«Инновационное развитие и востребованность науки в современном Казахстане»

 
21 
«Инновационное развитие и востребованность науки в современном Казахстане»
снизу слабопроницаемой прослойкой, через которую происходит связь с нижележащим 
водоносным горизонтом в жестком режиме.  
Задача  оптимального  управления  УГВ  ставится  следующим  образом [1,2]. 
Требуется  построить  такую  управляющую  функцию 
)
y
,
x
(
f
,  которая      доставляет 
минимум функционалу 









D
D
dxdy
)
y
,
x
(
f
dxdy
)
y
,
x
(
))
y
,
x
(
f
;
y
,
x
(
h
)
f
(
J
2
2


,                            (1)      
где 
)
y
,
x
(
h
─  УГВ;  
)
y
,
x
(

─  заданная  функция,  равная  оптимальному  УГВ; 
0


─ параметр регуляризации; 
D
─ область фильтрации. 
Функция 
)
y
,
x
(
f
опт
,  доставляющая  минимум  функционалу (1), называется 
оптимальным управлением, а соответствующая ей функция 
)
y
,
x
(
h
опт
─ оптимальным 
УГВ. 
При расчетах фильтрации в слоистых водоносных системах обычно используются 
общие  предпосылки  перетекания,  в  которых  предполагается,  что  движение  через 
раздельные относительно малопроницаемые слои происходит только по вертикали, а в 
хорошо проницаемых слоях - только по горизонтали. 
УГВ 
)
y
,
x
(
h
  определяется  из  следующей  системы  дифференциальных 
уравнений, описывающей движение подземных вод в многослойных пластах: 



























































)
(
),
y
,
x
(
W
)
Z
H
(
m
k
m
H
h
k
y
H
T
y
x
H
T
x
)
(
),
y
,
x
(
f
m
H
h
k
y
h
)
b
h
(
k
y
x
h
)
b
h
(
k
x
п
п
b
b
b
b
b
b
3
2
,
D
)
y
,
x
(

                                                                                  
   с граничными условиями  
                 
,
h
n
h
T
b
b
b






                                                                                              (4) 
                 
,
H
n
H
T






                     
,
D
S
)
y
,
x
(



                                                (5)    
Здесь   
               
)
b
h
(
k
T
b
b


 .                                                                                                      (6)  
В 
формулах (2)─(6) 
приняты 
следующие 
обозначения:  
)
y
,
x
(
Z
),
y
,
x
(
H
),
y
,
x
(
h
─  отметки  УГВ  в  верхнем  покровном  слое  и  напоров  в 
основном 
и 
нижележащем 
напорных 
пластах 
соответственно; 
const
k
),
y
,
x
(
k
),
y
,
x
(
k
п
b

─  коэффициенты  фильтрации  верхнего,  основного 
водоносного и слабопроницаемого слоев; 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
x
m
y
x
k
y
x
T


─ водопроницаемость 
основного  пласта; 
)
y
,
x
(
m
),
y
,
x
(
b
)
y
,
x
(
h
)
y
,
x
(
m
b


      и 
const
m
п

─  мощности 
покровного,  напорного  и  слабопроницаемого  слоев; 
)
,
( y
x
b
─  граница  раздела 
покровного и основного напорного пластов; 
)
y
,
x
(
W
 ─ функция, учитывающая работу 
эксплуатационных  скважин,  пробуренных  в  основной  водоносный  горизонт; 
)
y
,
x
(
),
y
,
x
(
),
y
,
x
(
b
b



 и 
)
y
,
x
(

─ известные функции; 
D
─ область фильтрации в 
плане, 
D
S


─  ее  граница;  n

─  внешняя  нормаль  к  границе  области; 
n


─ 
производная по этой нормали. 

 
22 
«Инновационное развитие и востребованность науки в современном Казахстане»
 
Задача (2), (3) ─ (5) решается численно методом конечных элементов [3]. 
  В сеточной области представим искомые функции в виде        
            
,
)
y
,
x
(
N
h
)
y
,
x
(
h
)
y
,
x
(
h
j
n
j
j
m
e
)
e
(
n






1
1
                                                    (7) 
         
).
y
,
x
(
N
H
)
y
,
x
(
H
)
y
,
x
(
H
j
n
j
j
m
e
)
e
(
n






1
1
                                                   (8) 
 где N
j
(x,y) – линейные базисные функции. 
Представим уравнения (2), (3) в виде 
           
,
D
)
y
,
x
(
,
F
h
Q
y
h
T
y
x
h
T
x
b
b
b
b

























                           (9) 
,
D
)
y
,
x
(
,
F
QH
y
H
T
y
x
H
T
x

























                               (10) 
где 
        
.
m
Z
k
h
Q
W
F
,
H
Q
f
F
,
m
k
Q
Q
,
b
h
k
Q
п
п
b
b
b
п
п
b
b
b










             (11) 
Уравнение (2) является  нелинейной  (т.к  функция    T
b
(x,y)  зависит  от   h(x, y)),  
поэтому для его решения применяется итерационная процедура: в каждой итерации  в 
выражении  для  T
b
  берутся  значения  функции  h(x, y), полученные  из  предыдущей 
итерации. 
Образуя начальные приближения h
(0)
 (х, у)  и  Н
(0)
 (х, у), подставим их в формулы (6) и 
(11)  вместо  функций  h  и  Н  и  решаем  уравнения (9) и (10) совместно  с  краевыми 
условиями (4) и (5) соответственно. Обозначим полученные решения через  h
(1) 
 и  H
(1)
,  
подставим  их  в  формулы (6) и (11), и,  решая  задачи (9), (2)  и  (10), (4), находим 
следующие приближения  h
(2) 
 и  Н
(2)
 и т.д.  
Подставляем в уравнения  (9)  и  (10) и краевые условия  (4)  и  (5) вместо  h  и  H  
функции h
n
 и H
n
 и применяем обобщенный принцип Галеркина: 
,
,...,
2
,
1
,
0
)
,
(
)
,
(
n
i
ds
h
n
h
T
y
x
N
dxdy
F
h
Q
y
h
T
y
x
h
T
x
y
x
N
n
b
n
b
S
i
Д
b
n
b
n
b
n
b
i


















































.
,...,
2
,
1
,
0
)
,
(
)
,
(
n
i
ds
H
n
H
T
y
x
N
dxdy
F
QH
y
H
T
y
x
H
T
x
y
x
N
n
n
S
i
Д
n
n
n
i















































Используя формулу Грина, получаем системы уравнений 
,
,...,
2
,
1
,
n
i
ds
N
dxdy
F
N
ds
h
N
xdy
d
h
Q
N
dxdy
y
h
y
N
x
h
x
N
T
S
b
i
Д
b
i
S
n
b
i
Д
Д
n
b
i
n
i
n
i
b



























 
,
,...,
2
,
1
,
n
i
ds
N
Fdxdy
N
ds
H
N
xdy
d
QH
N
dxdy
y
H
y
N
x
H
x
N
T
S
i
Д
i
S
n
i
D
Д
n
i
n
i
n
i



























или,   в  силу  разложений (6) и (7) приходим  к  системам  линейных    алгебраических 
уравнений (СЛАУ) 

 
23 
«Инновационное развитие и востребованность науки в современном Казахстане»





n
j
)
h
(
i
)
s
(
j
)
h
(
ij
,
,
,
s
;
n
,
,
,
i
,
b
h
a
1
2
1
2
1


                                                      (12) 





n
j
)
H
(
i
)
s
(
j
)
H
(
ij
,
,
,
s
;
n
,
,
,
i
,
b
H
a
1
2
1
2
1


                                                   (13) 
где 






Д
Д
S
j
i
b
j
i
b
j
i
b
)
h
(
ij
,
ds
)
y
,
x
(
N
)
y
,
x
(
N
dxdy
)
y
,
x
(
N
)
y
,
x
(
N
Q
dxdy
)
N
,
N
(
q
T
a

   
,
ds
)
y
,
x
(
N
dxdy
)
y
,
x
(
N
F
b
Д
S
i
b
i
b
)
h
(
i





 
.
y
N
y
N
x
N
x
N
)
N
,
N
(
q
,
ds
)
y
,
x
(
N
dxdy
)
y
,
x
(
N
F
b
,
ds
)
y
,
x
(
N
)
y
,
x
(
N
dxdy
)
y
,
x
(
N
)
y
,
x
(
QN
dxdy
)
N
,
N
(
q
T
a
j
i
j
i
j
i
Д
S
i
i
)
H
(
i
Д
Д
S
j
i
j
i
j
i
)
H
(
ij






















Матрицы СЛАУ (12) и (13) являются хорошо обусловленными с диагональным 
преобладанием, они решаются последовательно с применением итераций. 
 Рассмотрим теперь алгоритм решения поставленной задачи. 
Поскольку  значения  УГВ  вычисляются  в  дискретном  множестве  точек,  мы 
запишем дискретный аналог функционала (1): 
                









n
i
n
i
i
i
i
i
i
i
f
)
y
,
x
(
)
f
;
y
,
x
(
h
)
f
(
J
1
1
2
2


,                                       (14) 
 где  n ─ число узлов расчетной сетки. 
УГВ 
)
f
;
y
,
x
(
h
зависит  от  функции 
)
y
,
x
(
f
,  вообще  говоря,  нелинейно. 
Линеаризуем ее относительно 
f
следующим образом: 
               









n
s
s
s
s
f
R
f
h
f
f
h
f
h
1
2
)
(
)
~
(
~
)
(
,                                                           (15) 
здесь 
f
f
h
h
~
),
~
(
~ 
─  известное  значение  функции 
f
,  найденное  в  предыдущей 
итерации. Подставляя выражение (15) для  h  в формулу (14), имеем: 
             



















n
i
n
i
i
n
s
i
s
i
s
s
i
f
f
h
f
f
h
f
J
1
1
2
2
1
)
~
(
~
)
(


.                                         (16) 
Применяя необходимое условие минимума функции многих переменных 
              
0
)
(



k
f
f
J
,           
n
k
,
,
2
,
1 

, 
  из (16) приходим  к  системе  линейных  алгебраических  уравнений  относительно 
s
f , 
n
s
,
,
2
,
1 

: 
               



















n
i
k
k
i
n
s
i
s
i
s
s
i
f
f
h
f
h
f
f
h
1
1
0
)
~
(
~


,                                                       или  
               



n
s
k
s
ks
b
f
a
1
,             
n
k
,
,
2
,
1 

,                                                              (17) 
где 

 
24 

жүктеу/скачать 5,59 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: