Р. Г. Стронгина. Ниж- ний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 2002, 217 с

132 
 
};
,...,
,
,
,...,
,
,
,...,
,
,
{
:
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
N
k
N
j
n
i
U
X
X
T
k
j
i
k
j
i
k
j
i
N
r
s
=
=
=
=
=
+
−
 
для нечетного N
1 
= 2n
1
 – 1 
];
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
,
,...,
{
[
)
,
,
(
~
4
4 3
4
4 2
1
4
4 3
4
4 2
1
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
2
1
3
3
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
3
2
1
N
N
N
N
N
n
n
n
r
s
p
p
p
c
c
c
r
r
r
r
r
N
N
n
M
−
−
=
=
 
для четного N
1 
= 2n
1
  
]
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
,...,
{
[
)
,
,
(
~
4
4 3
4
4 2
1
4
4 3
4
4 2
1
4
4
4
3
4
4
4
2
1
3
3
2
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
3
2
1
N
N
N
N
N
n
n
r
s
p
p
p
c
c
c
r
r
r
r
N
N
n
M
=
=
. 
2. В  системе (1) существует  асимметричное  инвариантное  много-
образие 
)
,
,
(
3
2
1
N
N
n
M
r
а
  с 
1
1
1
p
n
N
⋅
=
,  n  и  p – произвольные  целые 
числа, задаваемое отображением:  
 
};
,...,
,
,
,...,
,
,
,..,
,
,
,...,
,
,
{
:
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
N
k
N
j
p
l
n
i
U
X
X
X
T
k
j
i
k
j
i
k
j
l
n
i
k
j
N
r
a
l
n
i
=
=
=
=
=
=
=
+
+
−
+
 
.
}
,...,
,
{
;
}
,...,
,
{
;
,...}
...,
,
,...,
,
,...,
{
[
)
,
,
(
~
4
4 3
4
4 2
1
4
4 3
4
4 2
1
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
2
1
3
3
2
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
3
2
1
N
N
N
N
p
n
n
n
n
a
r
p
p
p
c
c
c
r
r
r
r
r
r
N
N
n
M
⋅
=
=
. 
 
Утверждение 2. 
В системе (1) существует пересечение многообразий 
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
,
,
,
3
2
1
3
2
1
3
2
1
N
n
N
M
N
N
n
M
N
n
n
M
c
а
s
r
а
s
а
s
I
=
×
, 
задаваемое 
системой  отображений 
)
,
(
c
r
T
T
 
c
r
r
M
M
N
n
n
M
~
~
)
,
,
(
~
I
=
3
2
1
,  размер-
ность многообразия 
m
N
n
n
M
×
×
×
=
×
3
2
1
dim
. 
Пример 2. 
Рассмотрим двумерную решетку, содержащую N
1
 = 3 и N
2
 = 5 эле-
ментов, и используем целые числа для обозначения элементов, так что 
элементы, обозначаемые одним и тем же числом, принадлежат одному 
и тому же кластеру и демонстрируют идентичное поведение. Два глав-
ных многообразия синхронизации для чисел N
1
 и N
2
 имеют вид: 

 
133 










=
×
1
2
3
2
1
4
5
6
5
4
1
2
3
2
1
3
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
)
,
(
s
M
 










=
5
4
3
2
1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
5
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
)
,
(
c
s
M
. 
В случае решетки с числами N
1
 = 3 и N
2
 = 6 асимметричные много-
образия имеют вид: 










=
×
2
1
1
2
2
1
4
3
3
4
4
3
2
1
1
2
2
1
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
)
,
(
a
M
 










=
×
1
2
3
3
2
1
4
5
6
6
5
4
1
2
3
3
2
1
3
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
)
,
(
s
M
. 
Проведено  исследование  последовательности  вложений  многооб-
разий.  Обнаружено,  что  многообразия  образуют  полный  набор  всех 
допустимых  режимов  кластерной  синхронизации,  которые  могут воз-
никать в решетках в зависимости от размеров решетки и типа гранич-
ных условий. 
Проведено исследование условий глобальной устойчивости режи-
ма  полной  синхронизации.  Найдены  достаточные  условия,  при  кото-
рых в решетке реализуется режим полной синхронизаци. Дана оценка 
необходимых  условий  устойчивости  режима  полной  синхронизации. 
Найдены  достаточные  условия  устойчивости  многообразий.  Подроб-
ное изложение приведенных выше результатов см. в [1]. 
Проведено исследование процесса образования пространственных 
структур при помощи численного моделирования в решетках неболь-
ших  размеров (6×6, 7×7) состоящих  из  элементов,  описываемых  из-
вестными системами Лурье и Ресслера. Обнаружено, что в зависимо-
сти  от  начальных  условий  в  решетке  реализуются  пространственные 
профили,  соответсвующие  описанным  выше  многообразиям  синхро-
низации. 
Численное  исследование  проводилось  следующим  образом.  Зада-
вались параметры элементов, коэффициенты связи между элементами 
и произвольные начальные значения амплитуд элементов. Численный 
расчет проводился до 10
6
 итераций, за время, необходимое для форми-
рования стационарного профиля. Пространство параметров имело дос-
таточно подробное разбиение ~1000 точек. Для проведения рассчетов 
решеток  больших  размеров  применялось  распараллеливание  по  про-
странству параметров задачи. 

134 
Параллельный алгоритм 
Условия  задачи,  а  именно независимость рассчетов от точек про-
странства парамеров, предполагают простой путь для увеличения про-
изводительности за счет применения кластера из нескольких компью-
теров.  Для  реализации  алгоритма  была  написана  программа,  исполь-
зующая  интерфейс MPI – Message Passing Interface, реализованный  в 
библиотеке MPICH. Программа состоит из двух частей потоков. Глав-
ный, управляющий поток формирует задание, т.е. проводит разбиение 
области  параметров  в  зависимости  от  числа  компьютеров  в  кластере, 
производит рассылку параметров дочерним потокам, собирает резуль-
таты  рассчетов.  Дочерние  потоки  принимают  задания,  проводят  рас-
счеты и отсылают результаты рассчетов главному потоку. 
Оценим  эффективность  примения  параллельных  вычислений  для 
нашей задачи. Учтем несколько факторов: 
1.  Большое число точек области параметров. 
2.  Большое число итераций для получения стационарного профиля. 
3.  Малое  время  передачи  параметров  от  главного  к  дочерним  про-
цессам. 
Учитывая  это,  можно  пренебречь  временем  передачи  данных  по 
сравнению со временем проведения рассчетов. Получаем, что ускоре-
ние от применения параллельных вычислений равно числу компьюте-
ров в кластере. 
Таким образом, применение параллельных вычислений приводит к 
существенному  увеличению  скорости  вычислений (~10–15 раз),  что 
дает  возможность  исследовать  процессы  синхронизации  в  системах 
больших размеров. 

жүктеу/скачать 1,64 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: