Матрица рангі туралы теорема. А өлшемді матрицаның рангі тең болсын. Бұл - ші ретті нөлден өзгеше минор бар дегенді білдіреді. Кезкелген нөлден өзгеше - ші ретті минорды базистік минор деп атаймыз. Анықтық үшін осы минор мынаған тең болсын, онда матрицаларыныњ жолдары сызыќты тєуелсіз.
жолдарды базистік деп атайық.
Кез келген -ші матрицаның жолдары сызықты тєуелді екенін көрсетейік.
-ші ретті минорды ќарастырыйыќ.
Осы минор нөлге тең , өйткені матрицаның рангісі -ге тең , демек кезкелген бұдан жоғары ретті минор нөлге тең.
Ақырғы бағананың элементтері бойынша жіктей отырып осында -ақырғы алгебралық толықтауыш базистік минормен сєйкес келеді, сондықтан нөлден өзгеше
Ақырғы теңдікті -ге бөліп, -элементтің сызықты комбинация арқылы өрнектеуге болады:
, мұндағы
мәнін белгілеп алып, кез-келген -ші жолының элементі арқылы сызықты түрленеді. -ші жол базистік сызықтық комбинация.
Мысал. n-ші ретті анықтауышты есептеу керек:
а)үшбұрыш түріне келтіру арқылы;
б) қандай да бір жол немесе баған элементтері арқылы жіктеу және анықтауыштардың қасиетін қолдау арқылы;
Шешуі.
а)===
б)
Мысал.А және В матрицаларының сызықтық комбинациясын есептеу керек.
. 5А+2В табу керек.
Шешуі. +=
Мысал.АВ және ВА көбейтінділерін есепте. АВ және ВА көбейтінділері тең бола ма, соны тексеру керек