где путь интегрирования – вертикальная прямая .
Доказательство. Действительно, произведение , очевидно, удовлетворяет условиям 1) – 3) для оригиналов. Его изображение Пусть оригиналы и имеют, соответственно, показатели роста и .
Возьмем и заменим по формуле обращения:
(изменение порядка интегрирования можно обосновать).
Если считать еще то будем иметь ибо и внутренний интеграл можно заменить через
Формула умножения оригиналов доказана. □
Упражнение 2. Обоснуйте изменение порядка интегрирования в доказательстве свойства 10).
Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.
Пример 3.Найти изображения функций:
а) ; б) ; в) .
Решение. а) Пользуясь свойством линейности и формулой, полученной в примере 2б), находим:
,
т.е. . Аналогично получаем формулу .
б) Сначала представим произведение в виде разности синусов: , а затем используем свойства линейности и подобия: .
в) Так как , то по свойству смещения . □
Пример 4. Найти оригинал по его изображению
а) ; б) ; в) .
Решение. а) Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения
