Свойства преобразования лапласа
жүктеу/скачать 247,97 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Упражнение 1.
| Доказательство. Действительно, т.к. является в полуплоскости аналитической функцией, то ее можно дифференцировать (возможность дифференцирования под знаком интеграла вытекает из того, что все рассматриваемые интегралы сходятся равномерно относительно р в любой полуплоскости ) по р, и получим что равносильно приведенной формуле дифференцирования изображения. □
7) Интегрирование оригинала. , т.е. интегрированию оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на p. Доказательство. Легко проверить, что функция вместе с является оригиналом, то есть удовлетворяет условиям 1) – 3) из п. 10. Тогда (см. свойство 5, ) получим Таким образом, для изображения имеем , откуда □ 8) Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то , т.е. интегрированию изображения от p до соответствует деление его оригинала на t. Доказательство. В самом деле, имеем Предполагая, что путь интегрирования весь лежит в полуплоскости получим оценку внутреннего интеграла из которой ясна его равномерная сходимость относительно р. Поэтому можно изменить порядок интегрирования: Полученное равенство равносильно доказываемой формуле. □ 9) Умножение изображений. Произведение двух изображений также является изображением, причем . (2) Доказательство. В самом деле, интеграл в правой части формулы (2) является оригиналом: свойства оригинала 1) и 2) очевидны (см. п. 10), а для доказательства свойства 3) заметим, что, если взять число равным наибольшему из показателей роста и , то Отсюда и следует, что интеграл в (2) не превосходит некоторой константы, умноженной на , где сколь угодно малое положительное число. Рассмотрим теперь изображение интеграла из (2) Справа здесь стоит двукратный интеграл, распространенный на сектор S плоскости (рис.3), ибо при фиксированном t интегрирование по ведется в пределах от 0 до , а затем изменяется от 0 до . Так как при этот двукратный интеграл абсолютно сходится, то в нем можно изменить порядок интегрирования, тогда получим (заменяя t на ) что и требовалось доказать. □ Интеграл в правой части формулы (2) называется свёрткой функций и , изображается символом , т.е. Можно убедиться, (положив ), что свёртывание обладает свойством переместительности, т.е. . Упражнение 1. Доказать свойство переместительности для свертки функций. Итак, умножение изображений соответствует свертыванию оригиналов, т.е. Пользуясь этой формулой и правилом дифференцирования оригинала, получим так называемый интеграл Дюамеля: Выполняя в этом интеграле дифференцирование, получим . (3) Формулу (3) называют формулой Дюамеля. Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям. жүктеу/скачать 247,97 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|