4-мысал теңдеуінің шешімін табу керек.
Шешуі Берілген теңдеуді біртекті теңдеу түріне келтіруге болады , әрі қарай ауыстыруын қолданамыз. Осыдан және . Сонда және . Айнымалыларды бөліп интегралдаймыз: , немесе . Нәтижесінде z-тің орнына қойып, шешімін аламыз.
5-мысалтеңдеуі берілсін. Оны түрінде жазуға болады. Сондықтан болады да берілген теңдеудің жалпы интегралын анықтайды.
6-мысал теңдеуінің шешімін табу керек.
Шешуі Теңдеуді түрінде жазайық. Сонда ге тең. Теңдеудің толық дифференциалды болу шартын тексерейік. , яғни теңдеуі толық дифференциалды. Олай болса, шарттары орындалады. Осы теңдіктердің біреуін, мысалы екіншісін у бойынша интегралдайық. Сонда . Осы функцияның х бойынша дербес туындысын тауып бірінші теңдікпен теңестірелік, яғни , немесе . Интегралдаудан кейін , функциясы анықталады. Сонымен берілген теңдеудің жалпы интегралы мына түрде алынады .
7-мысалТеңдеу түрінде берілген. Оның шешімін табу үшін теңдеуді түрінде жазып белгілеуін енгізейік. Сонда және арқылы теңдігінен анықтаймыз. Интегралдау нәтижесінде алынады да жалпы шешім мына түрде жазылады .
8-мысал -Лагранж теңдеуі. Белгілеу енгіземіз: сонда теңдікті дифференциалдаймыз . Әрі қарай немесе - сызықты теңдеуі алынады. Оның интегралы - Лагранж теңдеуінің жалпы шешімі. Мұнда -қа бөлгенде шешімін жоғалтуымыз мүмкін. Ал дегеніміз теңдеуінің түбірі. Бұл жағдайда түбірін жоғалтамыз, яғни берілген теңдеудің шешімі.
9-мысалтеңдеуінің алғашқы шартын қанағаттандыратын шешімін табу керек.
Шешуі. Есептің шешімі . Бірақ М(1,1) нүктесі арқылы қисығынан басқа шексіз көп интегралдық қисықтар өтеді: . Егер болса, онда 0.
