Процессы управления и устойчивость
жүктеу/скачать 30,48 Mb. Pdf көрінісі
|
|
k (x),
k = t τ x = t − kτ, (здесь z
k (x) — k-я компонента вектора (последовательности) Z(x)), непрерывна на интервале [0, ∞) и на интервалах [kτ, (k + 1)τ ), k = 0, 1, . . . , удовлетворяет уравнению (1). Уравнение (4) будем называть краевыми условиями. Подстановка u(t) = exp(λt)p λ (t), λ ≥ 0, (5)
73 приводит уравнение (1) к виду dp λ dt = N j=−M e λjτ a j χ(t + τ j)p λ (t + τ j) − λp λ (t) + e
−λt f (t).
(6) Решение начальной задачи 1, допускающее представление с по- мощью подстановки (5), будем называть специальным. Такое опре- деление соответствует определению специального решения, введен- ному в монографии [3]. Формулируемая далее теорема 2 определяет условия, при выпол- нении которых уравнение краевых условий (4) однозначно и кор- ректно разрешимо в пространстве ограниченных последовательно- стей векторов. При применении теоремы 1 это дает функцию p λ (t), представленную в пространстве ограниченных последовательностей векторов, позволяющую получить решение начальной задачи 1 для систем дифференциальных уравнений. Сформулируем теорему, гарантирующую возможность решения уравнения (4) с применением подстановки (5). Пусть A λ – матрица представления, соответствующая уравнению (6); a j – подчиненные нормы матриц коэффициентов рассматриваемой системы дифферен- циальных уравнений в конечномерном пространстве ограниченных последовательностей. Теорема 2. Если выполнено условие a 0
N j=−M,j=0
e λjτ
a j
(7) то S exp(A λ τ )
l ∞
Неймана ξ =
∞ k=0
(S exp(A λ τ )) k (η +
τ 0 exp (A λ (τ − s))F λ (s)d s).
Доказательство. Доказательство теоремы опирается на тот факт, что матрица представления A λ имеет вид A λ = A
λ0 − λE,
где матрицы-операторы A λ0 и E коммутируют (E – единичная мат- рица). Оценим норму оператора S exp(A λ τ ) в пространстве ограничен- ных последовательностей векторов S exp(A
λ τ )
l ∞ ≤ S l ∞ exp((A λ0 − λE)τ )
l ∞ ≤ e (( A λ0 l∞
−λ)τ ) . 74 Условие теоремы 2 S exp(A λ τ ) l ∞
A λ0 l
∞ ≤ a
0 + N j=−M,j=0 e λjτ a j
Теорема доказана. Неравенство (7) описывает класс уравнений в интервале (λ 1 , λ
2 ). Для заданного значения λ ∈ (λ 1 , λ
2 ) мы получаем представление функции p λ (t) в пространстве ограниченных последовательностей векторов, дающее специальное решение рассматриваемой начальной задачи 1. При фиксированном значении λ функция p λ (t) определя- ется единственным образом и имеет место непрерывная зависимость от начальных данных задачи 1. В рассматриваемый класс вклю- чаются все уравнения запаздывающего типа с решаемой для них основной начальной задачей, при определенных предположениях о присутствующей в уравнении неоднородности. Совместное примене- ние теорем 1 и 2 дает удобный вычислительный алгоритм решения рассматриваемой задачи. Пример. Пусть система уравнений имеет вид dx(t) dt
dy(t) dt = βx(t − 1), где α и β – вещественные числа. Тогда рассматриваемый класс урав- нений определится из условия |α|e λ + |β|e
−λ < λ. Литература 1. Олемская М.В. О представлении решений систем линейных диф- ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и со- измеримыми отклонениями аргументов в пространстве последо- вательностей векторов // Процессы управления и устойчивость: Труды 36-й научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. С. 89-92. 2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: На- ука, 1977. 744 c. 3. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаз- дывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с. 75
Пятибратов Е.В. Санкт-Петербургский государственный университет Численное моделирование задачи межорбитального перелета Рекомендовано к публикации профессором Квитко А.Н. В [1] предложен алгоритм построения синтеза управляющих функций, при которых решения нелинейной стационарной системы переходят из начального состояния в заданное конечное состояние, с учетом ограничений на управление и фазовые координаты. В настоящей работе дана численная реализация метода, разра- ботанного в [1] для решения задачи перевода материальной точки, движущейся по круговой орбите с постоянной скоростью в централь- ном поле тяготения. Система уравнений в отклонениях относительно указанного дви- жения по круговой орбите имеет вид [2]: ˙ x 1 = x
2 , ˙ x 2 = ν 1 (x 1 , x 4 ) + u 1 , ˙ x 3 = x 4 , ˙ x 4 = ν 2 (x 1 , x 2 , x 4 ) + ν
3 (x 1 )u 2 , (1) где x
1 = r − r
0 , x
2 = ˙r, x
3 = ψ − α
0 t, x
4 = ˙
ψ − α 0 , u 1 = a
r ˙ m/m, u 2 = a ψ ˙ m/m, r 0 – радиус круговой орбиты, ˙r – радиальная скорость, ψ – полярный угол, ˙ ψ – скорость изменения полярного угла, a r , a
ψ – проекции вектора относительной скорости отделяющейся частицы на направление радиуса и поперечного направления соответственно, m, ˙
m – соответственно, масса и скорость изменения массы, α 0 – угловая скорость движения по заданной круговой орбите, ν 1 = − ν (x 1 + r
0 ) 2 + (x 1 + r 0 )(x
4 + α
0 ) 2 , ν 2 = −2 x 2 (x 4 + α 0 ) x 1 + r
0 , ν
3 = 1 x 1 + r 0 , ν = ν 0 M, ν
0 — постоянная всемирного тяготения, M — масса плане- ты, α
= ν r 3 0 рад/с, x 1 1 = 100 м, r 0 = 7 · 10
6 м, x
1 3 = − α 0 10 6 рад.
76 Ограничения на фазовые координаты и управление имеют вид x < C
1 , u < C 2 . Задача состояла в нахождении управлений u 1 , u
2 , при которых решение системы удовлетворяет условиям x i (0) = 0, i = 1, . . . , 4, x 1 (0) → x 1 1 , x 2 (0) → 0, x 3 (0) → x
1 3 , x 4 (0) → 0,
В процессе численного моделирования интегрировалась вспомога- тельная система, полученная из системы (1) после замены перемен- ной t по формуле t = τ τ + α : dx 1 dτ = α (τ + α) 2 x 2 , dx 2 dτ = α (τ + α)
2 [ν 1 (x 1 + x 1 1 , x 4 ) + u
1 + u
1 1 ], dx 3 dτ = α (τ + α) 2 x 4 , dx 4 dτ = α (τ + α) 2 [ν 2 (x 1 + x 1 1 , x 2 , x 4 ) + ν
3 (x 1 + x 1 1 )u 2 ], (2) u 1 1 = ν (x 1 1 + r 0 ) 2 − (x
1 1 + r 0 )α 2 0 на промежутке [0, 0, 999] с начальными данными x 1
1 1 , x 2 (0) = 0, x 3 (0) = −x
1 3 , x 4 (0) = 0,
замкнутая управлениями u 1 = (τ + α)
2 α 6 τ + α − 12
α 2 (p 21 + p
42 p 24 ) (τ + α)
4 x 2 − − 6 τ + α − 12
α 2 (p 21 + p
42 p 24 ) (τ + α)
4 p 42 x 3 − − 6 τ + α − 12 2α (τ + α) 3 x 1 + 77
+ 6 τ + α − 12 α 2 (τ + α) 4 p 42 x 3 + + 6 τ + α − (p
21 + p
42 p 24 ) − 47 α (τ + α) 2 x 1 − − 60 x
2 − (p 21 + p
42 p 24 ) p 42 x 3 , u 2 = 2 (τ + α) 2 α − p 42 q 42 x 1 + 1 q 42 x 4 , полученными в результате решения задачи стабилизации системы dc dτ = α (τ + α)
2 P c +
α (τ + α)
2 Qd,
по методу, изложенному в [1], где c(τ ) = x(t(τ ))+x 1 , d(τ ) = u(t(τ ))+ u 1 . Матрицы P и Q имеют вид P = 0 1 0 0 p 21 0 0 p 24 0 0 0 1 0 p 42 0 0 , Q = 0 0 1 0 0 0 0 q
42 ,
p 21 = 2ν (x 1 1 + r
0 ) 3 + α 2 0 , p 24 = 2(x 1 1 + r 0 )α 0 , p 42 = 2 α 0 x 1 1 + r 0 , q 42 = 1 x 1 1 + r 0 . Были определены приемлемые границы параметра α, а также область изменения конечных состояний x 1 1
1 3 , при которых гаран- тировано существование решения поставленной задачи и численной реализации соответствующего алгоритма. Параметр α выбирается из промежутка [0, 06; 0, 25], значения x 1 1 из промежутка [100, 500] и x 1 3 не должно превышать 0, 00001. На рис. 1 представлен график изменения фазовых кординат (x 1 +
1 1 ), которые соответствуют параметрам α = 0, 05 и α = 0, 1, а также конечным состояниям x 1 1 = 100 и x 1 1 = 200, x 1 3 = 0, 000001 и x 1 3 = 0, 00001. 78
Рис. 1. Литература 1. Пятибратов Е.В. Решение граничной задачи для нелинейной управляемой системы // Процессы управления и устойчивость: Труды 36-й научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. С. 93-96. 2. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движе- ния. М.: Физматгиз, 1959. 211 с. 79
Степанов А.В. Санкт-Петербургский государственный университет Об одной релейной системе с гистерезисной характеристикой Рекомендовано к публикации профессором Камачкиным А.М. 1. Введение. Вопрос существования устойчивых периодических режимов в нелинейных системах управления — одна из основных проблем теории колебаний. Особенно трудными для изучения явля- ются системы, содержащие существенные нелинейности. Такие нели- нейности возникают в результате математического моделирования нелинейных физических эффектов (трение и люфт в механике, ги- стерезис в электротехнике и т.д.). Далее рассмотрена система диф- ференциальных уравнений, содержащая нелинейность гистерезисно- го типа.
2. Собственные колебания гистерезисной системы. Рас- смотрим систему ˙x = Ax + cu, u(t) = f (σ(t)), σ(t) = γ x(t), (1)
где x ∈ E n , t ≥ t 0 , γ ∈ E
n , γ = 0, нелинейность f — гистерезисного типа, с насыщением [1]: f (σ(t)) =
m 1 , σ(t) <
m 1 κ + l 1 , l 1 ≤ σ(t) − m 1 κ < l 2 , u(t − 0) = m 1 , m 2 , σ(t) > m 2 κ + l 2 , l 1
m 2
≤ l 2 , u(t − 0) = m 2 , κ(σ(t) − l 1 ), m
1 < κ(σ(t) − l 1 ) ≤ m 2 , u(t − 0) > m 1 ,
2 ), m
2 ≤ κ(σ(t) − l 2 ) < m
1 , u(t − 0) < m 2 .
Здесь κ > 0, m 1
2 > 0, обход гистерезисной петли происходит против часовой стрелки. Введем обозначение ˆ A = A + κ cγ . Следуя [2], сформулируем 80
Утверждение 1. Пусть матрицы A, ˆ A — гурвицевы, и пара- метры системы (1) удовлетворяют неравенствам −γ A
−1 cm 1 > m 1 κ + l
2 , γ ˆ A −1 cκl 2 > m 2 κ + l 2 , −γ A −1 cm 2 < m 2 κ + l
1 , γ ˆ A −1 cκl 1 < m 1 κ + l
1 , тогда система (1) имеет, по крайней мере, одно периодическое ре- шение. Доказательство. Матрицы A, ˆ A — гурвицевы, следовательно, рассматриваемая система диссипативна, т.е. существует такая кон- станта C > 0, что все решения системы (1) сходятся при t → +∞ в область x ≤ C. Обозначим S = {x : x ≤ C, γ x = l 1 } = ∅. Система (1) имеет 4 формальных центра устойчивости p i , i = 1, 4, которые определяются из уравнений ˙x = Ap
1 + cm
1 = 0,
˙x = Ap 2 + cκ (σ − l 2 ) = ˆ
Ap 2 − κl 2 c = 0,
˙x = Ap 3 + cm 2 = 0,
˙x = Ap 4 + cκ (σ − l 1 ) = ˆ
Ap 4 − κl 1 c = 0,
а именно: p 1 = −A −1 cm 1 , p
2 = ˆ
A −1 cκl 2 , p
3 = −A
−1 cm 2 , p 4 = ˆ A −1 cκl 1 . Если выполнены условия γ p 1 > m 1 κ + l 2 , γ p 2 > m 2 κ + l 2 , γ p
3 < m 2 κ + l
1 , γ p
4 < m 1 κ + l
1 , то система (1) при достаточно больших значениях t определяет отоб- ражение компакта S в себя, откуда, пользуясь принципом неподвиж- ной точки, заключаем, что система (1) имеет, по крайней мере, одно собственное периодическое колебание. Подставив выражения для p i в последние неравенства, приходим к неравенствам, приведенным в формулировке утверждения. Замечание 1. По аналогии с [2], можно показать, что если по- мимо наложенных на параметры системы (1) ограничений, справед- ливо равенство A γ = λγ, для некоторого λ ∈ R, то система (1) имеет 81
единственное автоколебание, область притяжения которого совпада- ет со всем фазовым пространством E n .
стема (1) имеет периодическое решение. Тогда, если точки переклю- чения управления для этого решения известны, оно может быть ис- следовано на предмет орбитальной асимптотической устойчивости методами, изложенными в [3]. Предположим, что указанное перио- дическое решение имеет 4 точки переключения управления s 1 , γ s 1 = l 1 + m 1 κ ; s 2 , γ s
2 = l
2 ; s
3 , γ s
3 = l
2 + m 2 κ ; s 4 , γ s
4 = l
1 . Обозначим τ 1 – время перехода из s 1 в s
2 , τ
2 – время перехода из s 2 в s
3 , τ
3 – из s
3 в s
4 , τ
4 – из s
4 в s
1 . Тогда, если A 1
2 A 3 A 4
где A
= E − (As
2 + cm
1 ) γ
γ (As 2 + cm 1 ) e Aτ 1 , A 2 = E − ˆ As 3 − cκl 2 γ γ ˆ As 3 − cκl
2 e ˆ Aτ 2 , A 3 = E − (As 4 + cm 2 ) γ
γ (As 4 + cm 2 ) e Aτ 3 , A 4 = E − ˆ As 1 − cκl 1 γ γ ˆ As 1 − cκl
1 e ˆ Aτ 4 , и выполнены неравенства γ (As
2 + cm
1 ) > 0,
γ ˆ As 3 − cκl
2 > 0,
γ (As 4 + cm 2 ) < 0,
γ ˆ As 1 − cκl
1 < 0, то рассматриваемое периодическое решение обладает свойством ор- битальной асимптотической устойчивости. 3. Стабилизация системы управлением вида (2). Напом- жүктеу/скачать 30,48 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|