Р. Г. Стронгина. Ниж- ний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 2002, 217 с



Pdf көрінісі
бет97/151
Дата26.01.2022
өлшемі1,64 Mb.
#24342
түріСеминар
1   ...   93   94   95   96   97   98   99   100   ...   151
Определение. Если существует отображение TM(d)→M(0), такое, 
что  система (1) под  действием  отображения  T  преобразуется  к  m×d 
линейно  независимых  уравнений,  то  будем  говорить,  что  система (1) 
имеет инвариантное многообразие M(d) соответствующее D подсисте-
мам в (1), синхронизованным в d кластеров.  
 
Пример 1. При d = 1 в решетке (1) существует многообразие пол-
ной синхронизации M(1) = {X
ijk
 = U
1
 
]
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
{
[
)
(
~
4
4 3
4
4 2
1
4
43
4
42
1
43
42
1
3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
N
N
N
p
p
p
c
c
c
r
r
r
M
=

При d = N
1
×N
2
×N
3
 многообразие M
0
(N) есть фазовое пространство 
системы (1) 
]
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
{
[
)
(
~
4
4 3
4
4 2
1
4
4 3
4
4 2
1
4
4 3
4
4 2
1
3
3
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
N
N
N
N
N
N
p
p
p
c
c
c
r
r
r
N
M
=

 
Утверждение 1.  
1. В системе (1) существует симметричное инвариантное многооб-
разие 
)
,
,
(
3
2
1
N
N
n
M
r
s
 с 
2
1
1
/
)
int((
+
=
N
n
, задаваемое отображением: 


132 
 
};
,...,
,
,
,...,
,
,
,...,
,
,
{
:
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
N
k
N
j
n
i
U
X
X
T
k
j
i
k
j
i
k
j
i
N
r
s
=
=
=
=
=
+

 
для нечетного N

= 2n
1
 – 1 
];
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
,
,...,
{
[
)
,
,
(
~
4
4 3
4
4 2
1
4
4 3
4
4 2
1
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
2
1
3
3
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
3
2
1
N
N
N
N
N
n
n
n
r
s
p
p
p
c
c
c
r
r
r
r
r
N
N
n
M


=
=
 
для четного N

= 2n
1
  
]
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
,...,
{
[
)
,
,
(
~
4
4 3
4
4 2
1
4
4 3
4
4 2
1
4
4
4
3
4
4
4
2
1
3
3
2
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
3
2
1
N
N
N
N
N
n
n
r
s
p
p
p
c
c
c
r
r
r
r
N
N
n
M
=
=

2. В  системе (1) существует  асимметричное  инвариантное  много-
образие 
)
,
,
(
3
2
1
N
N
n
M
r
а
  с 
1
1
1
p
n
N

=
,  n  и  p – произвольные  целые 
числа, задаваемое отображением:  
 
};
,...,
,
,
,...,
,
,
,..,
,
,
,...,
,
,
{
:
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
N
k
N
j
p
l
n
i
U
X
X
X
T
k
j
i
k
j
i
k
j
l
n
i
k
j
N
r
a
l
n
i
=
=
=
=
=
=
=
+
+

+
 
.
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
{
;
,...}
...,
,
,...,
,
,...,
{
[
)
,
,
(
~
4
4 3
4
4 2
1
4
4 3
4
4 2
1
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
2
1
3
3
2
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
3
2
1
N
N
N
N
p
n
n
n
n
a
r
p
p
p
c
c
c
r
r
r
r
r
r
N
N
n
M

=
=

 
Утверждение 2. 
В системе (1) существует пересечение многообразий 
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
,
,
,
3
2
1
3
2
1
3
2
1
N
n
N
M
N
N
n
M
N
n
n
M
c
а
s
r
а
s
а
s
I
=
×

задаваемое 
системой  отображений 
)
,
(
c
r
T
T
 
c
r
r
M
M
N
n
n
M
~
~
)
,
,
(
~
I
=
3
2
1
,  размер-
ность многообразия 
m
N
n
n
M
×
×
×
=
×
3
2
1
dim

Пример 2. 
Рассмотрим двумерную решетку, содержащую N
1
 = 3 и N
2
 = 5 эле-
ментов, и используем целые числа для обозначения элементов, так что 
элементы, обозначаемые одним и тем же числом, принадлежат одному 
и тому же кластеру и демонстрируют идентичное поведение. Два глав-
ных многообразия синхронизации для чисел N
1
 и N
2
 имеют вид: 


 
133 










=
×
1
2
3
2
1
4
5
6
5
4
1
2
3
2
1
3
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
)
,
(
s
M
 










=
5
4
3
2
1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
5
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
)
,
(
c
s
M

В случае решетки с числами N
1
 = 3 и N
2
 = 6 асимметричные много-
образия имеют вид: 










=
×
2
1
1
2
2
1
4
3
3
4
4
3
2
1
1
2
2
1
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
)
,
(
a
M
 










=
×
1
2
3
3
2
1
4
5
6
6
5
4
1
2
3
3
2
1
3
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
)
,
(
s
M

Проведено  исследование  последовательности  вложений  многооб-
разий.  Обнаружено,  что  многообразия  образуют  полный  набор  всех 
допустимых  режимов  кластерной  синхронизации,  которые  могут воз-
никать в решетках в зависимости от размеров решетки и типа гранич-
ных условий. 
Проведено исследование условий глобальной устойчивости режи-
ма  полной  синхронизации.  Найдены  достаточные  условия,  при  кото-
рых в решетке реализуется режим полной синхронизаци. Дана оценка 
необходимых  условий  устойчивости  режима  полной  синхронизации. 
Найдены  достаточные  условия  устойчивости  многообразий.  Подроб-
ное изложение приведенных выше результатов см. в [1]. 
Проведено исследование процесса образования пространственных 
структур при помощи численного моделирования в решетках неболь-
ших  размеров (6×6, 7×7) состоящих  из  элементов,  описываемых  из-
вестными системами Лурье и Ресслера. Обнаружено, что в зависимо-
сти  от  начальных  условий  в  решетке  реализуются  пространственные 
профили,  соответсвующие  описанным  выше  многообразиям  синхро-
низации. 
Численное  исследование  проводилось  следующим  образом.  Зада-
вались параметры элементов, коэффициенты связи между элементами 
и произвольные начальные значения амплитуд элементов. Численный 
расчет проводился до 10
6
 итераций, за время, необходимое для форми-
рования стационарного профиля. Пространство параметров имело дос-
таточно подробное разбиение ~1000 точек. Для проведения рассчетов 
решеток  больших  размеров  применялось  распараллеливание  по  про-
странству параметров задачи. 


134 
Параллельный алгоритм 
Условия  задачи,  а  именно независимость рассчетов от точек про-
странства парамеров, предполагают простой путь для увеличения про-
изводительности за счет применения кластера из нескольких компью-
теров.  Для  реализации  алгоритма  была  написана  программа,  исполь-
зующая  интерфейс MPI – Message Passing Interface, реализованный  в 
библиотеке MPICH. Программа состоит из двух частей потоков. Глав-
ный, управляющий поток формирует задание, т.е. проводит разбиение 
области  параметров  в  зависимости  от  числа  компьютеров  в  кластере, 
производит рассылку параметров дочерним потокам, собирает резуль-
таты  рассчетов.  Дочерние  потоки  принимают  задания,  проводят  рас-
счеты и отсылают результаты рассчетов главному потоку. 
Оценим  эффективность  примения  параллельных  вычислений  для 
нашей задачи. Учтем несколько факторов: 
1.  Большое число точек области параметров. 
2.  Большое число итераций для получения стационарного профиля. 
3.  Малое  время  передачи  параметров  от  главного  к  дочерним  про-
цессам. 
Учитывая  это,  можно  пренебречь  временем  передачи  данных  по 
сравнению со временем проведения рассчетов. Получаем, что ускоре-
ние от применения параллельных вычислений равно числу компьюте-
ров в кластере. 
Таким образом, применение параллельных вычислений приводит к 
существенному  увеличению  скорости  вычислений (~10–15 раз),  что 
дает  возможность  исследовать  процессы  синхронизации  в  системах 
больших размеров. 


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   93   94   95   96   97   98   99   100   ...   151




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет