Тақырып 7. Тригонометриялық теңдеулер және олардың жүйелерін шешу.
Сабақтың мақсаттары
Функцияның симетриялы жиын , жұп,тақ,периодты,шектелген, үзіліссіз, функция монотондылығы, экстремумдары ұғымдарымен және олардың графиктерінің қасиеттерімен таныстыру.
Күтілетін нәтижелер
Графикалық кескін мен аналитикалық анықтамасы негізінде функцияның қасиеттерін ашу.
Тригонометриялық теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу әдістері.
Алдыңғы параграфта қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу жолдарымен таныстық. Енді тригонометриялық теңдеулерді жалпы түрде шешудің әр түрлі әдістерін қарастырайық.
I. Бір тригонометриялық функциямен берілген алгебралық теңдеулерге келетін тригонометриялық теңдеулер.
1 мысал. 2sin2x+3sinx-2=0 теңдеуінің шешімін табайық.
Шешуі. Берілген теңдеу sіn х функциясына қатысты квадрат теңдеу болып табылады. Егер sіn х=и алмастыруын жасасак, онда 2u2+ Зu — 2 = 0 түріндегі алгебралык квадрат теңдеу аламыз, оның түбірлері и1=-2; и2 =1/2.
Сонда берілген теңдеу sіn х функциясына катысты sіn х=-2 және sіn х=1/2 түріндегі қарапайым екі теңдеуге келеді. sіnх=-2 теңдеуінің шешімі жоқ, себебі теңдіктің оң жағы |-2| >1. sіn х=1/2,х=(-1)п•π/6 + πп, пεz. Енді табылған шешімінің берілген теңдеуді канағаттандыратынын тексерейік. Ол үшін х=π/6 -ны берілген теңдеуге коямыз. Сонда 2sin2π/6 + 3•sіnπ/6 - 2 = 2 • (1/2)2+ 3•(1/2) - 2 =(1/2) +(3/2)-2 = 0. Табылған шешім берілген теңдеуді қанағаттандырады.
Жауабы: х= (-1)п•π/6 + πп, пεz
2-мысал. 3 соs2х = 7 соsх теңдеуін шешейік.
Шешуі. Берілген теңдеудегі тригонометриялык функцияларды соs2х = 2соs2х — 1 формуласын пайдаланып, аргументтері бірдей тригонометриялық функцияға келтіреміз. 3(2соs2x- 1) = 7соsх немесе 6соs2х - 7 соsх - 3 = 0.
соsх = и деп белгілеп, 6и2 — 7и - 3 = 0 теңдеуін аламыз. Сонда
и1=3/2, и2=1/3.Алынған мәнді орнына койып,
соsх = 3/2 ,соsх=-1/3
түріндегі қарапайым теңдеулер.Бірінші теңдеудің шешімі жоқ,екінші теңдеудің шешімі 𝑥=arccos(-1/3)+2πп 𝑥=±(π-arccos1/3)+2πп, пεZ
Жауабы: 𝑥=±(π-arccos1/3)+2πп, пεZ
3-мысал.tgх + 3ctgx= 4 теңдеуін шешейік.
Шешуі. tgx·ctgx= 1 формуласынан алынған tgx=1/ ctgx өрнегін
берілген теңдеуге коямыз. Сонда 1/ ctgx +3ctgx = 4, 3ctgx 2х - 4ctgx+1=0. Енді ctgx=и алмастыруын енгізсек, З и 2 - 4 и + 1 = 0 түріндегі алгебралық теңдеу аламыз. Бұл тендеудің түбірлері и1=1/3, и2=1.
Алынған мәндерді орнына қойсақ, ctgx =1/3 және ctgx = 1 түріндегі екі қарапайым теңдеуге келеміз. Бұл теңдеулердің шешімі сәйкесінше х =arcctg1/3+ πп, пεZ және х =arcctg1 + πп немесе х= π/4+ πп, пεZ
Жауабы:arcctg1/3+πп, пεZ,π/4+ πп, пεZ
ІІ.Тригонометриялық теңдеулерді түрлендіру жолымен шешілетін тригонометриялық теңдеулер.
Мысалдар қарастырайық.
4 -мысал. sіnх+ sіn2х + sіn3х = 0 теңдеуін шешейік.
Шешуі.Берілген теңдеуді шешу үшін қосылғыштардың орнын ауыстырып , топтаймыз. Сонда (sіnх+sіn3х)+sіn2х=0 шыгады.
Енді жақша ішіндегі өрнекке синустардың қосындысының формуласын, яғни sіnα+ sіnβ =2sіn(α+β)/2·соs(α-β)/2 пайдаланамыз.Сонда 2sіn(х+3х)/2·соs(х-3х)/2+ sіn2х = 0, 2sіn2х·соs(-х)+ sіn2х = 0,sіn2х·(2соsх+1)= 0,
Берілген тендеу sіn2х= 0, соs х =-1/2 түріндегі екі қарапайым теңдеуге келеді.
Бірінші теңдеудің шешімі: 2х = πп, х = π/2п, пεZ.
Екінші теңдеудің шешімі: х = ±2π/3+2πп, пεZ.
Жауабы: π/2п, пεZ; ±2π/3+2πп, пεZ.
5-мысал. соs4х • соs2х = соs5х· соsх теңдеуін шешейік.
Шешуі. Тригонометриялық формулаларды қолданып, көбейтінді түрінде берілген өрнектерді қосындыға алмастырамыз:
соs4х • соs2х = 1/2(соs6х+ соs2х), ал соs5х • соsх = 1/2(соs6х+ соs4х).
Осыдан
соs6х+соs2х-соs6х-соs4х=0
соs2х-соs4х=0
Енді косинустардың айырымының формуласын қолданып, 2sіn3х·sіnх=0 аламыз.
Шешуі. Теңдіктің екі жағын мүшелеп 13-ке бөлеміз, себебі √122+52=13. Сонда 12/13 соsх-5/13sinx=sin3x.Осы теңдіктен sinφ =12/13, cosφ=5/13 деп алсақ, онда sinφ•соsх+ соsφ•sinx= sin3x, мұндағы φ— қосымша бұрыш. Қосымша бұрыш 0 < φ<π/2 - аралығында өзгереді, себебі sinφ˃0, cosφ> 0.
sin(φ-x)- sin3x = 0 немесе sin3x+sin(x-φ) = 0,
2 sin(3х+х-φ)/2•соs(3х-х+φ)/2=0.
Осыдан sin(2х -φ /2)= 0 және соs(х+φ /2)= 0 теңдеулеріне келеміз.
sin(2х -φ /2)= 0; 2х -φ /2= πп; 2х=φ/2+πп, пεZ.
х=φ /4+ πп/2, пεZ-бірінші теңдеудің шешімі.
соs(х+φ /2)= 0, х+φ /2=π/2+πḳ, ḳεZ; х=π/2- φ/2+ πḳ, ḳεZ-екінші теңдеудің шешімі.
Қосымша аргумент φ= arccos5/13теңдеуімен анықталса (себебі cosφ=5/13),онда x=1/4 arccos5/13+ πп/2, пεZ, х=π/2- 1/2 arccos5/13+ πḳ, ḳεZ.
Егер қосымша аргумент sinφ =12/3 теңдігімен анықталса, ондаφ=arcsin12/13.
Теңдеудің шешімі мына түрде беріледі:
x=1/4 arcsin12/13+ πп/2, пεZ, х=π/2- 1/2 arcsin12/13+ πḳ, ḳεZ.
VI. Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешу.
