Радиус и круг кривизны
Определение 7. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R = 1/K, или
Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М.
Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.
Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.
Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты и центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:
Так как точка C(, ) лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению .
Далее, точка C(, ) находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:
Решив совместно уравнения * определим , :
и так как , то
Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0 и y!!<0. Если y!!>0 , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, >y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае y!!= y!!, формулы координат центра запишем в следующем виде:
(1)
Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и в случае y!!<0.
Параметрическое задание кривой
Если кривая задана параметрически: x = (t), y = (t), то координаты центра кривизны можно получить из формул *, подставляя в них вместо y! и y!! их выражения через параметр:
.
Тогда
(2)
Достарыңызбен бөлісу: |
