5.3.Известно, что в десятичной записи числа 229 все цифры различны. Есть ли среди них цифра 0?
Ответ: есть.
Решение. Заметим, что 229 < 230 = (210)3 = (1024)3 < 2×109. Следовательно, в десятичной записи числа 229 не больше, чем 10 цифр.
С другой стороны, 229 = (210)2×29 = (1024)2×512 > 5×108, поэтому в десятичной записи числа 229 не меньше, чем 9 цифр.
Если цифр – 10 и они различные, то среди них есть ноль. Если же цифр – 9 и среди них нет нуля, то сумма цифр в десятичной записи этого числа: 1 + 2 + … + 9 = 45, откуда следует, что 229 делится на 3, что невозможно. Полученное противоречие показывает наличие нуля.
Можно также непосредственным вычислением получить, что 229 = 536870912 и убедиться, что в десятичной записи этого числа 9 различных цифр, среди которых есть 0.
