Т еоретическая ф изика Том 11, 2010

104
Е.К. Башкиров, Д.В. Литвинова, М.П. Ступацкая
Теперь перейдем к выбору параметров образца для наблюдения лазерного охла-
ждения в режиме сверхизлучения и параметров импульсной накачки. Поскольку
сверхизлучение возможно только при достаточной концентрация излучающих ато-
мов и для образцов вытянутой формы, выберем образец в виде цилиндра с длиной
5 мм и радиусом 0,5 мм с повышенной концентрацией примесныхионов иттербия
n = 1, 5 × 10
9
ионов/(мкм)
3
. Длина волны накачки равна 995 нс. Будем считать,
что импульсы накачки имеют прямоугольную форму с длительностью
τ
p
=10 нс и
с мощностью
P
p
= 400 Вт. Увеличение мощности импульсной накачки по сравне-
нию с мощностью непрерывной накачки необходимо для возбуждения достаточного
количества примесныхионов иттербия, поскольку существует пороговое число воз-
бужденныхатомов, ниже которого не возникает сверхизлучательный режим [17].
Nп >
8πSτ
−
1
3τ
∗
2
Lλ
2
,
где
S – площадь поперечного сечения образца; τ
∗
2
– неоднородное время релаксации
или время фазовой памяти для излучения на резонансном переходе в примесном
ионе.
Применим теперь уравнение (12) для определения числа возбужденныхпримес-
ныхионов в результате ихвзаимодействия с импульсной накачкой, выбирая в каче-
стве сечений поглощения и эмиссии величины
σ
abs
(λ
F
) и σ
em
(λ
F
). Интегрируя это
уравнение по интервалу времени
τ
p
, находим число примесных ионов, возбуждаемых
импульсом накачки и принимающихв дальнейшем участие в процессе сверхизлуче-
ния:
N = Lσ
abs
(λ
F
)τ
p
P
p
λ
F
c
≈ 6 × 10
12
.
Число псевдолокализованныхмод, взаимодействующихс примесными ионами, за-
действованными в процессе коллективного излучения, оценим как
M = M
0
(N/N
0
) ≈
≈ 4 × 10
7
.
Для выбранного образца вытянутой цилиндрической формы геометрический
фактор
µ равен
µ =
λ
F
2S(1 +
√
1 + F
2
)
,
где
F = S/(λ
F
L) – число Френеля для сверхизлучательного перехода. Для вы-
бранного нами образца
µ = 3 × 10
−7
. Тогда время коллективного излучения образ-
ца равно
τ
R
= τ
−
/(µN) = 1 нс и время задержки сверхизлучательного импульса
t
D
= τ
R
ln(νN) ≈ 14τ
R
= 8 нс.
Запишем далее начальные условия для уравнений (11). Мы полагаем, что при-
месные излучатели инвертируются не только непрерывной накачкой с частотой
ω
1
,
но также короткими регулярно повторяющимися импульсами лазерного излучения
с частотой
ω
0
и длительностью
τ
p
. Такие короткие импульсы накачки обеспечи-
вают дополнительную инверсию населенностей двухуровневых примесных ионов и
создают, таким образом, возможность генерации сверхизлучения в кристалле. Для
выбранныхнами параметров импульса накачки и образца длительность импульсов
накачки и время задержки импульса сверхизлучения намного меньше всех осталь-
ныхвремен релаксации в системе. Это означает, что в анализируемой ситуации мы
можем не рассматривать детально эволюцию системы в момент действия импуль-
са накачки и в течение высвечивания коллективного импульса на длине волны
λ
F
и учесть результаты этихпроцессов при записи начальныхусловий для инверсной
заселенности примесныхионов и среднего числа фононов в псевдолокализованных

Метод исключения бозонных переменных в задаче о лазерном охлаждении...
105
модах. Начнем отсчет времени в момент окончания высвечивания сверхизлучатель-
ного импульса. Тогда мы можем записать начальные условия для уравнений (11) в
виде:
W
c
(0) = −N/2 = −3 × 10
−6
, n(0) = n
st
= 500, S = 0,
(13)
где
N – число атомов, полностью инвертированныхв процесс накачки и участву-
ющихв процессе сверхизлучения;
n
st
— стационарное число псевдолокализованных
фононов, установившееся под действием непрерывной накачки частоты
ω
1
и релак-
сационныхпроцессов в моде и при температуре 230 K
n
st
= 500. Условие S = 0
означает отсутствие корреляций между дипольными моментами ионов и всегда вы-
полняется при условии
τ
p
< t
D
, что имеет место в рассматриваемом случае.
Рис. 2. Временная зависимость отклонения среднего числа фононов в
псевдолокализованной моде от ее стационарного значения
∆n(t) = n(t) − n
st
Результаты численного моделирования уравнений (11) для отклонения средне-
го числа псевдолокализованныхфононов от его стационарного значения
∆n(t) =
= n(t) − n
st
представлены на рис. 2. Хорошо видно, что стационарное среднее чис-
ло фононов в псевдолокализованной моде в результате действия импульса накачки
уменьшается, что эффективно означает уменьшение температуры этихмод и все-
го образца в образце. Для выбранныхпараметров образца эффективное понижение
температуры кристалла составляет
∆T ≈
Ω
k
B
∆n = 0, 25K.
При записи кинетическихуравнений (11) не были учтены нерадиационные мех
а-
низмы релаксации, в частности рассеяние на неконтролируемыхпримесях. Такие
процессы могут заметно уменьшать эффективность радиационныхканалов лазер-
ного охлаждения примесныхтвердыхтел [14]. Однако учет такихпроцессов может
повлиять только на количественную оценку эффективности дополнительного охла-
ждения образца в режиме сверхизлучения, не отменяя принципиального вывода о
возможности дополнительного понижения температуры образца.

106
Е.К. Башкиров, Д.В. Литвинова, М.П. Ступацкая
Благодарности
Один из авторов (Е.К. Башкиров) выражает искреннюю благодарность своему
научному руководителю члену-корреспонденту РАН профессору Николаю Никола-
евичу Боголюбову (мл.) за поддержку и помощь при выборе им научного направле-
ния, за консультации по принципиальным вопросам неравновесной статистической
механики, а также различным аспектам физики когерентных явлений.
Работа выполнена в рамкахреализации ФЦП «Научные и научно-педагогические
кадры инновационной России» на 2009–2013 годы (Государственный контракт
№ 14.740.11.0063).
Список литературы
[1] Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Кинетическое уравнение для динами-
ческой системы, взаимодействующей с фононным полем // ЭЧАЯ. 1980. Т. 11.
Вып. 2. С. 245–300.
[2] Боголюбов Н.Н. (мл.), Фам Ле Киен, Шумовский А.С. О кинетическом урав-
нении для двухуровневой системы, взаимодействующей с электромагнитным
полем // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т. 52. № 3. С. 423–430.
[3] Боголюбов Н.Н.(мл.), Башкиров Е.К., Фам Ле Киен, Шумовский А.С. Генера-
ция сверхизлучения в системе с тремя разрешенными переходами // Письма в
ЭЧАЯ. 1984. № 3. C. 26–32.
[4] Башкиров Е.К., Сорокина Е.М., Фам Ле Киен, Шумовский А.С. Сверхизлуче-
ние в кристалле с учетом рассеяния Мандельштама-Бриллюэна // Письма в
ЭЧАЯ. 1984. № 2. C. 8–14.
[5] Башкиров Е.К., Шумовский А.С., Юкалов В.И. Динамика сверхизлучательной
генерации в сегнетоэлектриках // ДАН СССР. 1985. Т. 282. № 2. C. 300–303.
[6] Боголюбов Н.Н. (мл.), Башкиров Е.К., Фам Ле Киен, Шумовский А.С. Дина-
мика сверхизлучательных процессов в двухуровневых макроскопических систе-
махв кристалле // Теоретическая и математическая физика. 1987. Т. 70. № 3.
C. 454–461.
[7] Bogolubov N.N. (Jr.), Bashkirov E.K., Fam le Kien, Shumovsky A.S. Superradiance
allowing for the pumping processes // Physica. 1985. Vol. A133. P. 413–424.
[8] Башкиров Е.К., Боголюбов Н.Н. (мл.), Шумовский А.С. К теории сверхизлу-
чения с учетом когерентной накачки // Избранные проблемы статистической
механики. Дубна: Изд-во ОИЯИ. Д17-88-95. 1988. С. 30–37.
[9] Башкиров Е.К. Cверхизлучение в трехуровневых системах с учетом когерент-
ной накачки // Известия РАН. Серия Физическая. 2000. Т. 64. № 10. C. 1920–
1923.
[10] Боголюбов Н.Н. (мл.), Шумовский А.С. Сверхизлучение. Дубна: ОИЯИ. Р17-
87-176. 1987. 85 с.
[11] Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Кооперативные явления в оп-
тике. М.: Наука, 1988.

Метод исключения бозонных переменных в задаче о лазерном охлаждении...
107
[12] Yukalov V.I., Yukalova E.P. Coherent nuclear radiation // ЭЧАЯ. 2004. Т. 35.
Вып. 3. С. 640–708.
[13] Bashkirov E.K., Petrushkin S.V. On the quantum theory of superradiance in two-
level and three-level macroscopic systems // Laser Physics. 2006. Vol. 16. № 8.
P. 1202–1212.
[14] Петрушкин С.В., Самарцев В.В. Лазерное охлаждение твердых тел. М.: Физ-
матлит, 2005. 252 с.
[15] Петрушкин С.В., Самарцев В.В. Метод исключения бозонныхпеременныхв
проблеме лазерного охлаждения твердых тел // Теоретическая и математиче-
ская физика. 2001. Т. 126.
[16] Petrushkin S.V., Samartsev V.V. Superradiant regime of laser cooling of crystals and
glasses doped with rare-earth ions // Laser Physics. 2001. Vol. 11. № 8. P. 948–956.
[17] Bashkirov E.K. Dynamics of phonon mode in superradiance regime of laser cooling
of crystals // Phys. Lett. 2005. Vol. A341. P. 345–351.
[18] Башкиров Е.К. Лазерное охлаждение примесных кристаллов в режиме свер-
хизлучения // Вестник СамГУ. Естественно-научная серия. 2005. № 3(37).
С. 90–109.
[19] Mungan C.E., Gosnell T.R. Laser cooling of solids // Advances in Atomic, Molecular
and Optical Physics. 1999. Vol. 40. P. 161–228.
[20] Ruan X.L., Kaviany M. Advances in Laser cooling of solids // J. Heat Transfer.
2007. Vol. 120. P. 3–10.
[21] Андрианов С.Н., Самарцев В.В. Оптическое сверхизлучение и лазерное охла-
ждение в твердыхтелах. Казань: Изд-во Казанского государственного ун-та,
1988. 132 с.
[22] Petrushkin S.V., Samartsev V.V. Laser cooling of solids. Cambrige, UK: Woodhead
Publishing Limited, 2009. 236 p.
[23] Petrushkin S.V., Samartsev V.V. Advances of laser refrrigeration in solids // Laser
Physics. 2010. Vol. 20. № 1. P. 38–46.
[24] Sheik-Bahae M., Epstein R.I. Optical refrigeration. Weinhein: Wiley-VCH, 2009.
520 p.
[25] Nemova G., Kashyap R. Laser cooling of solids // Rep. Prog. Phys. 2010. Vol. 73.
086501.
[26] Pringsheim P. Zwei Bemerkungen uber den Unterschied von Lumineszenz und
Temperaturstrahlung// Zeitschrift f. Physik. 1929. Vol. 57. P. 739–746.
[27] Kastler А. Quelques suggestions concernant la production optique et la detection
optique d’une inegalite de population des niveaux de quantification spatiale
des atomes: Application a l’experience de Stern et Gerlach et a la resonance
magnetique // J. Phys. Radium. 1950. Vol. 11. P. 255–262.
[28] Observation of laser-induced fluorescent cooling of a solid / Epstein R.I. et al. //
Nature. 1995. Vol. 377. P. 500–502.

108
.. , .. , ..
[29] Seletsky D.V. et al. Laser cooling of solids to cryogenic temperatures // Nature
Photonics. 2010. Vol. 4. P. 161–164.
[30] Nemova
G.,
Kashyap
R.
Alternative
technique
for
laser
cooling
with
superradiance // Phys. Rev. A. 2011. Vol. 83. 013404.
[31] Gosnell T.R. Laser cooling of a solid by 65 K starting from room temperature //
Optics Letters. 1999. Vol. 24. № 15. P. 1041–1043.
THE METHOD OF ELIMINATION OF BOSON VARIABLES
IN THE PROBLEM OF LASER COOLING OF EXTENDED
SOLIDS IN THE SUPERRADIANCE REGIME
c 2010 E.K. Bashkirov
3
, D.V. Litvinova, M.P. Stupatskaya
4
Abstract
The dynamics of impurity and pseudolocal phonon modes in the problem of
laser cooling of doped crystals in the superradiance regime has been investigated
on the basis of boson variables elimination methods. The possibility of supplement
cooling increasing through collective radiation effects has been demonstrated.
3
Bashkirov Evgeniy Konstantinovich, doctor of phys.-math. sciences, Department of General and
Theoretical Physics, Samara State University, 443011, Samara, Acad. Pavlov Str., 1, Russian Federation;
e-mail: bash@ssu.samara.ru.
4
Litvinova Darya Vadimovna, Stupatskaya Maria Petrovna, students Department of General and
Theoretical Physics, Samara State University, 443011, Samara, Acad. Pavlov Str., 1, Russian Federation.

Теоретическая Физика, 11, 2010 г.
109
HEAVY BATYONS IN THE RELATIVISTIC QUARK MODEL
c 2010 D. Ebert
1
, R.N. Faustov
2
, V.O. Galkin
3
Abstract
The masses of the ground state and excited heavy baryons consisting of two light
(u, d, s) and one heavy (c, b) quarks are calculated. The heavy-quark–light-diquark
picture is used within the relativistic quark model. The semileptonic heavy-to-heavy
decay rates of these baryons are also calculated both in the heavy quark limit and
with inclusion of first order 1/m
Q
corrections. An overall good agreement of the
obtained predictions with available experimental data is found.
During last few years a significant experimental progress has been achieved in studying
heavy baryons with one heavy quark. At present masses of all ground states of charmed
baryons as well as of their excitations are known experimentally with rather good precision
[1]. The bottom sector is significantly less studied. Only half of the ground state bottom
baryon masses are known now. The rate of the semileptonic decay
Λ
b
→ Λ
c
eν has been
also measured. The Large Hadron Collider (LHC) will provide us with much more data
on properties of ground state and excited bottom baryons. Here we review our studies
of masses of the ground state and excited heavy baryons containing one heavy quark
and their semileptonic decays. All calculations [2, 3, 4] were performed in the framework
of the relativistic quark model based on the quasipotential approach in QCD. We used
the heavy-quark–light-diquark approximation to reduce a complicated relativistic three-
body problem to the subsequent solution of two more simple two-body problems. The
first step is the calculation of the masses, wave functions and form factors of the diquarks,
composed from two light quarks. Next, at the second step, a heavy baryon is treated as a
relativistic bound system of a light diquark and heavy quark. It is important to emphasize
that we do not consider a diquark as a point particle but explicitly take into account
its structure through the diquark-gluon vertex expressed in terms of the diquark wave
functions.
In the adopted approach the diquark is described by the wave function (
Ψ
d
) of the
two-quark bound state and the baryon is described by the wave function (
Ψ
B
) of the
quark-diquark bound state, satisfying the quasipotential equations of the Schr¨
odinger
type
b
2
(M)
2µ
R
−
p
2
2µ
R
Ψ
d,B
(p) =
d
3
q
(2π)
3
V
d,B
(p, q; M)Ψ
d,B
(q),
(1)
where the relativistic reduced mass is
µ
R
= M
4
− (m
2
1
− m
2
2
)
2
4M
3
,
(2)
and the on-mass-shell relative momentum squared
b
2
(M) =
[M
2
− (m
1
+ m
2
)
2
][M
2
− (m
1
− m
2
)
2
]
4M
2
.
(3)
1
Ebert Dietmar, Institut f¨ur Physik, Humboldt–Universit¨at zu Berlin, Newtonstr. 15, D-12489 Berlin,
Germany, e-mail: debert@physik.hu-berlin.de.
2
Faustov Rudolf Nikolaevich, Dorodnicyn Computing Centre, Russian Academy Sciences, 119991,
Moscow, Vavilov Str. 40, Russian Federation; e-mail: faustov@ccas.ru.
3
Galkin Vladimir Olegovich, Dorodnicyn Computing Centre, Russian Academy Sciences, 119991,
Moscow, Vavilov Str. 40, Russian Federation; e-mail: galkin@physik.hu-berlin.de.

110
D. Ebert, R.N. Faustov, V.O. Galkin
Таблица 1: Masses of light ground state diquarks (in MeV). S and A denotes scalar and axial
vector diquarks antisymmetric [q, q ] and symmetric {q, q } in flavour, respectively.
Quark
Diquark
Mass
content
type
[2]
[7]
[8]
[9]
[10]
our
NJL
BSE
BSE
Lattice
[u, d]
S
710
705
737
820
694(22)
{u, d}
A
909
875
949
1020
806(50)
[u, s]
S
948
895
882
1100
{u, s}
A
1069
1050
1050
1300
{s, s}
A
1203
1215
1130
1440
The kernel
V
d,B
(p, q; M) in Eq. (1) is the QCD motivated operator of the quark-quark
(
d) or quark-diquark (B) interaction. It is constructed with the help of the off-mass-
shell scattering amplitude, projected onto the positive energy states. In the following
analysis we closely follow the similar construction of the quark-antiquark interaction
in mesons which were extensively studied in our relativistic quark model [5]. For the
quark-quark interaction in a diquark we use the relation
V
qq
= V
q ¯
q
/2 arising under the
assumption about the octet structure of the colour quark interaction. An important role
in this construction is played by the Lorentz-structure of the nonperturbative confining
interaction. In our analysis of mesons we adopted that the effective quark-antiquark
interaction is the sum of the one-gluon exchange term and the mixture of long-range
vector and scalar linear confining potentials with the vector confining potential containing
the Pauli term. We use the same conventions for the construction of the quark-quark and
quark-diquark interactions in the baryon. The explicit expressions for the quasipotential
of the quark-quark (
qq) interaction in the diquark and quark-diquark (Qd) interaction
in the baryon are given in Refs. [2, 3]. The values of model parameters can be also found
in these references.
At the first step, we calculate the masses and form factors of the light diquark. As
it is well-known, the light quarks are highly relativistic, which makes the
v/c expansion
inapplicable and thus, a completely relativistic treatment is required. To achieve this goal
in describing light diquarks, we closely follow our recent consideration of the spectra of
light mesons [6] and adopt the same procedure to make the relativistic quark potential
local by replacing
1,2
(p) =
m
2
1,2
+ p
2
→ E
1,2
= (M
2
− m
2
2,1
+ m
2
1,2
)/(2M) (see
discussion in Ref. [6]).
The quasipotential equation (1) is solved numerically for the complete relativistic
potential which depends on the diquark mass in a highly nonlinear way [2]. The obtained
ground state masses of scalar and axial vector light diquarks are presented in Table 1.
These masses are in good agreement with values found within the Nambu–Jona-Lasinio
model [7], by solving the Bethe-Salpeter equation with different types of the kernel [8, 9]
and in quenched lattice calculations [10]. It follows from Table 1 that the difference
between the scalar and vector diquark masses decreases from
∼ 200 to ∼ 120 MeV, when
one of the
u, d quarks is replaced by the s quark in accord with the statement of Ref. [11].
In order to determine the diquark interaction with the gluon field, which takes into
account the diquark structure, it is necessary to calculate the corresponding matrix
element of the quark current between diquark states. Such calculation leads to the
emergence of the form factor
F (r) entering the diquark-gluon vertex [2]. This form factor

Heavy Baryons in the Relativistic Quark Model
111
is expressed through the overlap integral of the diquark wave functions.
At the second step, we calculate the masses of heavy baryons as bound states of
a heavy quark and light diquark. For the potential of the heavy-quark–light-diquark
interaction we use the expansion in
p/m
Q
. The light diquark should be treated fully
relativistically. To simplify the potential we follow the same procedure, which was used
for light quarks in a diquark, and replace the diquark energies
E
d
(p) =
p
2
+ M
2
d
by
E
d
= (M
2
− m
2
Q
+ M
2
d
)/(2M) in expressions for the quark-diquark quasipotential. This
substitution makes the Fourier transform of the potential local. At leading order in
p/m
Q
the resulting quasipotentials can be presented in the following forms:
for the scalar diquark
V
(0)
(r) = ˆ
V
Coul
(r) + V
conf
(r),
(4)
and for the axial vector diquark
V
(0)
(r) = ˆ
V
Coul
(r) + V
conf
(r) +
1
M
d
(E
d
+ M
d
)
1
r
M
d
E
d
ˆ
V
Coul
(r)
−V
conf
(r) + µ
d
E
d
+ M
d
2M
d
V
V
conf
(r) LS
d
,
(5)
ˆ
V
Coul
(r) = −
4
3α
s
F (r)
r
,
V
conf
(r) = Ar + B,
V
V
conf
(r) = (1 − ε)(Ar + B),
where ˆ
V
Coul
(r) is the smeared Coulomb potential (with the account of the diquark
structure). Note that both the one-gluon exchange and confining potentials contribute
to the diquark spin-orbit interaction. In the heavy quark limit the heavy baryon levels
are degenerate doublets with respect to the heavy quark spin, since the heavy quark
spin-orbit and spin-spin interactions arise only at first order in
p/m
Q
. Solving Eq. (1)
numerically we get the heavy quark spin-independent part of the baryon wave function
Ψ
B
. Then the total baryon wave function is a product of
Ψ
B
and the spin-dependent
part
U
B
[12].
The leading order degeneracy of heavy baryon states is broken by the

жүктеу/скачать 3,26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: