Тәжірибелік конференциясының ЕҢбектері

21 
 
облучали в активной зоне исследовательского реактора ВВР-К в воде при температуре не выше 80 С. 
Флюенс облучения составил 5 10
22
н/м
2
 (E>0.1МэВ).  
Отдельные  партии  необлученных  и  облученных  образцов  стали  12Х18Н9  деформировали  при 
комнатной температуре растяжением на 5, 10 и 25%, а затем отжигали при 450 С в течение 15, 30 и 60 
минут.  Деформирование  исходных,  облученных  и  состаренных  при  450 С  образцов  проводили  на 
установке «Инстрон-1195» при комнатной температуре со скоростью растяжения 8.3 10
-4
с
-1
. При этом 
с помощью устройства, описанного в [5], регистрировали образование и накопление ферромагнитной 
мартенситной  -фазы. 
 
Экспериментальные результаты и их   обсуждение 
Сталь 12Х18Н9. Инженерные диаграммы растяжения необлученных и облученных нейтронами 
образцов нержавеющей стали 12Х18Н9, а также первичные кривые накопления мартенситной  -фазы 
представлены на рис.2. Как и ожидалось, установлено, что при растяжении плоских образцов  -фаза 
образуется  в  нержавеющей  стали  по  достижению  определенных  значений  деформаций 
кр
 
(напряжений 
кр
).  Экспериментально  найденные  значения 
кр
  и 
кр
  для  различных  случаев 
термообработки и облучения представлены в таблице 1. 
Анализ результатов, приведенных в таблице, свидетельствует о том, что с ростом температуры 
аустенизации  и  времени  выдержки  на  этой  температуре  значения 
кр
  и   
кр
  уменьшаются.  Другими 
словами,  увеличение  размера  зерна  в  результате  термообработки  (1150 С,  4  ч)  дестабилизирует 
аустенит,  что,  возможно,  связано  с  большими  значениями  внутренних  напряжений  в  приграничных 
зонах.  Не  исключено  также,  что  при  высоких  температурах  происходит  изменение  элементного 
состава  твердого  раствора  за  счет  растворения  элементов,  негативно  влияющих  на  стабильность 
аустенитной  матрицы  (Si,  Cr).  Обращает  на  себя  внимание  несколько  необычное  распределение 
мартенситной  -фазы в деформированных крупнозернистых образцах – отсутствует явно выраженная 
шейка. 
Облучение  нейтронами  в  значительной  степени  повлияло  на  параметры  мартенситного 
-
превращения для стальных образцов, аустенизированных при 1150 С 4 часа. При этом значения 
кр
 и  
кр
  после  облучения  несколько  увеличились  по  сравнению  с  величинами,  характерными  для 
необлученных образцов. 
 
Таблица  1.  Влияние  параметров  аустенизации  на  критические  значения  деформации  и 
напряжения образования  -фазы при статическом растяжении плоских образцов стали 12Х18Н9 
 
Облучение 
Необлученные 
Облученные электронами 
Термо-
обработка 
1050 С,  
30 мин 
1150 С,  
4 часа 
1050 С,  
30 мин 
1150 С,  
4 часа 
Номер 
образца 
№ 1 
№ 55 
№ 2 
№ 10 
№ 7 
№ 6 
№ 25 
№ 16 
№ 12 
№ 4 
кр
, % 
28 
30 
8 
6 
8 
6 
25,0 
26,5 
12 
14 
кр
, кг/мм
2
 
54 
61 
29 
28 
29 
29 
45,0 
56,0 
41 
37 
 
Заметим,  что  в  ходе  проведения  аналогичных  экспериментов  сравнение  критических 
параметров 
-превращения  для  образцов  стали  12Х18Н10Т,  «закаленных»  с  температур  1050 С 
(30  мин)  и  с  1150 С  (60  мин),  не  показали  столь  существенного  различия,  как  для  стали  12Х18Н9. 
Особенно  следует  отметить  обнаруженный  результат,  касающийся,  так  называемого,  «упругого» 
мартенсита. Оказалось, что отношение количества мартенситной    -фазы, регистрируемой в образце 
после  снятия  нагрузки,  к  величине  M
f
  под  нагрузкой  для  необлученного  стального  образца 
существенно больше, чем для облученного электронами. 
 

22 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
? 1
удлинение, мм
Нагрузка
, Н
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
'-фаза
 
а 
0
1
2
3
4
5
6
7
0
100
200
300
400
500
600
700
удлинение, мм
Нагрузка
, Н
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
? 7
a
'-фаза
 
б 
Рисунок  2.  Диаграммы  растяжения  (I)  и  кривые  образования  -фазы  (II)  в  образцах  стали 
12Х18Н9: а) температура аустенизации 1050 С, 30 мин (№ 1);  б0 1150 С, 4 часа (№ 7) 
 
Приведены  и  обсуждаются  результаты  исследований  закономерностей  мартенситного 
-
перехода,  индуцированного  деформацией,  в  необлученных  и  облученных  нейтронами  (5 10
18
  н/см
2
, 
Е 0,1  МэВ)  образцах  стали  12Х18Н9.  Облучение  проводили  в  активной  зоне  реактора  ВВР-К  при 
температуре не более 80 С.  
Механические испытания «на растяжение» выполняли со скоростью  0,1 мм/мин при 20 С. 
Установлено,  что  с  повышением  температуры  аустенизации  от  850  до  1150 С,  наряду  с 
пределом  текучести  уменьшается  также  количество  -фазы,  образовавшейся  к  моменту  разрушения 
стального образца. 
Изучение  влияния  степени  предварительной  холодной  деформации  (5,  10,  25%),  температуры 
(250,  450 С)  и  времени  деформационного  старения  (15,  30,  60  мин)  на  мартенситное 
-
превращение  и  механические  свойства  стали  12Х18Н9  в  необлученном  и  облученном  состояниях 
показало,  что  состаренный  материал  становится  более  стабильным  по  отношению  к  фазовому 
бездиффузионному переходу. 
Влияние  температуры  испытания  на  содержание 
-фазы,  индуцированной  деформацией, 
изучали,  применяя  метод  дифференциальной  калориметрии.  Оказалось,  что  в  интервале  20-100 С 
количество  образующегося 
-мартенсита 
непрерывно  уменьшается  и  при  температуре 
деформирования 100 С (M
d
) ферромагнитная  -фаза не регистрируется. 
Установлено, что нейтронное облучение флюенсом 5 10
18
 н/см
2
 не влияет на величину M
d
.  
                                                                                                                                                                                                            
Литература 
 
1.
 
Новиков И.И. Теория термической обработки металлов. М., Металлургия, 1978. 
2.
 
Максимкин О.П., Осипов И.С., Айтхожин Э.С., Бердалиев Д.Т., Рахашев Б.К., Налтаев А.  
           Мартенситные превращения в нержавеющей аустенитной стали 12Х18Н9Т, облученной альфа       
         частицами. //Вестник НЯЦ РК, 2006, вып. 4 (28), стр. 23-28. 
3.
 
Максимкин О.П., Налтаев А., Бердалиев Д.Т., Рахашев Б.К.  Мартенситные 
' превращения  
в стали 12Х18Н10Т, облученной в реакторе ВВР-К. //Вестник НЯЦ РК, 2007, № 3, стр. 53-57. 
4.
 
Максимкин О.П., Гусев М.Н. «Влияние нейтронного облучения и длительного старения на  
           механические  и  энергетические  характеристики  нержавеющей  стали».  //ФММ,  2001,  т.92,  5, 
с.77-80. 
5.
 
Максимкин О.П. Автоматизированный комплекс установок и экспериментальные методики для 
исследования  физико-механических  свойств  облученных  материалов.  //Препринт  2-94  ФТИ 
HAH PK 

23 
 
УДК 621.373.121.14.023:517.956.32 
 
СПЕКТРАЛЬНАЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧА S. 
 
Гавриков В.В. 
ЮКГУ им. М. Ауэзова, Шымкент, Казахстан 
 
Напомним,  что  уравнения  Максвелла,  описывающие  электромагнитные  процессы,  как  и  в 
линейных  электрических  и  магнитных  линий  с  распределенными  параметрами  можно  свести  к 
уравнению гиперболического типа. Данная статья является продолжением работы /1/, в которой была 
доказана  корректность  краевой  задачи  со  смещением  S.  Вкратце  приведѐм  постановку  задачи  и 
оставим нумерацию литературы из работы /1/. 
Пусть 
2
R
-  конечная  область,  ограниченная  характеристическими  прямыми  AC: 
0
t
x
, 
BC: 
,
1
t
x
 при x
 AD:
,
0
t
x
 BD:
,
1
t
x
 при 
 для волнового уравнения: 
 
t
x
f
u
u
Lu
tt
xx
,
 
(1) 
Обозначим 
}
0
{
,
}
0
{
x
x
,  а  через 
)
(
2
s
W
  будем  обозначать 
пространство  Л.С.Соболева  со  скалярным  произведением 
s
,
, 
...
2
,
1
,
0
s
  и  нормой 
;
s
 
)
(
L
)
(
W
2
0
2
. 
Задача S. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям: 
 
,
1
0
при
,
u
u
1
0
 
(2)
 
1
0
при
,
u
u
1
0
, 
(3) 
где 
,
AC
2
;
2
0
,
BC
2
1
;
2
1
1
,
AD
2
;
2
0
,
ВD
2
1
;
2
1
1
 
– произвольное комплексное число.  
Задача S., и ее спектральный вариант является  обобщением известной задачи Т.Ш Кальменова-
А.М.  Нахушева  /2/-/6/  со  смещением.  В  работе  /2/  на  основании  принципа  Асгейрссона  доказана 
регулярная  однозначная  разрешимость  задачи  S  для  однородного  уравнения  (1)  с  неоднородными 
условиями  (2).  Т.Ш.  Кальменовым  в  работе  /3/  доказана  полнота  системы  собственных  функций 
задачи  S,  рассматриваемой  в  характеристическом  треугольнике  АВС,  доказательство  основано  на 
продолжении решения задачи в область, 
 симметричную 
 относительно оси 
0
x
 и решение 
задачи  в  квадрате 
  методом  разделения  переменных.  В  работах  /4-6/  задача  Т.Ш. 
Кальменова  -  А.М.  Нахушева  обобщается,  причем  возникает  ряд  новых  задач,  в  которых  М.A. 
Садыбековым  и  учениками  Т.Ш.  Кальменова  рассмотрены  обобщения  задачи  типа  задач  S.(1-3). 
Причем  М.А.  Садыбеков  использует  новый  метод,  то  есть  спектральный  вариант,  который  не 
решается методом разделения переменных, и приводятся критериии корректности задач типа задачи 
S., и доказывается базисность в 
2
L
 системы собственных и присоединенных функций. При этом 
существенно  используется  известный  операторный  метод  М.О.  Отелбаева  -  Т.Ш.  Кальменова 
регулярных расширений /7/, предложенный ими и используемый другими математиками в работах /8/, 
в данной работе используется их определение. 
Определение:  Оператор 
L
-  замыкаем  в 
2
L
  называется  расширением  (по  М.О.Отелбаеву  - 
Т.Ш.Кальменову) замыкания - L
S
 на W
S
(Ω), а 
*
S
L
- оператор, сопряженный с оператором
S
L
, если 
L
 
имеет ограниченно обратный оператор 
1
S
L
, определѐнный на всѐм 
2
L
, причѐм 
*
S
S
L
L
L
. 
Т  Ш  Кальменовым  и  учениками  в  работах  /5-8/  разработан  метод  исследования  корректных 
краевых  задач  в  случае  произвольных  дифференциальных  уравнений  и  новое  доказательство 
бесконечномерности корневых векторов. 

24 
 
В работе /1/, приведено доказательство критерия корректности задачи S.  
Будем  говорить,  что 
2
  
t)
u(x,
L
 
-  обобщѐнное  решение  уравнения  (1),  удовлетворяющее 
условию (2-3) если 
)
L
(
D
t)
u(x,
*
S
.
  
Корректность  задачи  S.  Пусть 
  –  множество  функций 
),
(
C
u
  удовлетворяющих 
условию  (2-3).  Через 
S
L
,  обозначим  замыкание  в
2
L
  дифференциального  оператора,  заданного 
равенством  (1)  на  подмножестве  функций  из 
  Под  регулярным  решением  сформулированной 
задачи, как обычно, будем понимать функцию 
2
C
u
, обращающую в тождество уравнение (1) и 
краевые  условия  (2-3).  Функцию 
2
L
u
  назовем  сильным  решением  задачи  S,
 
если  существует 
последовательность 
W
u
n
  такая,  что 
n
u
  и 
n
Lu
    сходятся  в  норме
2
L
  соответственно  к    и 
 
Очевидно, что  u  – сильное решение задачи S, если и только если 
S
L
D
u
 
Теорема 1 /1/. Пусть выполнено условие:  
 
.
0
1
4
 
         (4) 
Тогда,  
а)  для  любой 
1
C
f
  существует,  единственное,  регулярное  решение  задачи  S  (1-3)  и  это 
решение удовлетворяет неравенству:  
 
2
2
1
||
||
||
||
L
W
f
c
u
 
(5) 
б)  для  любой 
2
L
f
  существует,  единственное,  сильное  решение  задачи.  Это  решение 
принадлежит классу: 
C
W
u
2
1
 и удовлетворяет неравенству (5). 
в) если условие (4) не выполнено, то решение задачи S не единственно. 
Доказательство приведено в /1/. 
Отметим  сразу  также,  что  задача  S  (1-3)  и  ее  спектральный  вариант  не  решаются  методом 
разделения переменных. Ниже докажем базисность в 
2
L
 системы собственных и присоединенных 
функций. 
Спектральная  задача  S.  Пусть  выполнено  условие  (4).Тогда  в  силу  теоремы  1  существует 
оператор 
1
S
L
(обратный  к  оператору ,  соответствующему  задаче  S  в  смысле  сильного  замыкания), 
этот  оператор  определен  на  всем  пространстве 
.  Так  как 
)
(
)
(
1
2
W
L
D
,  то  оператор 
1
S
L  
является  вполне  непрерывным.  Поэтому  спектр  оператора  ,  а,  следовательно,  и  спектр  задачи  S 
может состоять только из собственных значений.  
Напомним,  что  базис,  получаемый  из  ортонормированного  базиса  с  помощью  ограниченного 
обратимого 
преобразования, 
называется 
базисом 
Рисса 
или  базисом, 
эквивалентным 
ортонормированному.  
Методом, обобщающим метод работы /3/, доказывается следующий результат. 
Теорема  2.  Пусть 
0
1
1
2
.  Тогда  спектр  краевой  задачи  S  состоит  только  из 
собственных  значений  конечной  кратности,  а  соответствующие  им  собственные  и  присоединенные 
функции задачи S образуют полную в 
 систему функций и составляют базис Рисса. 
Доказательство:  Полагая,  что 
0
1
1
2
,  собственные  и  присоединенные  (корневые) 
функции задачи S (1-2) будем искать в виде:  
,
),
(
)
ln
2
2
exp(
)
,
(
Z
n
t
U
x
ni
t
x
U
n
n
                            
 
   (8) 
где 
2
0,
arg
,
arg
ln
ln
i
. При этом, если построенная система будет базисом 
в 
 то корневых функций другого вида нет.  
Подставляя  (8)  в  (1)  и  краевые  условия  (2-3),  получим  соответственно  (при  этом  используем 
разложение из /4/): 

25 
 
),
(
)
2
(
exp
)
,
(
t
fn
nix
t
x
f
 
)
9
(
2
exp
)
(
)
ln
2
2
exp(
))
(
)
(
(
2
//
nix
t
f
x
ni
t
U
t
U
n
n
n
n
 
где 
ln
2
2 ni
n
 
также, для первого условия 
)
ln
exp(
2
1
)
1
(
)
ln
exp(
2
,
2
1
;
2
1
2
;
2
ni
U
ni
U
U
U
n
n
n
n
n
 
И учитывая, что  
,
0
)
ln
exp(
t
ni
имеем 
,
2
1
1
2
n
n
n
U
U
 
при 
k
n
2  
.
2
1
2
2
2
k
k
U
U
 
Дифференцируя по    
,
2
1
2
/
2
/
2
k
k
U
U
 
при 
1
2k
n
 
2
1
2
1
2
1
2
k
k
U
U
 
Дифференцируя по    
,
2
1
2
/
1
2
/
1
2
r
k
U
U
если 
,
2
1
 тогда для любого   
4
1
1
4
1
4
1
1
4
1
/
1
/
nk
n
nk
nk
n
nk
 
Значит 
4
1
;
0
C
t
nk
- система функций удовлетворяющих условию 
)
10
(
 
       
          
          
          
          
          
          
          
0
4
1
1
1
4
1
1
1
/
nk
n
nk
n
 
Аналогично, из второго краевого условия (3) имеем  
0
4
1
1
1
4
1
1
1
/
nk
n
nk
n
                                            
        (11) 
 

26 
 
Из  вида  (8)  следует,  что 
t
U
n
    -  собственная,  либо      присоединенная  функция  оператора, 
заданного уравнением  
ln
2
2
,
2
//
ni
t
U
t
U
U
l
n
n
n
n
n
n
                                                            (12) 
на линейном многообразии функций из 
2
1
:
2
1
C
,  удовлетворяющих условиям  
0
2
1
,
2
1
1
2
1
0
,
2
1
1
1
t
t
U
t
U
t
t
U
t
U
n
n
n
n
n
n
  
 
 
 
 
 
                                                         (13) 
Пусть 
4
1
;
4
1
C
t
nk
    -  система  корневых  функций  оператора,  заданного  равенством 
(12) на множестве функций из 
4
1
;
4
1
C
, удовлетворяющих условиям (11) и (10). 
Так как  краевые  условия  (11),  (10)  являются краевыми  условиями  типа  Штурма,  то  из    /5/ 
при каждом   система 
1
n
kл
t
  образует базис Рисса в 
.
4
1
;
4
1
2
L
Обозначим 
4
1
;
2
1
2
1
1
2
1
;
4
1
2
1
1
4
1
;
4
1
1
t
t
t
t
t
t
t
U
nk
n
nk
n
nk
nk
 
 
 
 
(14) 
Нетрудно убедиться, что функции 
t
U
nk
  принадлежат классу 
2
1
;
2
1
C
, удовлетворяют 
условиям (13)  и являются корневыми функциями оператора 
n
l
. Поэтому функции  
N
k
Z
n
t
U
e
t
x
U
nk
x
n
nk
,
,
                           
 
 
  (15) 
принадлежат классу  С
, удовлетворяют краевым условиям (2-3) и являются корневыми 
функциями  задачи  S,  так  как  система 
-  ортонормированная  с  весом 
x
x
4
,  а  система 
t
nk
U
 - образует базис Рисса в 
,  где 
4
1
4
1
,
1
0
:
,
1
t
x
t
x
 

жүктеу/скачать 9,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: