

и B ⊂ R

m

, то

a ⊕ B = {c = a + b | b ∈ B}.

481

Заметим, что свойство 2) является прямым аналогом известного

свойства функции Беллмана в задаче оптимального управления [4].

Непосредственно из определения отображений L

∗

и X

∗

следует, что

само отображение L

∗

является кооперативным решением игры Γ(D).

4. Построение кооперативных решений. Имеет место следу-

ющая

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и G – полуне-

прерывный сверху многозначный селектор отображения Φ, имею-

щий компактные и выпуклые значения. Пусть также многознач-

ное отображение L

G

: D → R

m

каждой позиции (t

∗

, x

∗

) ∈ D ста-

вит в соответствие множество всех векторов выигрышей

L

G

(t

∗

, x

∗

) = {y = H(t

∗

, x

∗

| u(·)) | ∀u(·) : x(·, t

∗

, x

∗

, u(·)) ∈ X

G

(t

∗

, x

∗

)} ,

где X

G

(t

∗

, x

∗

) – множество всех абсолютно непрерывных решений

дифференциального включения

.

x ∈ G(t, x),

удовлетворяющих начальному условию x(t

∗

) = x

∗

. Тогда отображе-

ние L

G

является решением игры Γ(D).

При выполнении условий теоремы 1 будем говорить, что соответ-

ствующее отображение G индуцирует решение L

G

игры Γ(D).

Считая выполненным предположение 1, рассмотрим многознач-

ное отображение χ : (t, x) → χ(t, x), (t, x) ∈ D,

χ(t, x) = {d(t, x, f ) + h | (f, h) ∈ ΦH(t, x)}.

Лемма 2. При выполнении условий леммы 1 многозначное отоб-

ражение χ непрерывно на множестве D и имеет на нем компакт-

ные и выпуклые значения.

Определим отображение

V : (t, x) → V (t, x),

482

ставящее в соответствие каждой позиции (t, x) ∈ D функцию V (t, x) :

2

I

→ R, значение V

S

(t, x) которой на множестве (коалиции) S ⊂ I

определяется по правилу:

V

S

(t, x) =

inf

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: