Анықтама.Тригонометриялық теңдеуі бар жүйенітригонометриялық теңдеулер жүйесі деп атайды.
Анықтама. Тригонометриялық теңдеуі бар жүйені тригонометриялық теңдеулер жүйесі деп аталады.
Әр түрлі тригонометриялық теңдеулерді шешу алгебралық теңдеулерді шешу әдістеріне негізделіп шешіледі.
Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешкенде осы әдістерді және тригонометриялық тепе-теңдіктер мен негізгі формулаларды қолданамыз.
Әр түрлі тригонометриялық теңдеулер жүйесінін шешу әдістері
І түрі.{sin𝑥±sin𝑦=𝑎,𝑥±𝑦=𝑎{cos𝑥±cos𝑦=𝑎,𝑥±𝑦=𝑎{sin𝑥±cos𝑦=𝑎,𝑥±𝑦=𝑎
{𝑡𝑔𝑥±𝑡𝑔𝑦=𝑎,𝑥±𝑦=𝑎{𝑐𝑡𝑔𝑥±𝑐𝑡𝑔𝑦=𝑎,𝑥±𝑦=𝑎
Бұндай түрдегі берілген теңдеулер жүйесін шешу үшін бірінші теңдеудегі қосындыны немесе айырымды көбейтінді түріне келтіреміз.
•1-мысал.{cos2𝑦− cos2𝑥= −1,𝑥+𝑦= 𝜋4теңдеулер жүйесін шешейік.
Шешуі: Бірінші теңдеудегі косинустардың айырымын көбейтінгдіге түрлендіру формуласын қолданамыз:
{−2sin2𝑦+2𝑥2sin2𝑦−2𝑥2= −1,𝑥+𝑦= 𝜋4⇒{2sin(𝑥+𝑦)sin(𝑥−𝑦)= −1,𝑥+𝑦= 𝜋4⇒{2sin𝜋4sin(𝑥−𝑦)= −1,𝑥+𝑦= 𝜋4⇒{2∙√22sin(𝑥−𝑦)= −1,𝑥+𝑦= 𝜋4⇒{sin(𝑥−𝑦)= −√22𝑥+𝑦= 𝜋4
Алмастыру әдісі бойынша екінші теңдеудегі x-тіy арқылы өрнектеп, оны бірінші теңдеудегі x-тің орнына қоямыз: {sin(𝜋4−𝑦−𝑦)= −√22,𝑥= 𝜋4−𝑦.
sin(𝜋4−2𝑦)=−√22, - 2y = −𝜋4+(−1)𝑛+1𝜋4+𝜋𝑛,𝑛∈𝑍,
y = 𝜋8−(−1)𝑛+1𝜋8−𝜋𝑛2= 𝜋8(1−(−1)𝑛+1)− 𝜋𝑛2,𝑛∈𝑍,
x=𝜋4−𝜋8+(−1)𝑛+1𝜋8+𝜋𝑛2=𝜋8+(−1)𝑛+1𝜋8+𝜋𝑛2=𝜋8(1+(−1)𝑛+1)++𝜋𝑛2,𝑛∈𝑍,Егер n = 2k + 1 болса, онда х = 3𝜋4+𝜋𝑘,𝑘∈𝑍, y= - 𝜋2−𝜋𝑘,𝑘∈𝑍.
Жауабы:(𝜋𝑘 ;𝜋4− 𝜋𝑘),(3𝜋4+𝜋𝑘;−𝜋2−𝜋𝑘 ),𝑘∈𝑍
3-мысал.{cos𝑥+ cos𝑦= 12,𝑠𝑖𝑛2𝑥+ 𝑠𝑖𝑛2𝑦= 74теңдеулер жүйесін шешейік.
Шешуі:sin2x = 1 – cos2формуласын қолданып, {𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝑐𝑜𝑠𝑦=12,𝑐𝑜𝑠2𝑥+ 𝑐𝑜𝑠2𝑦=14 түріне келтіріп, u =sinx, v= siny белгілеулерін енгіземіз. {𝑢+𝑣=12,𝑢2+𝑣2=14⇒{𝑢+𝑣=12,𝑢𝑣= 0бұл теңдеуді шешуді өздерің орындаңдар.u1 = 0, v1= 12; u2 = 12, v2 = 0.
Табылған бұл мәндерді белгілеудегі u мен v-ның орнына қойып x пен у-тіңмәндерін табамыз:{cos𝑥=0,cos𝑦= 12⇒{𝑥= 𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍,𝑦= ±𝜋6+ 2𝑚𝜋,𝑚∈𝑍{cos𝑥=12,cos𝑦=0⇒{𝑥= ±𝜋6+ 2𝑚𝜋,𝑚∈𝑍𝑦= 𝜋2+ 𝑘𝜋,𝑘∈𝑍. Жауабы:(𝜋2+ 𝜋𝑘; ±𝜋6+2𝑚𝜋),(±𝜋6+2𝑚𝜋;𝜋2+ 𝜋𝑘 ; ),𝑘,𝑚∈𝑍
