Процессы управления и устойчивость
жүктеу/скачать 30,48 Mb. Pdf көрінісі
|
|
0 такое, что существует λ 0 : Re λ
0 > 0
и g θ 0 (λ 0 ) = 0. Пусть θ ∈ [0; θ 0 ]. Рассмотрим полукруг D(R) = { λ Re λ ≥ 0, |λ| ≤ R}, содер- жащий все корни уравнения g θ (λ) = 0, лежащие в открытой правой полуплоскости. На границе D(R) выполнены все условия принципа исключения нуля, значит в D(R) количество нулей для θ ∈ [0; θ 0 ] по-
стоянно и совпадает с числом нулей функции g 0 = det (A + B − λE). Но у матрицы A + B нет собственных чисел в открытой правой по- луплоскости по теореме 1, значит, и g θ 0
крытой правой полуплоскости. Пришли к противоречию с тем, что существует λ 0 такое, что Re λ 0 > 0, g
θ (λ 0 ) = 0 при θ ∈ [0, 2π]. Необ- ходимость полностью доказана. Достаточность. Пусть все собственные числа матрицы A + Be iθ лежат в открытой левой полуплоскости. Докажем, что система (1) абсолютно устойчива вместе со своей некоторой окрестностью. Предположим сначала, что существует h 0 ≥ 0 такое, что det G(iω, h 0 ) = 0. Тогда матрица A + Be −iω 0 h 0 − iω
0 h 0 E особая. При этом существует k: −ω 0 h
+ 2πk = θ 0 и θ 0 ∈ [0, 2π]. Тогда у матрицы A + Be iθ
есть чисто мнимое собственное число, что явно противо- речит условию. Допустим теперь, что существует h, при котором уравнение det G(λ, h) = 0 имеет корень в открытой правой полуплоскости. Пусть h > 0 (случай h = 0 тривиален) и h = h(ε) = εh, где ε ∈ [0, 1]. Рассмотрим семейство функций z ε (λ) = det (A + Be −λεh − λE).
Определим полукруг D(R) = { λ Re λ ≥ 0, |λ| ≤ R}, который со- держит все корни уравнения z ε (λ) = 0, лежащие в открытой правой полуплоскости. Тогда выполняются условия принципа исключении нуля, и внутри полукруга функции z ε=0 (λ) и z
ε=1 (λ) имеют одинако- вое число нулей, а так как у матрицы A + B нет собственных чисбл в правой полуплоскости, то система (1) абсолютно устойчива. Если система (1) абсолютно устойчива, то она будет абсолютно устойчива вместе со своей некоторой окрестностью. Это доказано, например, в работе [2]. Теорема полностью доказана. Проиллюстрируем применение теоремы в случае n = 2. Выпишем характеристический полином для матрицы A + e iθ B 100 p (λ) = det (A − λE + Be iθ ) = λ 2 − λsp (A + Be iθ ) + det (A + Be iθ ) =
= λ 2 + aλ + b. Необходимые условия абсолютной устойчивости системы (1) вме- сте со своей некоторой окрестностью будут иметь вид −sp A > |sp B|, det (A + B) > 0, det (A − B) > 0, (2)
так как полиномы p (λ) при значениях θ = 0, π гурвицевы. Известно, что (см., например, [3] (стр. 533, 534)) p (λ) гурвицев, тогда и только тогда, когда выполняется Re a > 0, δ = Re a(Re aRe b + Im aIm b) − (Im b) 2 > 0, (3) где
Re a = −sp A + sp B(cos θ), Im a = −sp B(sin θ), Re b = det A + cos θ + det B(cos 2θ), Im b = sin θ + det B(sin 2θ), = det A + det B − det (A − B) = det (A + B) − det A − det B. Из (3) получаем еще одно необходимое условие ∆ = Re aRe b + Im aIm b > 0, или, что тоже, ∆ = a 1 (cos θ)
2 + b
1 cos θ + c 1 > 0, где
a 1 = −2sp A det B, b 1 = − sp A − sp B(det A + det B), c 1 = − sp B − sp A(det A − det B). (4) полином ∆ — второй степени относительно cos θ, и ∆| cos θ=−1 > 0,
т.е. условие ∆ > 0 будет выполняться, если и только если det B ≤ 0; det B > 0, |b 1
1 ; det B > 0, |b 1 | < 2a 1 , b 1 2 − 4a 1 c 1 < 0. Из того, что ∆ > 0, а значит, Re b > 0 при Im b = 0, легко вывести еще одно необходимое условие det A > | det B|. 101
Перейдем к рассмотрению второго неравенства из системы (3). Подставляя в него выражения для Im b, Re a и ∆, получаем δ = 4(det B) 2 (cos θ) 4 + (4 det B − a 1 sp B)(cos θ) 3 + +( 2 − 4(det B) 2 − a
1 sp A − b
1 sp B)(cos θ) 2 +
1 sp A − c
1 sp B − 4 det B) cos θ − c 1 sp A −
2 > 0,
где a 1 , b 1 , c
1 удовлетворяют равенствам (4). Или, что то же, δ = δ(t) = a 2 t 4 + b
2 t 3 + c 2 t 2 + d
2 t + e
2 > 0, где
t = cos θ ∈ [−1, 1]. C учетом (2) гарантировано выполняется δ| t=−1 > 0, δ|
t=1 > 0.
Итак, для абсолютной устойчивости системы (1) вместе со своей некоторой окрестностью нужно гарантировать, чтобы, во–первых, полином δ(t) не имел вещественных корней на отрезке [−1, 1] (для этого можно воспользоваться методом Штурма) и, во–вторых, мат- рицы A и B удовлетворяли условиям −sp A > |sp B|, det (A ± B) > 0. Литература 1. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 c. 2. Купцов С.Ю. Оценка радиуса устойчивости линейной стационар- ной системы дифференциально-разностных уравнений // Процес- сы управления и устойчивость: Труды 30-й научной конференции / Под ред. В.Н. Старкова. – СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1999. С. 103-107.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 548 c. 102
Утешев А.Ю., Яшина М.В. Санкт-Петербургский государственный университет Нахождение расстояния между поверхностями второго порядка в R n Задача. Найти расстояние между эллипсоидом X T A 1 X + 2B
T 1 X = 1 (1) и поверхностью X T
2 X + 2B
T 2 X = 1. (2) Здесь X ∈ R n — столбец переменных, {B 1 , B
2 } ∈ R
n — заданные столбцы; A 1 и A 2 — вещественные, симметричные матрицы n—го порядка, причем A 1 — знакоопределенная [2]; T означает транспо- нирование. Расстояние понимается в евклидовой метрике. Требуется найти
d def
= min (X − Y )
T (X − Y ) при X ∈ (1), Y ∈ (2). (3) Для решения поставленной задачи используем подход, предло- женный авторами в [3]. Именно, целью ставится построение алгеб- раического уравнения от одной переменной, среди корней которого находится величина d 2 . Это уравнение является результатом исклю- чения переменных X, Y, λ 1 , λ 2 из системы уравнений
z − (X − Y ) T (X − Y ) = 0, X − Y − λ 1 (A 1 X + B
1 ) = O, −X + Y − λ 2 (A
X + B 2 ) = O, X T A 1 X + 2 B
T 1 X = 1, Y T A 2 Y + 2 B T 2 Y = 1, (4)
порожденной применением метода множителей Лагранжа к постав- ленной задаче об условном экстремуме (3). 1. Результаты из теории исключения. Фактическое исклю- чение переменных в алгебраической системе уравнений можно ре- ализовывать либо вычислением базиса Грёбнера идеала, порождае- мого полиномами этой системы, либо же построением многомерного результанта системы. 103
Теорема 1 [1]. Полином f (x) = a 0 x m + a
1 x m−1 + · · · + a m , a 0 = 0, m ≥ 2, имеет кратный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант D(f ) обращается в нуль. Будем также исполь- зовать обозначение D x (f ), если надо подчеркнуть относительно какой переменной рассматривается полином. Дискриминант D(f ) может быть представлен в виде определителя порядка 2m − 2: D(f ) = (−1) m−1
D [0]
/m m−1
, где D [0] def = (5)
def = ma 0 (m − 1)a
1 (m − 2)a
2 . . .
a m−1
ma 0 (m − 1)a 1 . . .
2a m−2
a m−1
O . ..
. .. . ..
ma 0 (m − 1)a 1 . . .
a m−1
O a 1 2a 2 . . . ma m . . . . .
. . .
. a 1 2a 2 . . . ma m O a 1 2a 2 . . .
ma m . Полином f (x) имеет единственный кратный корень (второй крат- ности) тогда и только тогда, когда D [0] = 0, D
[1] = 0; в этом случае этот корень может быть представлен в виде λ = −D
[1] /D [1] . (6)
Здесь D [1]
и D [1]
— миноры D [0]
порядка 2m − 4, получающиеся из него вычеркиванием первой и последней строки, первого столбца и, соответственно, либо последнего, либо предпоследнего столбца. 2. Нахождение расстояния. Рассмотрим сначала случай цен- тральных поверхностей. Пусть в (1) и (2) B 1 = O и B 2 = O.
В этом случае система (4) введением нового столбца переменных Z def = λ 1 A 1 X = −λ
2 A 2 Y (7)
приводится к виду E −
1 λ 1 A −1 1 − 1 λ 2 A −1 2 Z = O, z = Z T Z = λ
1 + λ
2 , (8) Z T A −1 1 Z = λ 2 1 , Z T A −1 2 Z = λ
2 2 (9) 104 при дополнительном условии det E −
1 λ 1 A −1 1 − 1 λ 2 A −1 2 = det(λ
1 λ 2 A 2 A 1 − λ
1 A 1 − λ 2 A 2 ) = 0.
Теорема 2. Поверхности X T A 1 X = 1 и X T A
X = 1 не пере- секаются тогда и только тогда, когда матрица A 1 − A
2 является
знакоопределенной. При выполнении этого условия величина d 2 сов- падает с минимальным положительным корнем уравнения F(z)
def = D
λ (det(λA
1 + (z − λ)A 2 − λ(z − λ)A 1 A 2 )) = 0 (10)
в предположении, что этот корень не является кратным. Замечание 1. Как правило, имеем deg F = n(n + 1). Пример 1. Найти расстояние между эллипсами 10x
2 − 12xy + 8y 2 = 1 и x
2 + xy + y
2 = 1
и координаты их ближайших точек. Решение. Представив дискриминант (10) в виде определителя (5), найдем его величину: 936086976z 6 − 10969697376z 5 + 50706209664z 4 − 115515184664z 3 + +130176444432z 2 − 59826725574z + 2866271785. Его положительные корни: z 1 ≈ 0, 05394, z 2 ≈ 1, 33405, z 3 ≈ 1, 95921, z 4 ≈ 2, 87858. Таким образом, расстояние между эллипсами равно √ z 1 ≈ 0, 23226. Для определения пары ближайших точек на эллипсах подставим z = z
1 в определитель (5) и, ” вырезав“ из него нужные миноры, опре- делим соответствующее значение λ 1 по формуле (6): λ 1 ≈ −0, 13576. Второе из уравнений (8) даст значение λ 2 = z − λ 1 ≈ 0, 18970. При 105
получившейся паре значений λ 1 и λ 2 определитель системы урав- нений из (8) обращается в нуль. Система имеет нетривиальные ре- шения, из которых нормированием вторым из условий (8) выделим два: Z T
ем ближайшие точки на эллипсах. Ответ: d ≈ 0, 23226, ближайшие точки: ±(0, 38383, 0, 44186) и ±(0, 54499, 0, 60911) соответственно. В случае, когда поверхности (1) и (2) общего вида (не обязательно центральные), для нахождения расстояния воспользуемся обобщени- ем понятия дискриминанта на случай полинома от двух переменных. Формально, дискриминант полинома f (x, y) можно определить как симметрическую функцию множества решений {(α j , β
j )} N j=1 сис-
темы уравнений ∂f /∂x = 0, ∂f /∂y = 0, а именно, D x,y (f ) def
= N j=1 f (α j , β j ). Можно доказать, что дискриминант представ´ им в виде рациональ- ной функции коэффициентов полинома f ; метод Безу [4] дает конст- руктивный способ его вычисления посредством представления в виде подходящего определителя. Теорема 3. Поверхности (1) и (2) не пересекаются тогда и только тогда, когда уравнение Φ(z) def
= D λ det A 2 B 2 B T 2 −1 − z
− λ A 1 B 1 B T 1 −1 = 0 имеет все свои вещественные корни одного знака. При выполнении этого условия величина d 2 совпадает с минимальным положитель- ным корнем уравнения F(z)
def = D
µ 1 ,µ 2 det µ
1 A 1 B 1 B T 1 −1 + µ 2 A 2 B 2 B T 2 −1 − − A 2 A 1 A 2 B 1 B T 2 A 1 B T 2 B 1 − µ 1 µ 2 z = 0 в предположении, что этот корень не является кратным. 106
Условие пересечения поверхностей (1) и (2) из теоремы 3 выте- кает из следующих рассуждений. Экстремумы функции X T A
X + 2B T 2 X − 1 на поверхности эллипсоида (1) будут одного знака тогда и только тогда, когда поверхности (1) и (2) не пересекаются. Формули- руем задачу об условном экстремуме функции X T A
X +2B T 2 X −1−z на поверхности (1), применяем метод множителей Лагранжа и ис- ключаем из полученной системы алгебраических уравнений все пе- ременные, кроме z. Замечание 2. Как правило, имеем deg F(z) = 2n(n + 1). Замечание 3. Условие простоты минимального корня из теорем 2 и 3 является критичным: в некоторых случаях величина d 2 может не совпадать с этим корнем. Причина этого обсуждалась в [3]. Литература 1. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения: Учебное посо- бие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: ЛБЗ, 2003.
3. Утешев А.Ю., Яшина М.В. Нахождение расстояния между эллип- соидом и гиперплоскостью в R n // Процессы управления и устой- чивость: Труды 36-й научной конференции аспирантов и студен- тов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. С. 112–115. 4. Bikker P., Uteshev A.Yu. On the B´ezout construction of the resultant. // J. Symb. Comput. 1999. T.28, №1. P. 45–88. 107
Чашников М.В. Санкт-Петербургский государственный университет Использование запаздывания в задаче стабилизации колебательной системы Рекомендовано к публикации профессором Харитоновым В.Л. 1. Введение. Рассмотрим колебательную систему с n степенями свободы, а именно, систему n материальных точек (грузов) с мас- сами m
1 , . . . , m n , соединенных последовательно пружинами с коэф- фициентами жесткости соответственно k 1 ,. . . , k n . Через y i обозначим расстояние между положением i-го груза и точкой подвеса первого груза (см. рис. 1). Рис. 1. Запишем уравнения движения данной системы. Для этого рас- смотрим силы, действующие на каждую массу. Очевидно, это сила тяжести и силы, действующие на груз со стороны связанных с ним пружин. Отсюда имеем m 1 ¨ y 1 = −k 1 y 1 + k
2 (y 2 − y 1 ) + m 1 g, m 2 ¨ y 2 = −k
2 (y 2 − y 1 ) + k 3 (y 3 − y 2 ) + m 2 g, . . . m n ¨ y n = −k n (y n − y n−1
) + m n g. (1) Положением равновесия системы (1) является, очевидно, вектор y 0
0 1 , . . . , y 0 n ) T , координаты которого обращают правую часть (1) 108
в нуль. Запишем систему в отклонениях m 1 ¨ z 1 = −k 1 z 1 + k
2 (z 2 − z 1 ), m 2 ¨ z 2 = −k 2 (z 2 − z 1 ) + k 3 (z 3 − z 2 ), . . . m n ¨ z n = −k n (z n − z
n−1 ), (2) где z i = y i − y
0 i . Лемма 1. Нулевое решение системы (2) устойчиво по Ляпуно- ву.
Доказательство. Введем функцию Π(z) = Π(z 1 , . . . , z n ) =
k 1 2 z 2 1 + n i=2 k i 2 (z i − z i−1 ) 2 . Механически эта функция интерпретируется как потенциальная энергия системы (2), выбранная так, чтобы в положении равновесия она обращалась в нуль. Теперь рассмотрим кинетическую энергию K( ˙z) = n i=1 m i ˙z 2 i 2 и введем обозначение V (z, ˙z) = Π(z) + K( ˙z). Очевидно, функ- ция V (z, ˙z) положительно определена по совокупности переменных. Непосредственной проверкой можно убедиться, что ее производная в силу системы (2) тождественно равна нулю, и, следовательно, по теореме Ляпунова положение равновесия z = 0 устойчиво. Лемма доказана. Заметим, что система (2) имеет нетривиальное решение вида e λt (c 1 , . . . , c n ) T = e λt c, где λ — фиксированное комплексное число тогда и только тогда, когда определитель матрицы s 2 + k 1 +k 2 m 1 −k жүктеу/скачать 30,48 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|