Процессы управления и устойчивость

1. V и W положительно определены относительно множества

M в Ω;

2. V допускает бесконечно малый высший предел относительно

множества M ;

3. V ∈ C

1

(Ω) и ˙

V

(1)

= −W на множестве (x) ≥ λ(t);

4. λ(t) > 0 и λ(t) → 0 при t → +∞;

5. V → +∞ при x → +∞,

тогда все решения системы (1) будут асимптотически прибли-

жаться к множеству M при t → +∞.

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку (t

0

, x

0

),

t

0

≥ 0 и рассмотрим решение x(t, t

0

, x

0

). Сначала покажем, что оно

продолжимо на интервал [t

0

, +∞). Пусть это не так, тогда существу-

ет

конечный

момент

времени

t

∗

> t

0

такой,

что

x(t, t

0

, x

0

) → +∞ при t → t

∗

− 0. Это, в силу ограниченности мно-

жества М, равносильно тому, что (x(t, t

0

, x

0

)) → +∞ при t → t

∗

− 0.

Функция λ(t) ограничена при t ≥ 0, следовательно, существует

t ∈ [t

0

, t

∗

) такое, что (x(t, t

0

, x

0

)) ≥ λ(t) для всех t ∈ [t, t

∗

), а тогда

функция v(t) = V (t, x(t, t

0

, x

0

)) будет монотонно убывать на проме-

жутке [t, t

∗

), т.е. будет выполнено условие v(t) > v(t) для любого

t ∈ (t, t

∗

). Но величина v(t) конечная, а v(t) → +∞ при t → t

∗

− 0.

Полученное противоречие доказывает продолжимость x(t, t

0

, x

0

) на

множество t ≥ t

0

.

Покажем, что на множестве t ≥ t

0

решение x(t, t

0

, x

0

) будет огра-

ничено. Пусть предположение не верно, тогда существует последова-

тельность {t

k

} → +∞ при k → +∞ такая, что x(t

k

, t

0

, x

0

) → +∞

при k → +∞, а, следовательно, и

(x(t

k

, t

0

, x

0

)) → +∞ при k → +∞.

(2)

В этом случае для функции x(t, t

0

, x

0

) возможны две ситуации:

1. Существует T ≥ t

0

такое, что (x(t, t

0

, x

0

)) ≥ λ(t) для всех

t ≥ T . Но тогда v(t) монотонно убывает при t ≥ T , а с другой

стороны, v(t

k

) → +∞ при k → +∞, что невозможно.

2. Существует последовательность {t

k

} → +∞ при k → +∞ та-

кая, что (x(t

k

, t

0

, x

0

)) = λ(t

k

) для любого k ≥ 1.

51

В последней ситуации зафиксируем произвольное число L > 0. В

силу (2), существует T

1

= T

1

(L) ≥ t

0

такое, что (x(t

k

, t

0

, x

0

)) > L

для всех t

k

≥ T

1

. Следовательно, существует бесконечная последо-

вательность отрезков

{[t

k

, t

k

]}, t

k

→ +∞ при k → +∞,

для которой выполнено: (x(t

k

, t

0

, x

0

)) = λ(t

k

), (x(t

k

, t

0

, x

0

)) = L и

λ(t) ≤ (x(t, t

0

, x

0

)) ≤ L при t ∈ (t

k

, t

k

).

Функция V (t, x) положительно определена относительно М, следо-

вательно, существует непрерывная функция V

1

(x), V

1

(x) > 0 при

(x) > 0, V

1

(x) = 0 при (x) = 0 такая, что V (t, x) ≥ V

1

(x) для всех

x и всех t ≥ 0. Пусть

min

(x)=L

V

1

(x) = l(L) = l.

(3)

Ясно, что l > 0. Из того, что V (t, x) допускает бесконечно малый

высший предел относительно М, следует, что функция

ϕ(t) =

max

(x)=λ(t)

V (t, x)

стремится к нулю при t → +∞, следовательно, существует момент

T

2

= T

2

(L) ≥ 0 такой, что

ϕ(t) < l для всех t ≥ T

2

.

(4)

Обозначим T = max{T

1

, T

2

}, тогда при t ≥ T функция v(t) монотон-

но убывает на отрезках [t

k

, t

k

], следовательно, начиная с некоторо-

го k будет выполнено неравенство v(t

k

) > v(t

k

), что противоречит

условиям (3) и (4). Таким образом, и вторая ситуация невозможна.

Поэтому для любой точки (t

0

, x

0

) существует постоянная величина

H = H(t

0

, x

0

) > 0 такая, что (x(t, t

0

, x

0

)) ≤ H при всех t ≥ t

0

.

Осталось показать, что (x(t, t

0

, x

0

)) → 0 при t → +∞. Пусть

это не так, тогда существует постоянная величина α > 0 такая, что

имеет место одна из трёх ситуаций:

1. Существует T

1

≥ t

0

такое, что (x(t, t

0

, x

0

)) ≥ α при t ≥ T

1

.

2. Существуют T

1

≥ t

0

и две последовательности {t

k

} → +∞,

{t

k

} → +∞ при k → +∞ такие, что для всех t ≥ T

1

выполнено

(x(t, t

0

, x

0

)) ≥ λ(t), (x(t

k

, t

0

, x

0

))−−−−→

k→+∞

0, (x(t

k

, t

0

, x

0

)) = α.

52

3. Существуют последовательности {t

k

} → +∞, {t

k

} → +∞ при

k → +∞ такие, что (x(t

k

, t

0

, x

0

)) = λ(t

k

), (x(t

k

, t

0

, x

0

)) = α.

В первом случае, из положительной определённости функции

W (t, x) относительно множества М, следует, что существует непре-

рывная при x ∈ R

n

функция W

1

(x), W

1

(x) > 0 при (x) > 0 такая,

что W (t, x) ≥ W

1

(x) для всех x и всех t ≥ 0. Положим

min

α≤ (x)≤H

W

1

(x) = γ(α, H) = γ.

Ясно, что γ > 0. Функция λ(t) → 0 при t → +∞, следовательно,

найдётся T

2

= T

2

(α) ≥ 0 такое, что

λ(t) < α, для любого t ≥ T

2

.

(5)

Пусть T = max{T

1

, T

2

}, тогда при t ≥ T будет выполнено

˙v(t) ≤ −γ.

Проинтегрировав это неравенство в пределах от T до t, получим

v(t) ≤ v(T ) − γ(t − T ).

Здесь правая часть неравенства стремится к −∞ при t → +∞, а

левая неотрицательна для любого t, что говорит о том, что первая

ситуация невозможна.

Рассмотрим вторую ситуацию. Пусть η > 0 выбрано из условия

η = η(α) = min

(x)=α

V

1

(x),

(6)

а T

2

определяется соотношением (5). В силу того, что v(t

k

) → 0 при

k → +∞, существует T

3

= T

3

(α) ≥ 0 такое, что v(t

k

) < η для всех

t

k

≥ T

3

. Обозначим через T = max{T

1

, T

2

, T

3

}, тогда v(t) монотонно

убывает при t ≥ T , но, начиная с некоторого k, получим v(t

k

) < η, а

v(t

k

) ≥ η, что противоречит монотонному убыванию функции v(t).

В третьем случае существует бесконечная последовательность от-

резков [τ

k

, τ

k

], τ

k

→ +∞ при k → +∞ такая, что

(x(τ

k

, t

0

, x

0

)) = λ(τ

k

), (x(τ

k

, t

0

, x

0

)) = α,

53

причём, (x(t, t

0

, x

0

)) ∈ [λ(t), α] для любого t ∈ [τ

k

, τ

k

]. Функция

ϕ(t) → 0 при t → +∞, следовательно, существует T

3

= T

3

(α) ≥ 0

такое, что

ϕ(t) < η для всех t ≥ T

3

.

(7)

Рассмотрим v(t) при t ≥ T = max{T

2

, T

3

}, где T

2

определяется усло-

вием (5). На каждом отрезке [τ

k

, τ

k

] функция v(t) монотонно убы-

вает, следовательно, v(τ

k

) > v(τ

k

). С другой стороны, v(τ

k

) > η в

силу (6), а v(τ

k

) < η, в силу (7). Следовательно, и третья ситуация

невозможна.

Таким образом, в силу произвольности выбора начальной точки

(t

0

, x

0

), t

0

≥ 0, можно утверждать, что все решения, начинающиеся

на множестве Ω, стремятся к множеству М при t → +∞.

Замечание 1. Из доказательства теоремы 1 следует, что если

для системы (1) существуют функции λ(t), V (t, x) и W (t, x), удо-

влетворяющие на множестве Ω(T ) = (x, t)

x ∈ R

n

, t ≥ T

всем

условиям теоремы 1, то все решения, начинающиеся на множестве

Ω(T ), стремятся к М при неограниченном возрастании времени.

Далее, рассмотрим множество Ω

h

. Пусть функция V (t, x) поло-

жительно определена относительно множества М, целиком содер-

жащемся внутри Ω

h

. Тогда существует непрерывная в Ω

h

функция

V

1

(x) > 0 при (x) > 0, V

1

(x) = 0 при (x) = 0 такая, что

V (t, x) ≥ V

1

(x), для всех (t, x) ∈ Ω

h

.

Теорема 2. Если для системы (1) существуют функции V (t, x),

W (t, x) и λ(t), удовлетворяющие на множестве Ω

h

первым четы-

рём условиям теоремы 1, и постоянная ξ > 0 такая, что

max

(x)=λ(t)

V (t, x) < min

(x)=ξ

V

1

(x),

(8)

при условии, что множество (x) ≤ ξ содержится внутри Ω

h

, то-

гда множество М является асимптотически инвариантным мно-

жеством для траекторий системы (1).

Доказательство. Пусть α удовлетворяет условиям теоремы 2 и

β > 0 определяется равенствами

β = β(ξ) = min

(x)=ξ

V

1

(x).

(9)

V (t, x) допускает бесконечно малый высший предел, относительно

множества М, следовательно, существует непрерывная на множестве

54

Ω

h

функция V

2

(x), V

2

(x) = 0 при (x) = 0, которая удовлетворяет

неравенству

V (t, x) ≤ V

2

(x) для всех (t, x) ∈ Ω

h

.

А тогда существует δ = δ(ξ) > 0 такое, что

V

2

(x) < β

(10)

при (x) ≤ δ. Покажем, что если (x

0

) ≤ δ, то (x(t, t

0

, x

0

)) < ξ.

Предположим, что это не так, тогда существует момент t

∗

> t

0

та-

кой, что (x(t

∗

, t

0

, x

0

)) = ξ. В этом случае для решения x(t, t

0

, x

0

)

возможны две ситуации: либо (x

0

) ≤ λ(t

0

), либо (x

0

) > λ(t

0

). В

первом случае существует t ∈ [t

0

, t

∗

) такое, что (x(t, t

0

, x

0

)) = λ(t)

и (x(t, t

0

, x

0

)) ≥ λ(t) для любого t ∈ [t, t

∗

], следовательно, функ-

ция v(t) = V (x(t, t

0

, x

0

)) монотонно убывает при t ∈ [t, t

∗

], т.е.

v(t) > v(t

∗

), что противоречит условию (8) теоремы 2, так как

v(t) ≤

max

(x)=λ(t)

V (t, x) < max

(x)=ξ

V

1

(x) ≤ v(t

∗

).

Во втором случае может существовать момент t ∈ [t

0

, t

∗

) такой,

что (x(t, t

0

, x

0

)) ≤ λ(t), тогда вновь попадаем в первую ситуацию.

Если такого момента нет, то (x(t, t

0

, x

0

)) ≥ λ(t) для всех t ∈ [t

0

, t

∗

],

следовательно, v(t

0

) > v(t

∗

), но v(t

0

) < β в силу условия (10), а,

v(t

∗

) ≥ β в силу соотношения (9). Таким образом, показано, что

(x(t, t

0

, x

0

)) ≤ ξ для любого t ≥ t

0

.

Теперь покажем, что (x(t, t

0

, x

0

)) → 0 при t → +∞. Предпо-

ложим, что это не так, тогда, как и в доказательстве теоремы 1,

существует постоянная величина α > 0, для которой имеет место

одна из трёх ситуаций:

1. существует T

1

≥ t

0

такое, что α ≤ (x(t, t

0

, x

0

)) ≤ ξ при t ≥ T

1

;

2. существует T

1

≥ t

0

и две последовательности {t

k

} → +∞,

{t

k

} → +∞ при k → +∞, такие, что λ(t) ≤ (x(t, t

0

, x

0

)) ≤ ξ

для всех t ≥ T

1

, (x(t

k

, t

0

, x

0

))−−−−→

k→+∞

0 и (x(t

k

, t

0

, x

0

)) = α;

3. существуют последовательности {t

k

} → +∞, {t

k

} → +∞ при

k → +∞ такие, что (x(t

k

, t

0

, x

0

)) = λ(t

k

), (x(t

k

, t

0

, x

0

)) = α.

В первом случае, из положительной определённости функции

W (t, x) относительно множества М, следует, что существует непре-

рывная на множестве x

≤ h функция W

1

(x), W

1

(x) > 0 при

55

(x) > 0 такая, что W (t, x) ≥ W

1

(x) для всех x и всех t ≥ 0. Найдём

γ > 0 из условия

min

α≤ (x)≤ξ

W

1

(x) = γ(α, ξ) = γ.

Пусть момент T

2

определяется соотношением (5), и T = max{T

1

, T

2

},

тогда при t ≥ T будет выполнено

˙v(t) ≤ −γ.

Проинтегрировав, это неравенство в пределах от T до t получим

v(t) ≤ v(T ) − γ(t − T ).

Здесь правая часть неравенства стремится к −∞ при t → +∞, а

левая неотрицательна для любого t, что говорит о том, что первая

ситуация невозможна.

Рассмотрим теперь вторую ситуацию. Пусть, как и прежде, мо-

мент T

2

определяется соотношением (5), а величина η соотношени-

ем (6). В силу того, что v(t

k

) → 0 при k → +∞, существует момент

T

3

= T

3

(α) ≥ 0 такой, что v(t

k

) < η для всех t

k

≥ T

3

. Обозначим

через T = max{T

1

, T

2

, T

3

}, тогда v(t) монотонно убывает при t ≥ T ,

но, начиная с некоторого k, получим v(t

k

) < η, а v(t

k

) ≥ η, что

противоречит монотонному убыванию функции v(t).

В третьем случае, как и прежде, существует бесконечная после-

довательность отрезков [τ

k

, τ

k

], τ

k

→ +∞ при k → +∞ такая, что

(x(τ

k

, t

0

, x

0

)) = λ(τ

k

), (x(τ

k

, t

0

, x

0

)) = α,

причём, (x(t, t

0

, x

0

)) ∈ [λ(t), α] для любого t ∈ [τ

k

, τ

k

]. Пусть мо-

менты T

2

и T

3

определяются соотношениями (5) и (7), соответ-

ственно, а величина η > 0 соотношением (6). Рассмотрим v(t) при

t ≥ T = max{T

2

, T

3

}. На каждом отрезке [τ

k

, τ

k

] функция v(t) мо-

нотонно убывает, следовательно, v(τ

k

) > v(τ

k

). С другой стороны,

v(τ

k

) > η в силу (6), а v(τ

k

) < η в силу (7). Следовательно, и третья

ситуация невозможна.

Таким образом, показано, что существует δ-окрестность множе-

ства М такая, что выпущенные из неё решения остаются ограничен-

ными при t ≥ t

0

, и стремятся к множеству М при t → +∞. Тем

самым, теорема доказана полностью.

56

Минайло А.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Об устойчивости по части переменных

нелинейных разностных систем

Рекомендовано к публикации профессором Александровым А.Ю.

В работе исследована устойчивость по части переменных реше-

ний нелинейных разностных систем. Рассматривается воздействие

на систему неавтономных возмущений. Доказано, что для некото-

рых классов неавтономных возмущений порядок компонент вектора

возмущений может быть ниже порядка компонент функций, входя-

щих в правую часть системы.

1. Условия сохранения устойчивости при возмущениях,

порядок которых выше порядка функций, входящих в пра-

вую часть системы. Рассмотрим систему

X

k+1

= X

k

+ F (X

k

) + M

k

(X

k

, Y

k

),

Y

k+1

= P

k

(Y

k

) + D

k

(X

k

, Y

k

).

(1)

Здесь X, Y — векторы размерности n

1

и n

2

соответственно, эле-

менты вектора F (X) определены для любого X ∈ E

n

1

, являются

непрерывно дифференцируемыми обобщенно-однородными функци-

ями класса (m

1

, . . . , m

n

1

) порядка σ + m

i

[1] и удовлетворяют, в силу

обобщенной однородности, следующим неравенствам

c

1i

r

σ+m

i

(X) ≤ F

i

(X) ≤ c

2i

r

σ+m

i

(X),

где σ = p/q — рациональное число, (q — нечетное, p — любое целое

число), σ + m

i

> 0, i = 1, n

1

, X = (x

1

, . . . , x

n

1

)

∗

, r(X) =

n

1

i=1

|x

i

|

1

mi

, а

c

1i

и c

2i

имеют вид

c

1i

= inf

r(X)=1

F

i

(X),

c

2i

= sup

r(X)=1

F

i

(X).

57

Векторные функции P

k

(Y ), D

k

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: