Сборник материалов VIІІ международной научной конференции студентов и молодых ученых «Наука и образование 2013»
жүктеу/скачать 15,22 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3. Основные результаты. Теорема 1.
- Теорема 2 .
- АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД КАК СРЕДСТВО СИСТЕМАТИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ
2.Вспомогательные результаты. Наряду с оператором (1) рассмотрим оператор
( , ) ( ) ( ) ( 1 ) (
a ds s w s f x W x Hf
0
. (4) Из (1), (4) легко видеть, что для 0
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ln ) ( ) ( ) ( x a x a ds s w s W x W s W s W s f ds s w s W x W x W s W s f x Kf ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( x Hf ds s w s f x W x a
Ограниченность оператора (4) из w p L ,
,
L в предположениях относительно функции ) (x эквивалентна (см. [7]) ограниченности оператора типа Харди
x a ds s w s f x W x Hf , ) ( ) ( )) ( ( 1 ) ( 1
0
из
w p L ,
v q L ~ , , где ))'
( ))(
( ( ) ( ~ 1 1 t t v t v . Поэтому из результатов исследования неравенства Харди (см, [8]) имеем Теорема А. Пусть
p 1
H ограничен из w p L ,
,
L тогда и только тогда, когда q b z q p b z a ds x v x W x W A 1 1 ) ( ) ( )) ( ( sup
, (5) при этом A H
Теорема В. Пусть
q 0
1
. Оператор H ограничен из w p L ,
,
L тогда и только тогда, когда pq q p q b a q p q p q p p b t q dx x W x v x W ds s W s v B ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) 1 ( , (6) при этом B H
3. Основные результаты. Теорема 1. Пусть
p 1
K ограничен из w p L ,
,
L тогда и только тогда, когда A , причем A K
Теорема 2. Пусть
q 0
p 1
K ограничен из w p L ,
,
L тогда и только тогда, когда 29
pq q p q b a q p q p q p p b t q dx x W x v x W ds s W s v B ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) 1 ( , (7) при этом B K
Список использованных источников 1.
Абылаева А.М., Омирбек М. Весовая оценка для интегрального оператора с логарифмической особенностью. // Известия, серия физико-математическая. Алматы: НАН РК, 2005. №1. –С.38-48. 2.
Абылаева А.М., Ойнаров Р. Критерий ограниченности одного класса операторов дробного интегрирования // Математический журнал. Алматы. 2004. Т.4. №2 (12), с.5-14. 3.
fractional type // Can.J.Math. 1997. Vol.49, №5, P.1010-1033. 4.
Meskhi A. Solution of some weight problems for the Reimann-Liouvelle and Wegl operators // Georgian Math. 1998. Vol.5, №6, p. 565-774. 5.
J.London Math. Soc.2000, Vol.61, №2, p. 617-628. 6.
Kufner A., Persson L.E. Weight inequalities of Hardy type. World Scientific. New Jersey. London. Singapore. Hong Kong. 2003. p. 357. 7.
УДК 312.8:51 АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД КАК СРЕДСТВО СИСТЕМАТИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ Матенова Н. И., nagimochka-92@mail.ru
Южно-Казахстанский государственный университет им.М.Ауезова, Шымкент Научный руководитель - Р.Бекмолдаева
В школьном курсе математики уделяется большое внимание к систематизации и обобщению математического знания [1]. В этом немаловажную роль играет асиоматический метод обучения. С помощью факультативных занятий углубляется процесс обучения аксиоматическим методом. К основным особенностям организации факультативных занятий по математике с целью усиления их мировоззренческой направленности можно отнести: - четкую формулировку образовательных, воспитательных и развивающих задач каждого занятия, реализация которых позволяет систематизировать и обобщать знания учащихся, полученные при изучении обязательного курса математики, сформулировать идейно-гуманистических мировоззренческие вопросы на базе изучаемого материала; - организацию обобщающего повторения тем, изученных в обязательном курсе математики с целью выявления в них закономерностей и связей, существующих между отдельными понятиями, суждениями, умозаключениями, которые, в свою очередь, дают возможность подвести учащихся к осознанию и формулировке мировоззренческих идей; - организацию и руководство мыслительной деятельностью учащихся с целью развития у них абстрактно-теоретического мышления, широкое использование таких форм мышления, как анализ и синтез, индукция и дедукция, обобщение и систематизация, абстрагирование, идеализация и др.; - использование таких форм работы, как решение задач повышенной трудности, выполнение индивидуальных заданий, подготовка и выступление с сообщениями,
30
докладами, написание рефератов с целью создания и как объект, и как субъект процесса обучения; - обязательное подведение учителем итогов занятия, когда еще раз четко формулируются при определении воспитательных задач. Образовательные задачи: обобщать знания учащихся о дедуктивном построении математики, познакомить с познавательными возможностями аксиоматического метода, показать диалектический характер развития математического знания. Задачи развивающего обучения: развивать абстрактное мышление воспитывать диалектический стиль мышления. Воспитательные задачи: способствовать развитию следующих идей: «Математические теории не могут быть произвольными, структура математического знания - это не только отражение структуры действительного мира, но и итог внутренней логики математической науки», «Всякая научная теория удовлетворяет определенному соотношению свободы и необходимости, случайности и закономерности», «Наличие различных геометрий - проявление закона единства и борьбы противоположностей, закона отрицание отрицания», «Математика - не законченная формализованная научная дисциплина, а живая и вечно развивающаяся наука». Оборудование. Таблица «Схема построения теории аксиоматическим методом». Изучение нового материала проходит в форме самостоятельного чтения по учебникам, докладов учащихся, подготовленных под руководством учителя. Доклад на тему: «История возникновения, развития и перспективы аксиоматического метода» делает другой учащийся. Приведем краткое содержание этого доклада. Впервые аксиоматический метод возник примерно 2300 лет тому назад и был применен содержательной теории. В таких теориях первоначальным понятием и отношениям приписывается определенный смысл. Например, у Евклида: «Точка есть, то что не имеет частей», «Линия есть длина без ширины» и т.д. При доказательствах используется «обычная» логика здравого смысла. Сами аксиомы носят конкретный, содержательный характер. Например, некоторые предложения аксиоматики Евклида: «Равные одному и тому же равны между собой», «Если к равным прибавить равные, то и суммы будут равны» и т. п. Далее можно привести схему построения системы натуральных чисел аксиоматическим методом. В нематематических науках аксиоматический метод раньше всего был использован в физике. И. Ньютон построил этим методом основы механики. Затем были аксиоматизированы другие разделы физики - механика частиц, механика твердых тел и др. Этот метод был применен и в теоретической биологии. А нидерландский философ Бенедикт Спиноза пытался аксиоматически изложить основные положения философии и этики. В процессе исторического развития аксиоматического метода обнаружилось, что одну и ту же теорию можно построить на базе различных аксиоматик. Например, при построении аксиоматической теории натуральных чисел можно использовать другие системы аксиом, отличные от системы аксиом Пеано, другой базис. К пониманию этого пришли не сразу. В связи с этим интересно проследить историю появления различных геометрий. Напомню коротко об этом. Среди постулатов геометрии Евклида особое место занимает пятый постулат: «Если прямая, пересекающая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые при неограниченном продолжении пересекутся с той стороны, где эта сумма меньше». Многим геометрам «не нравился» этот постулат. Во-первых, из-за довольно сложной формулировки по сравнению с другими его постулатами и аксиомами, во-вторых, он давал описание поведения двух прямых в бесконечно удаленной точке, и было совсем неочевидным, пересекутся они там или нет. По крайней мере это нельзя было проверить опытным путем. В течение двух тысячелетий выдающиеся математики пытались доказать этот постулат, вывести из остальных постулатов. И хотя он так и не был доказан, в результате поисков появились другие 31
геометрии (Лобачевского, Римана и др.), отличные от Евклидовой, причем столь же безупречные и внутренне непротиворечивые, как и сама геометрия Евклида. Открытие неевклидовой геометрий существенно изменило взгляды на природу аксиом. Появились аксиоматические системы, в которых основные понятия и аксиомы носят более абстрактный характер, чем в системе Евклида. Это так называемое полуформальное аксиоматическое построение теории. Примером может служить аксиоматическое построение арифметики натуральных чисел с помощью аксиом Пеано. Как мы видели выше, здесь не говорят о каких числах идет речь, не выясняют конкретный смысл операций сложения и умножения, а ограничиваются формальными заданием относящихся к ним аксиом, основных определений. Но как и при построении содержательных теорий, так и здесь при доказательстве используется «обычная» формальная логика. Таким образом, следующим этапом в развитии аксиоматического метода построения теорий явилось создание формальных аксиоматических систем, где основным понятием и аксиомам не дается какого-либо конкретного истолкования. Более того при доказательствах совершенно исключается ссылки на интуицию, очевидность. Здесь точно указываются правила построения и вывода, которые используются при доказательстве, каждый шаг доказательства строго обосновывается (фиксируются применяемые правила вывода). В связи с этим рассуждения становятся более строгим, а значит и более общими. Такие теории допускают неоднозначную интерпретацию и в этом их познавательная мощь. Итак, аксиоматический метод выступает как средство организации и систематизации математического знания, служит целям уточнения его логической структуры, обеспечивает высокую строгость рассуждений. Он представляет ценнейший инструмент научного исследования, отыскания новых математических закономерностей, помогает составить общее представление о математике как единой науке [2]. Немецкий математик Д. Гильберт придавал этому методу большое значение. Он выдвинул программу обоснования математики, практическая реализация которой означала бы принятие аксиоматического метода в качестве всеобщего в математике. Однако попытка Д. Гилберта доказать непротиворечивость всей математики чисто формальными методами потерпели неудачу. Выяснилось, что полная формализация математики и развитие этой науки только формальными методами невозможно. Таким образом, аксиоматический метод, имея огромное значение для развития науки, не является универсальным, единственным методом математического познания. Познавательные возможности этого метода ограничены как его собственной природой, так и наличием других методов математического познания. Существует, например, генетический или конструктивный метод. При построении формальной системы этим методом с самого начала предполагается наличие некоторых объектов и операций над ними. Все другие объекты получаются здесь конструктивным путем с помощью некоторого определения. Учитель делает выводы «расшифровывая» те идейно-гуманистические направления, которые сформулированы в виде воспитательных задач на данном занятии. Примером индивидуальных заданий могут быть разбор решений наиболее трудных домашних заданий, выяснение наиболее рационального способа решения. На примере таких занятий можно видеть, что мировоззренческий потенциал учебного материала на разных занятиях различен, различны и методы его преподнесения. Степень самостоятельности учащихся увеличивается от класса к классу, постепенно возрастает и уровень сложности идейно-гуманистических вопросов.
1. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе. – М.:Просвещение, 2002. – 204 с. 2. Семенов Е.Е. Принцип систематизации в преподавании математики. // Математика в школе, 2004, N 4. – С. 28–32.
32
УДК 517.946 y dx d L 2 2 ~ ОПЕРАТОРЛАРЫНЫҢ КЕЙБІР ҚИСЫНДЫ ТАРЫЛУЫНЫҢ ВОЛЬТЕРЛІК БОЛУ ШАРТТАРЫ Мәулетбек Б. beis_520@inbox.ru Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ҧлттық университеті, Астана Ғылыми жетекшісі – ф.м.ғ кандидаты М.Райхан
Егер кері оператор вольтерлі болса, тура оператордың қисынды тарылуы мен кеңеюі вольтерлі болады. Әдетте осы тектес операторлар Коши есептерін зерттегенде кездеседі. Мысалы:
) 1 , 0 ( 2 L кеңістігінде n-ші ретті дифференциалдық операторының 0
нҥктесіндегі Коши есебі ҥшін вальтерлі кері операторы табылады.
x n c dt t f x n f L 0 1 1 ) ( 1 ! 1 1
Бҧл жағдайда вольтерлікті тексеру ӛте оңай, себебі, ҥшбҧрышты облыста интегральды оператордың ядросы нӛлден ӛзге болады. Бірақ вольтерлілік ҥшін мҧндай қасиет қажет емес, мысалы тӛмендегі интегральды оператор
2 0 ) ( ) 2 sin( dt t f t x Kf
) 2 , 0 ( 2 L кеңістігінде ядроның
2 , 0 2 , 0 квадратты облыс болуына қарамастан вольтерлі болып табылады. Тӛмендегі (1) дифференциалдық орнегімен берілген ~
қисынды тарылуын қарастырайық:
(1)
) ( ) ( 2 2
x q y dx d y l
) (x q - ҧзіліссіз комплекс мәнді функция. Барлық ) 1
0 ( 2 L де анықталған кері оператор тӛмендегідей болады:
. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 2 1 0 1 1 1 dt x t f x s dt x t f x c f L f L c
Мҧндағы ~ L Ker s(x)
), (
c ,
c L - операторы 0
нҥктесінде Коши есебінен пайда болған опратор, ал ) 1
0 ( ) (
), ( 2 2 1 L x x элементтері осы тарылудың бірден-бір анықтайды. L
операторының анықталу облысы келесі тҥрінде жазылады: 1 0 2 '' ' 1 0 1 '' 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( y
, ) ( ) ( ) ( ) ( y(0)
), 1 , 0 ( y(x)
: ) ( ) (
t t y t q t y dt t t y t q t y W x y L D 33
Келесі ҧйғарым барлық вольтерлі қисынды тарылуды анықтауға арналған. жүктеу/скачать 15,22 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|