Свойства преобразования лапласа
) Умножение оригиналов. где путь интегрирования – вертикальная прямая . Доказательство
жүктеу/скачать 247,97 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Упражнение 2.
- Пример 3.
- Пример 4.
| 10) Умножение оригиналов.
где путь интегрирования – вертикальная прямая . Доказательство. Действительно, произведение , очевидно, удовлетворяет условиям 1) – 3) для оригиналов. Его изображение Пусть оригиналы и имеют, соответственно, показатели роста и . Возьмем и заменим по формуле обращения: (изменение порядка интегрирования можно обосновать). Если считать еще то будем иметь ибо и внутренний интеграл можно заменить через Формула умножения оригиналов доказана. □ Упражнение 2. Обоснуйте изменение порядка интегрирования в доказательстве свойства 10). Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям. Пример 3. Найти изображения функций: а) ; б) ; в) . Решение. а) Пользуясь свойством линейности и формулой, полученной в примере 2б), находим: , т.е. . Аналогично получаем формулу . б) Сначала представим произведение в виде разности синусов: , а затем используем свойства линейности и подобия: . в) Так как , то по свойству смещения . □ Пример 4. Найти оригинал по его изображению а) ; б) ; в) . Решение. а) Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения б) Так как и , то т.е. . в) Так как и , , то на основании формулы Дюамеля (3) имеем . □ жүктеу/скачать 247,97 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|