стант.  П.  Дирак  относит  проблему  чис­

Причем  Дирак  ставит 
вопрос 
так: 
«...  нам  не  известно,  почему  оно  имеет 
именно  это  значение,  а  не  какое-нибудь 
иное»  [ 16,  с.  8 7 ].
Другая  проблема  в  естествознании, 
которую  Р.  Фейнман  считает  чуть  ли 
не  самой  основной,—  это  нарушенная 
симметрия.  «Совершенство  и  симметрия 
круга  исчезают,  как  только  чуть-чуть 
исказить  его...  почему  же  орбиты  (пла­
нет)  только  почти  круги?...  вопрос... 
превращается  в  большую  динамичес­
кую  проблему...»  [44,  с.  257].  Амери­
канский  физик  Е.  Вигнер  писал:  «...при­
ближенная  точность  законов  симмет­
рии  —  это  общ ее 
явление  и 
может 
стать  общим  законом» 
[13,  с.  256]. 
Характерно,  что  и  при  анализе  про­
порций  исследователей  привлекала  ско­
рее  идея  отклонения  от  симметрии,  чем 
сама  симметрия.  Причем  нарушение 
симметрии  считалось  само  собой  р азу­
меющейся  нормой  гармоничности  худо­
жественных  произведений.  Но  чтобы  по­
нять  нарушение  симметрии,  надо  р азо­
браться  в  сути  самой  симметрии.
Существуют  два  представления  о 
симметрии.  Одно  из  них,  идущее  от 
античной  культуры,  связано  с  пропор­
циями;  здесь  «симметрия  обозначает 
тот 
вид  согласованности 
отдельных 
частей,  который  объединяет  их  в  единое 
целое»  [9,  с.  35 ].  Второе  —  современ­
ное;  здесь  симметрия  —  это  группа  пре­
образований  [см.  9 ].  Существенно  при 
этом,  что  всякое  построение  симметрии 
связано  с  введением  того  или  иного 
равенства,  и  что  равенство  относитель­
но  и  может  существовать  множество 
равенств  и  соответственно  множество 
симметрий  [41,  с.  133].  Но  не  будет
ошибкой,  если  мы  скажем:  тождество 
есть  сущность  симметрии.  Какая  же 
связь  между  равенством  и  тож дест­
вом?  Возьмем  две  левые  перчатки  оди­
накового  размера.  Мы  считаем  их  рав­
ными.  «Почему?  Потому  что  их  можно 
полностью  совместить  друг  с  другом...» 
[41,  с.  129],  т.  е.  сделать  неотличимыми 
(тождественными).  Но  левую  и  правую 
перчатки  мы  так  отождествить  не  мо­
жем.  Они  совместимо  неравны.  Однако 
можно  сделать  их  неотличимыми  с  по­
мощью  зеркального  отражения.
Следовательно,  равенство  есть  к о н ­
кретный  способ  отождествления.  И  зн а ­
чит,  равенство  и  тождество  неразрыв­
ны.  Но  —  противоположны.  Равенство 
конкретно,  многообразно  и  относитель­
но;  тождество  абстрактно,  единообраз­
но  и  безотносительно.  (Опять  те  же 
противоположности,  см.  §  5,  6.) 
Но 
каж дое  конкретное  единичное  равенст­
во 
есть 
тождество 
или 
наоборот: 
тождество  есть  каж дый  частный  с л у ­
чай  равенства.  Итак,  связь  равенства  и 
тождества  определяется  все той  ж е  ф ор­
мулой  (1 ).  Значит,  сущностью  симмет­
р и и ,  строго  говоря,  являет ся  тождест­
во  противоположностей.
Если 
групповые 
преобразования 
связаны  с  гармонией,  то  и  два  смысла 
симметрии,  о  которых  говорилось,  так­
же  должны  быть  связаны.
Так  возникли  проблемы,  которые 
привели  к  построению  особого  принципа 
симметрии,  основанного  на  целой  це­
почке  качественных  обобщений  и  вы­
ражающ его  не  симметрию  конкретных 
предметов, 
а 
сущность 
симметрии. 
Эта  сущностная 
(или  качественная) 
симметрия  позволила  связать  (как  бу-

дет  показано)  не  только  упомянутые 
два  смысла  симметрии,  но  и  упом яну­
тые  проблемы:  нарушенная  симметрия, 
число 
137,  золотое  сечение, 
другие 
пропорции,  музыкальные  ряды  и  многие 
вновь  возникшие  факты  и  проблемы. 
Особенно  отметим  следующие  пробле­
мы: 
1)  природа 
золотого 
сечения;
2)  загадка  числа  137;  3)  природа  при­
близительной  симметрии.
Ниже  мы  покажем,  что  перечис­
ленные  три  фундаментальные  проблемы 
современной  науки  представляют  собой 
одну  проблему.
11. 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
ТРАКТОВКА  ТОЖДЕСТВА 
ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЕЙ
Трактовка  формулы 
(1).  Обратим 
внимание,  что  формулу 
(1) 
можно 
интерпретировать 
как  связь  прямой 
и  кривой,  а  в  терминах  механического 
движения  —  как  связь  неускоренного 
и  ускоренного  движений.  Действитель­
но,  согласно  Минковскому,  прямоли­
нейное  и  равномерное  движение  соот­
ветствует  прямой  мировой  линии,  уско­
р ен н ое—  одной  из  кривых.  Согласно 
ОТО  ускоренно  движущ аяся  система 
неотличима  от  системы,  движущейся 
прямолинейно  и  равномерно  (см.  §  5). 
Следовательно,  утверждение  «каждое 
движение  есть  покой»  эквивалентно 
утверждению 
«каждая 
кривая 
есть 
прямая».
Мы  уж е  показали,  что  данный  закон 
не  может  быть  выражен  в  координатах 
пространства-времени.  Теперь  нам  нуж ­
но  найти  способ  выражения  прямой 
и  кривой  и  их  связи  не  через  про­
странство-время.  Возьмем  золотое  сече­
ние  Ф =  1,618...  Р яд  Ф°,  Ф \  Ф2,  Ф3,..., 
Ф п  обладает  уникальной  особенностью: 
каждый  член  его,  начиная  с  третьего, 
равен  сумме  двух  предыдущих,  т.  е. 
этот  ряд  является  одновременно  а дди ­
тивным  и  мультипликативным  (одн о­
временно  причастен  природе  арифмети­
ческого  ряда  и  геометрической  про­
грессии).  Связь  аддитивного  (сл ож е­
ние)  и  мультипликативного  (ум нож е­
ние)  принципов  постоянно  находится  в 
центре  внимания  исследователей  зол о­
того  сечения.  Именно  в  ней  содержится 
искомая  нами  связь  прямой  и  кривой. 
Чтобы  это  показать  явно,  мы  и зобр ази ­
ли  оба  принципа  в  простейшем  виде:
1) 
аддитивный 
£ а  =  а +  а +  а... 
=  Аш;
2)  мультипликативный  П а =  а - а - а . . . =  
=  а п.  Или  в  более  общем  виде  эти 
принципы  можно  записать  так:
,  ч 
^   п 
п 
, 
п 
| 
п
1 ) 
У  
----• CL =   -  • CL 
---------   • CL. .. 
-  • CL —
7 
т 
т 
т 
т
т
т
2)
  П 
ап/т = ап/т-ап/т  .ап/т = ап
'---------v-------- '
т
На  рис.  3  прямая  выражает  а дди ­
тивный  п а у  кривая  —  мультипликатив­
ный  а п  принципы.  Формулу  (1 ),  таким 
образом,  можно  истолковать  как  связь 
принципов  па  w  а п  к  выразить  в  виде 
уравнения
а п =  па, 
(3)
где  в  каждом  случае  разные  значения  а 
изменяют  характер  кривой  (кривизну), 
прямая  же  остается  прямой  («прямиз­
на»  не  меняется).  Из  сказанного  выте­
кает любопытное  следствие:  сумма  и  це­
лое  в  общем  случае  не  совпадают;
п а

3.  П р я м а я   в ы р а ж а е т   аддитивный  п а,  к р и в а я  
мульт иплик ати вны й  а"  принципы
сумма 
(па)  есть  абстрактное  целое 
в  соответствии  с  абстрактным  т о ж д е ­
ством  А,  реальное  целое  в ы р а ж а е т с я  
уравнением  (3)  в  соответствии  с  т о ж ­
деством  противоположностей  А П;  в  ч а ­
стном  случае  при  А = А П,  соответствую­
щем  формуле  (2),  сумма  и  целое  со в ­
падают.
Математическая  трактовка  форму­
лы  (2).  В  §  10  были,  в  частности, 
приведены 
следующие 
две 
пропор­
ции:  1)  арифметическая  а — х =  х — Ь,
а + ь
где 
х А=   —^— i 
2) 
геометрическая
а / х = х / Ь ,   где  x T =  ^ a b .   П оследняя  бы ­
л а  
истолкована 
как  геометрическая 
симметрия.  То  ж е  можно  ск а за т ь   и  об 
арифметической  пропорции.  Таким  о б ­
разом,  обе  пропорции  можно  и столко­
вать  как  две  симметрии,  считая  числа 
а 
и  Ь  симметричными  относительно 
числа  х, 
которое 
назовем 
центром 
симметрии  и  обозначим  соответственно 
х А  и  х г,  как  показано.  Д о к а ж е м ,  что  эти 
две симметрии  основаны  соответственно 
на  принципах  па  и  ап.
1)  Арифметическая  симметрия  ( S A) 
а — х = х  — Ь. 
(4)
Пусть  в  формуле  (4)  х  =  0,  тогда 
имеем  важны й  частный  случай  S A:
а — 0 =  0 — Ь. 
(5)
Здесь  Ь = — а; 
из 
то ж д ества 
а — 0 =  0 — ( — а)  видим,  что  число  ( + а )
симметрично  числу  ( — а)  относительно 
х А =  0,  т.  е.  данный  частный  случай  S A 
с в язы в ае т  полож ительны е  и  о т р и ц а ­
тельные  числа.
Введем  общее  правило  п р ео б р азо ­
вания  чисел.  Симметричным  п р ео б р азо ­
ванием  назовем  такое  преобразование, 
которое  переводит  данное  число  в  сим­
метричное  ему  число.  В  нашем  случае 
это  о зн ач ает  зам ену  зн ак а  плюс  на  м и ­
нус  (или  наоборот)  у  числа  а.  З а м е ­
няя  число  ( — а)  на  ( + а )   в  выражении 
а — а =  0,  которое  следует  из  ф о р м у ­
лы  (5)  (та к  как  Ь = — а),  получаем 
а +  а  =  2а  (т.  е.  принцип  па,  при  п =  2). 
Теперь  покажем,  что  ф ормула  (5)  — 
основа 
всех 
случаев 
(качественное 
обобщение)  формулы  (4)  а — х  =  х  — Ь. 
Зд ес ь  
Ь =  2х — а; 
из 
тож д ества 
а —х — х  — (2х — а) 
видим,  что  связь 
числа  ( + а )   с  числом  ( — а)  с о х р а н я ет­
ся  для  всех  случаев  формулы 
(4).  
К роме  того,  зам ечаем  
(в  последнем 
тож дестве)  у  числа  х   постоянный  мно­
ж и тел ь  2.  Таким  образом,  сущность 
S A  основана  на  принципе  па,  при  л =  2.
2.  Геометрическая  симметрия  ( S r) 
a : x = x : b .  
(6)
Примем  в  выражении  (6)  х =  1,  получим 
в аж н ы й   частный  случай  S r:
а:\  =  \:Ь. 
(7)
Здесь  Ь =  —   \  из  то ж д ества  а:1  =   1:—  
а 
а

видим,  что  число  а  симметрично  числу
1  / а   относительно  * г =   1,  т.  е.  в  этом  слу­
чае  5 Г  связывает  обратные  значения. 
Возьмем  выражение  а / \   -  \ / а = \ ,   ко­
торое  следует  из  формулы  (7)  (так  как 
Ь = \ / а ),  и  сделаем  симметричное  пре­
образование  числа  1/а,  что,  согласно 
изложенному  выше  правилу,  означает 
замену  числа  1 /а   симметричным  ему 
числом  а. 
Получаем 
а - а  =  а 2 
(т.  е.
принцип 
а п 
при 
п =  2 ). 
Покажем 
теперь,  что  формула  (7)  —  качествен­
ное  обобщение  формулы  (6)  а :х = х :Ь . 
Здесь  Ь =  х 2Л / а \  
из 
тождества
—  =   — -—   видим,  что  связь  обрат-
х  
х 2Л / а
ных  чисел  (а  и  1 /а )  сохраняется  для 
всех 
случаев 
формулы 
(6). 
Также 
замечаем  (в  последнем  тож дестве)  у 
числа  х  постоянный  показатель  степе­
ни  2.  Таким  образом,  сущность  5 Г осно­
вана  на  принципе  а п  при  п =  2.
Подставляя  в  уравнение  (3)  п =  2 
( а ф 0),  имеем  а =  п =  2.  Этот  случай 
уравнения 
(3)  —  важный 
случай 
(<а =  п ),  так  как  означает  совпадение 
тождеств  А = Л П,  что  соответствует  фор­
муле  (2).  Поэтому  указанный  случай 
был  принят  за  основу  построения  общей 
симметрии 
в 
смысле 
качественного 
обобщения.
12. 
КАЧЕСТВЕННОЕ 
ОБОБЩЕНИЕ  СИММЕТРИИ
Пропорция  симметрии. 
Пусть  в  вы­
ражении 
(4) 
или 
(6) 
а =  Ь,  тогда 
x A 
=  (a -\-b )/2  =  
x r 
=  ^ a b y 
т.  е.  центры 
S A  и  5 Г  совпадут.  Мы  получили  част­
ный  случай  S A,  равно  как  и  частный 
случай  S r,  что  сразу  говорит  о  ф ун да­
ментальности  этого  случая.  Совпадение
S A  и  S r  в  соответствии  с  формулой  (2) 
А = А П означает  совпадение  суммы  и  це­
лого;  поэтому  данный  случай  можно 
представить  как  симметричное  деление 
целого
с :=  а 
b у 
(8)
где  а =  Ь.
Назовем  этот  случай  пр опорцией 
симметрии,  в  которой  а / х = х / Ь   равно 
а — х  =  х  — Ь,  так  как  а =  Ь = х .   П р о п о р ­
ция  симметрии  являет ся  качественным 
обобщ ением   симметрии  как  таковой, 
так  как  выражает  равенство  вообще 
а =  а  и  одновременно  конкретное  равен­
ство  двух  половин  целого,  т.  е.  в  я вн о м  
виде  выражает  совпадение  равенст ва  и 
тождества,  содерж ащ ееся  как  сущность 
в лю бой  симметрии.  Поэтому  пропорция 
симметрии  связывает  два  смысла  сим­
метрии,  о  которых  говорилось  в  §  10, 
являясь,  с  одной  стороны,  общим  част­
ным  случаем  пропорций  (в  частности, 
арифметической 
и 
геометрической), 
с  другой  —  общим  частным  случаем 
симметрии  в  современном  понимании. 
Известно,  например,  фундаментальное 
значение  зеркальной  симметрии.  Основ­
ной  случай,  содержащ ийся  во  всех  ее 
случаях,  можно  определить  так:  точка 
и  ее  отражение  отсекают  на  прямой 
отрезок,  который  делится  пополам  в 
центре отражения,—  случай  симметрич­
ного  деления  отрезка,  пропорции  сим­
метрии.  Последняя  является  более  ши­
роким  (общ им),  чем  зеркальная  сим­
метрия,  представлением,  так  как  приме­
нима  не  только  к  геометрическим  и 
пространственным  представлениям,  но 
и  к  биологическим,  акустическим,  му­
зыкальным,  архитектурным  и  др.
Коэффициенты 
пропорции 
СИ М -

метрии: 
1/2,  2, 
1 
( а / с  =  Ь / с =  
1/2;
с / а  =  с/Ь =  2;  а / b — b / а  =   1).  Д окаж ем , 
что 
1/2  —  основной 
коэффициент. 
Пусть  в  выражении  (8)  с =   1;  тогда 
х А =  х г= \ /2;  а =  Ь = а / с  =  Ь / с =   1
/
2
, 
т.  е.  значение  части  совпадает  со  значе­
нием  центров  симметрии  и  с  величиной 
отношения  части  к  целому,  что  свиде­
тельствует  о  связи  частного  и  общего, 
т.  е.  о  качественной  связи.  Этим  свой­
ством  обладает  только  число  1/2.  Но 
условие  с =   1  уж е  предполагает  значе­
ние  частей,  взятых  в  отношении  к  це­
лому,  и  относится  не  только  к  пропор­
ции  симметрии,  но  к  любой  сумме  как 
абстрактному  целому.
Качественное  равенство. 
Выражение 
(8)  связывает  S A  и  S r.  Вопрос:  какова 
при  этом  роль  чисел  1/2,  2,  1?  Как  мы 
показали,  важный  частный  случай  S A 
связывает  числа  вида  ( +  а)  и  ( — а), 
важный  частный  случай  S r  связывает 
обратные  числа  ( а +1  и  а - 1 ).
Обратим  внимание,  что  коэффициен­
ты  пропорции  симметрии  представляют 
собой  две  пары  обратных  чисел  2  и  1/2;
1  и  1_ , =   1.  Выясним  их  смысл  по  от­
ношению  к  S A  ( a — x =  x — b):  1)  если 
а =  
2 ,  
Ь =  
1 / 2 ,  
то  х А =  (а -\-Ь )/2 =  5 /4  =  
=   1
 
+  
1 / 4 .  
Числа  1
,  1 / 4 ,  
а  также  1/2 
и  2  есть  целые  степени  числа  2;  2)  если 
а = 1 ,  
Ь =  
2 ,  
то  х а =  3/2;  если  а =   1
, 
Ь =  
=  
1 / 2 ,  
то  х а =  
3 / 4 .   М
ы
 
заменили  число
2  на  обратное,  а  значение  х А  уменьши­
лось  в  2  раза;  3)  если  а ф Ь ,  но  с =   1, 
т о х хФ   1/2,  х А =  с / 2 =   1/2.  Следователь­
но:  1)  числа  2 п  (где  п  —  целое)  имеют 
чисто  арифметический  смысл;  2)  сл у­
чай  х г = х А  (пропорция  симметрии)  есть 
важный частный  случай  связи  обратных 
чисел  с  числами  2п\  3)  случай  с =   1,
как  уж е  говорилось,  раскрывает  качест­
венный  смысл  числа  1/2,  а  это  и  есть 
арифметический  смысл,  соответствую­
щий  принципу  па.
Если  мы  выделим  арифметический 
смысл  и  рассмотрим  пропорцию  симмет­
рии  в  динамике,  то  получим  симметрию 
как  размноженное  качество.  К оэфф и­
циентами  этого  множества  будут  числа 
1/2,  1/4,  1/8,...,  т.  е.  целые  степени 
числа  2,  так  как  только  этими  числами 
целое  можно  разделить  арифметически 
строго  симметрично  (деля  каждую  по­
ловину  пополам,  каждую  четверть  по­
полам  и  т .д .) .  Разнож ение  коэффици­
ентов  симметрии  произошло  путем  д ел е­
ния  пополам,  т.  е.  с  помощью  коэффи­
циента  1/2.  К  этому  глубокому  смыслу 
числа  1/2  (связь  с  целым)  мы  вернем­
ся  в  §  15  и  21.  Сейчас  остановимся 
вообще  на  числах  2 Л,  выражающих 
качественный  смысл  симметрии.  С  точ­
ки  зрения  этого  смысла,  числа  2 п  равно­
ценны,  что  позволяет  сущность  S A о б о б ­
щить  формулой  качественного  равен­
ства
а—  2"а, 
(9)
где  п  —  целое,  символ  —   означает 
«качественно  равно».  Качественное  р а ­
венство  обладает  следующими  свойст­
вами:  если  а — b ,  то  b— а ,  если  а— b , 
а  Ь— су  то  а — с.  Важный  частный  сл у­
чай
а — 2 а -  
(10)
основа  всех  случаев  вида  (9)  —  мини­
мальный  интервал  качественного  р а ­
венства = 2 = о к т а в е .  Это  означает,  что 
октава  —  сущность  симметрии.
Мы  ввели  понятие  «октава»  как

научное  понятие.  Октавой  будет  назы­
ваться  отношение  чисел  2:1.
Качественное  равенство  —  осн о в­
ной  постулат  теории.  Оно  содержит 
в  себе  качественное  обобщ ение  симмет­
рии,  так  как  размножает  пропорцию 
симметрии  в  каждой  половине,  четвер­
ти,  восьмой  и  т.  д.  целого,  а  также  я в л я ­
ется  качественным  обобщ ением   р а в е н ­
ства  во о б щ е,  так  как  содержит  число  2, 
скрытое  в  любом  равенстве  и  тож де­
стве;  если  с =  а-\-Ь   и  а =  Ь,  то  с =  2а.
Формулу  (9)  можно  интерпретиро­
вать  двумя  фундаментальными  явле­
ниями:  1)  делением  клеток  (пополам) 
в  биологии;  2)  октавным  подобием  в 

жүктеу/скачать 57,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: