Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.
Математикалық күтімі.
Оқу мақсаты
10.3.2.13 - дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімін есептеу
Сабақ мақсаты
Білім алушы дискреттік кездейсоқ шаманың математикалық күтімі ұғымын және оның қасиеттерін білді және математикалық күтімін есептей алады
Бағалау критерийлері
Білім алушы:
- дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі ұғымын біледі;
- дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімінің қасиеттерін біледі;
- есептер шығаруда дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімінің қасиеттерін қолданады;
- дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімін есептейді.
Құндылықтарды дарыту
Құзыреттілік, белсенді азаматтық позиция
(жұптық жұмыс кезінде Білім алушылар өз пікірін дәлелдейді, гипотеза құрады және оны дәлелдейді)
1. Үй тапсырмасын тексеру.
2. Өткен сабақты қайталау
Мұғалім Білім алушыларды топтарға олардың қалаулары бойынша біріктіріп, келесі тапсырманы орындауды ұсынады.
Тапсырма: Әрбір екі оқ атушының бір рет атқандағы ұпай санының үлестірім заңы келесі түрінде берілсін:
x
8
9
10
p
0,4
0,1
0,5
x
8
9
10
p
0,1
0,6
0,3
Қайсы оқ атушының нысанаға тигізудегі ұпай саны көбірек?
Тапсырманы орындағаннан кейін кейбір Білім алушылар өз шешімдерін түсіндіреді.
3. Сабақтың тақырыбы мен мақсатын бірлесіп анықтау
Білім алушылар сабақтың тақырыбы мен мақсатын өз бетінше анықтайды, қажет болған жағдайда мұғалім көмек береді.
Сабақтың ортасы
11-25 мин
26-35 мин
4. Өтілген тақырыпты бекіту
ultragenerator.com/splitgroups/ сайтын қолданып, Білім алушыларды жұпқа бөлеміз. Білім алушылар жұпта жұмыс істейді. Мұғалім жұптардың жұмыс барысын қадағалайды, қажет болған жағдайда көмек береді.
A. Білім алушылар алғашқы бес есепті жұпта шешеді. Тапсырмаларды шешкеннен кейін Білім алушылар оны постерлерге шығарады және сыныптастарда туындаған барлық сұрақтарға толық жауап бере отырып, барлық сыныпқа таныстырады.
1. Лотерея билетін сатып алған кезде 1.000 теңге ұтып алу ықтималдығы 0,01, 100.000 теңге ұтып алу ықтималдығы 0,001, ал 1.000.000 ұтып алу ықтималдығы 0,0001 құрайды. Осындай сатылымдағы бір лотерея билетінің құнын анықтаңыз.
Шешімі: Кездейсоқ шаманың үлестірім заңын анықтайық:
х
0
1.000
100.000
1.000.000
р
0,9889
0,01
0,001
0,0001
Алынған кестені пайдалана отырып, математикалық күтімді есептейік:
теңге.
2. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары келесі түрде берілсін:
X
1
2
Y
0,5
1
р
0,2
0,8
р
0,3
0,7
XY кездейсоқ шамалардың математикалық күтімін табыңыз:
Шешімі: алдымен осы шамалардың әрқайсысының математикалық күтімін табамыз. , . X және Y кездейсоқ шамалары тәуелсіз, сондықтан .
3. Ойын сүйегінде түскен ұпай санының кездейсоқ шамасының математикалық күтімін есептеңіз. Алынған нәтиженің ықтималдық мәнінің мағынасын түсіндіріңіз.
Шешімі: ұпай.
Егер ойын сүйегін бірнеше рет лақтырсаңыз, онда түскен ұпайлардың орташа мәні 3,5-ке жақын болады.
4. Х мырза еуропалық рулетканы келесі жүйе бойынша ойнайды, яғни үнемі "қызылға"100 теңге қояды. Оның ұтысының кездейсоқ шамасының үлестірім заңын құрыңыз. Ұтыстың математикалық күтімін есептеңіз. Ойыншы орташа есеппен әр қойылған 100 теңгенің қаншасынан ұтылады?
Ақпарат: Еуропалық рулетка 18 қызыл, 18 қара және 1 жасыл сектордан тұрады. "Қызыл" түскен жағдайда ойыншыға ставкасы екі еселеніп төленеді, басқа жағдайда ол казино кірісіне кетеді.
Шешімі: Ойыншы ұтысының үлестірім заңы келесі түрде аламыз:
X
–100
100
р
Математикалық күтімін есептейік .
Осылайша, ойыншы орташа есеппен әр қойылған 100 теңгенің 2,7 теңгесінен ұтылады.
5. Х кездейсоқ шаманың үлестірім заңы келесі түрде берілген:
x
–1
0
5
p
0,3
0,2
0,1
0,4
Егер белгілі болса, онда табыңыз және тексеруді орындаңыз.
Шешімі: , бұдан шығады, теңдеуді шешіп, аламыз. Тексеруді орындаймыз:
=
.
. Келесі тапсырмаларды орындау үшін Білім алушылар БиС технологиясының элементтерін қолдана отырып жұмыс істейді, бұл технологияның авторы педагогика ғылымдарының кандидаты, профессор Ф. Я. Вассерман.
Жаңа материалды меңгергендіктен, Білім алушылар бекіту процесіне өтеді, олар тапсырмалардың жеңілінен күрделілік деңгейіне сай орындауға кіріседі. Әр тапсырманы орындағаннан кейін Білім алушыларға "Қалам қолда – бұл қателік" командасы айтылады, сол кезде Білім алушылар дәптерлермен алмасады.
Мұғалім еш түсіндірместен тақтаға әрбір тапсырманың дұрыс жауаптарын жазады, әр Білім алушы осы уақытта көршісінің дәптерін тексеріп, қарындашпен белгі жасайды. Тақтада отырған орының сызбасы сызылады, мысалы:
Оған мұғалім тапсырмаларының нәтижелерін "+" немесе "- " белгілері арқылы бағалайды. Әр Білім алушы тапсырманың ең кем дегенде 63% орындау қажет.
Тапсырмалар:
1. X кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі келесі түрде берілген , мұнда х = 1, 2, 3.
Табыңыз: a) моданы, b) медиананы, c) X кездейсоқ шаманың математикалық күтімін.
Жауабы: a) 3, b) 3, c) 2,5.
2. X кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі келесі түрде берілген: , мұнда х = 0, 1, 2, 3.
a)Табыңыз: х = 0, 1, 2, 3 үшін және оларды кесте түрінде жазыңыз.
b) Х кездейсоқ шаманың математикалық күтімін табыңыз.
Жауабы: a)
x
0
1
2
3
0,216
0,432
0,288
0,064
b) 1,2.
3. X кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі келесі түрде берілген
x
2
3
4
5
6
0,3
0,3
0,2
0,1
0,1
Х кездейсоқ шаманың математикалық күтімін табыңыз.
Жауабы: 3,4.
4. X кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі келесі түрде берілген
x
1
2
3
4
0,4
0,3
0,2
0,1
Табыңыз: a) , b) , c) , d) .
Жауабы: a) 2, b) 5, c) 3, d) 9.
5. X кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі келесі түрде берілген
x
1
2
3
4
0,2
a
0,3
b
Егер осы шаманың математикалық күтімі 2,8 тең болса, онда a және b мәндерін табыңыз.
Жауабы: a = 0,15, b = 0,35.
6. X кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі келесі түрде берілген
х = 0, 1, 2, 3, …, 8.
Табыңыз:
a) а мәнін, b) X кездейсоқ шаманың математикалық күтімін.
Жауабы: a) , b) 4.
7. Монета төрт рет лақтырылады. X – монетаның сан жақ түсу саны.
a) X кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімін кесте түрінде жазыңыз.
b) Осы шаманың математикалық күтімін табыңыз.
Жауабы: a)
x
0
1
2
3
4
b) 2.
8. X кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі келесі түрде берілген
x
1
2
3
4
5
а
Табыңыз a) a,
b) i. M(X), ii. M(2X), iii. M(X – 1).
Жауабы: a) , b) i. , ii. , iii. .
9. Х кездейсоқ шаманың математикалық күтімі 6 тең. Y = 2X + 5 кездейсоқ шаманың математикалық күтімін табыңыз.
Жауабы: 17.
10. Х кездейсоқ шаманың математикалық күтімі 5-ке тең. Y кездейсоқ шаманың математикалық күтімін табыңыз, егер
a) Y = 2X + 3, b) Y = –2X + 3,c) .
Жауабы: a) 13, b) –7, c) 0.
11. Х – кездейсоқ шама. Y = 2X + 3 өрнегін және a) , b) .
1. Бірнеше ойын сүйегін лақтырады. Егер түскен ұпай сандар тең болса, онда олардың жалпы мәні М болып қабылданады.
a) М шамасының ықтималдығының үлестірілім заңын кесте түрінде жазыңыз.
b) Табыңыз i. моданы, ii. медиананы, iii. математикалық күтімді.
Жауабы: a)
M
1
2
3
4
5
6
P(Mi)
b) i. 6, ii. 5, iii. 4,47.
2. X кездейсоқ шамасының ықтималдық үлестірім заңы мынадай түрде берілген:
x
5
6
7
8
0,2
k
0,4
0,1
Табыңыз: a) k мәнін, b) Х шамасының математикалық күтімін.
Жауабы: a) 0,3, b) 6,4.
3. Қорапта 10 жаңғақтың екеуі ащы, ал қалғандары ащы емес. Жанат ауыстырусыз кездейсоқ үш жаңғақты таңдайды. X кездейсоқ шамасы Жанат таңдаған ащы жаңғақтар саны.
а) X шамасының ықтималдық үлестірім заңын кесте түрінде жазыңыз.
b. Х кездейсоқ шаманың математикалық күтімін табыңыз.
Жауабы: a)
x
0
1
2
b) 0,6.
4. X кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірім заңы келесі түрде берілген:
x
–1
0
1
2
0,1
a
0,3
b
a және b мәндерін табыңыз, егер осы шаманың математикалық күтімі 0.9 тең.
Жауабы: a = 0,25, b = 0,35.
5. a) Е(Х) математикалық күтімінің қасиеттерін пайдалана отырып,
Е(aХ + b) = aЕ(Х) + b екенін дәлелдеңіз.
b) X шамасының математикалық күтімі 3-ке тең. Y шамасын математикалық күтімін табыңыз:
i. Y = 3X + 4, ii. Y = –2X + 1, iii. .
Жауабы: i. 13, ii. –5, iii. .
Саралау – Білім алушыларға көбірек қолдау көрсетуді қалай жоспарлайсыз? Қабілеті жоғары Білім алушыларға қандай міндет қоюды жоспарлап отырсыз?
Бағалау – Білім алушылардың материалды меңгеру деңгейін тексеруді қалай жоспарлайсыз?
Денсаулық және қауіпсіздікті сақтау ережесі
Өткен тақырып бойынша жеке жұмыс, өзара тексеру, топтағы жұмыс.
Сабақ бойынша рефлексия Сабақ мақсаттары/оқу мақсаттары дұрыс қойылған ба? Білім алушылардың барлығы ОМ қол жеткізді ме? Жеткізбесе, неліктен? Сабақта саралау дұрыс жүргізілді ме? Сабақтың уақыттық кезеңдері сақталды ма? Сабақ жоспарынан қандай ауытқулар болды, неліктен?
Бұл бөлімді сабақ туралы өз пікіріңізді білдіру үшін пайдаланыңыз. Өз сабағыңыз туралы сол жақ бағанда берілген сұрақтарға жауап беріңіз
Жалпы баға
Сабақтың жақсы өткен екі аспектісі (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?
1:
2:
Сабақты жақсартуға не ықпал ете алады (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?
1:
2:
Сабақ барысында сынып туралы немесе жекелеген Білім алушылардың жетістік/қиындықтары туралы нені білдім, келесі сабақтарда неге көңіл бөлу қажет?
