Вычисление кривизны
Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M(x, y). При этом будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y=f(x) и что функция имеет непрерывную вторую производную.
Проведём касательные к кривой в точках M и M1 с абсциссами x и x+x и обозначим через и + углы наклона этих касательных (рис.7).
Длину дуги M0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0, обозначим через s; тогда s = M0M1 - M0M, аs = MM1. Как видно из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге MM1 равен абсолютной величине разности углов и +, то есть равен .
Согласно определению средней кривизны кривой на участке MM1 имеем .
Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги MM1 стремится к нулю:
Так как величины и s зависят от x, то, следовательно, можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда
Для вычисления воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически: .
Чтобы выразить производную через функцию y=f(x), заметим, что и, следовательно .
Дифференцируя по x последнее равенство, получаем .
И так как , то
, и окончательно, так как , получаем
.
Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.
Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.
Пусть кривая задана параметрически: x=(t), y=(t). Тогда
Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем
.
Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.
Пусть кривая задана уравнением вида = f(). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = cos , y = sin .
Если в эти формулы подставить вместо его выражение через , то есть f(), то получим
x = f() cos , y = f() sin
Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является .
Тогда,
,
Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах:
Достарыңызбен бөлісу: |
