тематические  закономерности,  не  при­

так ж е  можно  отбросить  любую  часть 
основания  ромба,  сохранив  его  себе 
тождественным,  поскольку  членение  в 
направлении  N   можно  представить  п ро­
д о лж аю щ и м с я  неограниченно.  Все  точ­
ки  и  все  отрезки  в  структуре  А-ромба 
равноправны.
Рассмотрим,  как  пронизывает  и  о п ­
ределяет  все  связи  А-ромба  дихотомия. 
Назовем н аправления  к точке  N   (вверх) 
восходящими, 
а 
противоположные 
(вниз)  —  нисходящими.
1. 
К а ж д а я   из  окружностей  построе­
ния  пересекается  вертикалью  и  нисхо­
дящ ей   окружностью  и  в  точках  п ере­
сечения  делится  на  пять  равных  частей 
, 
1
(отсекается 
-g-  часть  окружности,
угол Пересечение  восходящей  о к ­
ружностью  делит отсеченную  дугу  попо­
лам   и  тем  самым  окруж ность  на  10  рав-
.   ,  
1 
ных  частей  (отсекается  -щ часть  о к р у ж ­
ности,  угол  -5-). 
Горизонталь  через 
центр  окружности  Л \ П \   ещ е  р а з  делит
угол  —   пополам,  а  окруж ность  на  20 
равных  частей  [отсекается  ~   часть  ок­
ружности,  угол  -j^-  (рис.  3 6 )] .
2.  Горизонтали,  соединяющие  точки 
пересечения  окружностей,  д ел ят  в ерти­
кальную  ось  А-ромба  пополам  (точка 
Е ) ,   а  каж ды й  ее  отрезок  т а к ж е   пополам 
(см.  рис.  35).
3.  Соединение  любой  точки  А-ромба 
с  точками,  восходящими  и  п ри н ад л е­
ж а щ и м и   смежным  л учам   (например,
Оо  с  Л 2  и  Я г),  делит  угол  а   пополам
( /LJJ\OoJl
2
 =  / - J l 2 0 o 0 2  =  -^-).  При  этом
д и агональ  Л \ П 1  (горизонталь)  о к а з ы ­
вается  разделенной  в  точках  пересече­
ния^  в  отношениях  1:д/5  (Л\ Л£АъП\ )\  
(д/5 —  1):У5 
( л 2п 2:п2Л\)\ 
( V 5 — 1): 1
( л 2п 2:п
2
П \ ) ,   а  полудиагонали  —  в  о т ­
ношении  золотого  сечения  (д /5— 1):2 
( л 20 \ \ л 2Л \ ) .
4.  Назовем  диагональн ое  соединение 
уровней  восходящих  с  нисходящими 
трансляциям и.  Мы  у ж е  рассмотрели

/  
П,
2ЕПЧП4
^
  ГЧ  Пт 
\
^ Ж п,  \
h
У/
 /
^ ^ ^ 1 / 1 0  JT  [  \
Т ч 1  
л г А / м о ,
/   п2 
\ / j  
/  
J r
  /  
/  
/
 
/
/   /
/  у /   / У
I  /
О
36.  Д и хотом ия  углов  и  о трезков;  деление 
ности  на  5,  10  и  20  частей
трансляцию  первого  уровня:  точки  л 2, 
п2  есть  трансляции  Л 2,  П 2  в  О о  (см. 
рис.  36).  Трансляции  второго  восхо­
дящ его  уровня  (точки  Л  з,  П з  в  Оо)  осу­
щ ествляют  ещ е  одно  деление  пополам, 
на  этот  р а з   не  углов,  а  отрезков 
( л 2л з = л з 0 \ ) . 
Д в е  
эти 
трансляции 
спроецировали  на  горизонталь Л \ П \   все 
связи  пространства  симметрии  подобий 
и  в  том  числе  интервалы,  л е ж а щ и е  
в  основании  музыкальной  темперации. 
На этом  мы  остановимся  чуть  позже,  з а ­
кончив  р ас ск а з  о  свойствах  дихотомич­
ных  делений  А-ромба.
5.  П ервая  трансляция  (деление  -^-)
ввело  в  А-ромб,  представляю щ ий 
\Ф. 
чистый  рад и кал  у/2.  Это  отрезок,  о с у ­
ществивший  трансляцию ,  ОоЛ2  и  соот­
ветственно  л ю бая  линия  трансляции
а
— ,  потому,  что  эта  линия  есть  средне­
пропорциональное 
полудиагонали
( Л  
1
0
1
 =  1)  и  диагонали  
( Л \ П \ = 2 ) . 
Гипотенуза  прямоугольного  треу го л ь ­
ника 
Л 2О0= ^ ~ ( ф - ' ) 2+   ( Ф ' / 2) ^ ^ .
37.  С труктура  2 1/2  в  структуре  Ф |/2  возни кает 
из  ди агон альн ой   тр ан сл я ц и и   восходящ ей  ветви 
А -ром ба  в  н и ж е л еж ащ и й   уровень,  т.  е.  из  ди хо­
томии  углов  а   (ЛОо,   Л \ 0 \ ,   П О 0,  Я , 0 ,   и  т.  д.)
Таким  образом  структуру  А-ромба  д Ф  
можно  с  помощью  дихотомии  а   преоб­
р а зо в а т ь   в  структуру  Б-ромбов,  т а к ж е  
составленную  из  прямоугольных  тре­
угольников  (рис.  37).
6.  Пространство  симметрии  подобий 
позволяет д а т ь  четыре определения  чис­
лу  золотого  сечения:
ф  _   У^+У^  _  
У? 
___ jj2_____-уЗ +  У5
-у 4 
V5 —лД 
7
з
- У 5  
^ 2
7.  Угол  основания  А-ромба  2 а   с  точ­
ностью  до  пятого  зн ак а  совпал  с  зо л о ­
тым  числом;  при  измерении  в  р ад и ан ах
Ф
2 а  = “
2
- + 1   радиан =  1,8091.
Но  главным  эмоциональным  э ф ф е к ­
том  открытого  в  мае  1979  г.  построения 
была,  как  уж е  говорилось,  з ак л ю ч ен ­
ная  в  нем  ассоциация  с  явлением  роста 
в  живой  природе.  Положение  оси  сим­
метрии  и  радиальны е  направления,  р а с ­
ходящиеся  под  углом  а,  воспроизводят 
нерватуру,  характерную  для  листа  кле­
на.  О казал о сь   так ж е,  что  углу  2а  от-
69

Л/2 -oL
= 1,8091 рад.
=103° 39' 16,5"
38.  Э л ем ен т ар н ая  едини ца  структуры   п р о стр ан ­
ства  симметрии  подобий  —  т реугольн и к  Ф 1' 2 —
треугольн и к  прям ого  угла 
Но  исклю чи тель­
ность  в  угле  а ,  которы й  в  р а д и а н а х   о п р ед ел яется 
(с  точностью   до  четырех  зн ак о в )  числом  Ф.
2 а  =  1,8091  р ад и ан   =   —  Ф + 1 .   Этот  угол  х а р а к ­
терен  д л я   н ерватуры   ли стьев  клен а,  роста  р а к о ­
вин  « P e c te n »   (д р ев н ей ш а я   ф орм а  ж и зн и   моря, 
в о сх о д я щ а я   к  середин е  С илура,  около  350  млн. 
л е т ),  он  о п р ед ел яет  внутрим олекулярны е  связи  
молекулы   воды.  Н о  что  та к о е   вода?  «Б ольш ую  
ч асть всякой  ж ивой  клетки  со ст ав л яет  вода.  К л ет­
ки  почти  всегда  окруж ены   водной  средой:  это 
м о ж ет  бы ть  п р есн ая  или  м о р ск ая  вода,  тканевы й
вечает  радиальны й  рост  морских  р а к о ­
вин  типа  P ecten  и  что  угол  2 а  = 1 , 8 0 9  
рад и ан а =  103°39/20//  практически  я в ­
л яется  углом  внутримолекулярных  с в я ­
зей  в  молекуле  воды:  чертеж  э ле м е н т а р ­
ной  единицы  пространства  симметрии 
подобий  есть  чертеж   положения  атомов 
в  молекуле  воды  Н 20 .   А  вода,  как  и зве­
стно,  л еж и т  в  основе  жизни  по  многим 
п арам етрам .  Ж и з н ь   возникла  в  воде; 
ничто  живое  без  воды  не  мож ет  сущ е­
ствовать.
Сделанные  наблюдения  естественно 
породили  вопрос:  в  чем  ф ундаменталь-
сок,  п л азм а,  в н еклеточн ая  ж и дкость»  (К .  В илли, 
В.  Д етье,  б и о ло ги ),  «Г идроксил  и  вод а  о б н а р у ­
ж ены   в  о б ластях,  где  только  н ачи н аю т  ф о р м и ­
р о в атьс я   звезд ы   и  планетны е  системы »  (Л .  М ат- 
веенко,  а ст р о ф и зи к ).  Б и о л о ги ческая  и н ф о р м ац и я 
м ож ет  п е р ед ав а ть ся   чистой  водой,  а  кром е  того, 
вода  м ож ет  хр ан и ть  п ам ять  о  биологически  а к ­
тивны х  м олекулах,  к о н такти ровавш и х  с  ней  и  ис­
чезнувш их  из  нее  вследствие  м ногократны х  р а з ­
бавлени й  («Н ейчур»,  30.06.88),  Ж а н   Бенвенист 
и  ещ е  12  известны х  ученых  Ф ранц ии,  И зр аи л я , 
И тали и,  К а н ад ы ).  «В ода!  У  тебя  нет  ни  цвета, 
ни  вкуса,  ни  з а п а х а ,  т еб я  не  опиш еш ь,  тобой 
н а сл а ж д ае ш ь ся ,  не  пон им ая  что  ты  такое.  Ты 
не  просто  необходим а  д л я   ж изни ,  ты  и  есть 
ж и зн ь »   (А.  Э кзю пери,  поэт)
ная  общность линейного  отрезка,  д ел ен ­
ного  в  золотом  сечении,  и  треугольника 
д Ф,  л е ж а щ е г о   в  основании  структуры 
пространства  симметрии  подобий?  И 
было  замечено,  что  и  линейный  отрезок, 
деленный  в  золоте,  и  треугольник  д/Ф 
описываются  одним  и  тем  ж е  у р а в н е ­
нием.
Отрезок,  деленный  в  золоте,  у с т а ­
н ав л ив ает  с в язь   трех  величин:  двух  его 
частей  (а,  b )  и  целого  (с ).  Целое  и  его
части  можно  в ы рази ть   как  числа  — ,  1
1 
2
и  —   или  же,  что  одно  и  то  же,  как  х   ,

х   и  1.  Действительно,  отрезок  1,618  д е ­
лится  на  1  и  0 ,6 1 8 = 1 :1 , 6 1 8 ,   а  п р е д с т а ­
вив  целое  ка к   2,618,  находим  его  части 
1,618  и  1.  Зд ес ь   части  суть  1  и  х =   1,618, 
целое  х2= 1 , 6 1 8 2.  Но  и  треугольник 
А -ромба  д Ф   т а к ж е   имеет  отношение 
сторон  1,  х  и  х 2!  [катеты  суть  1  и 
Л ф =   1,2720196,  гипотенуза 
(д /Ф )2 =  
=  1,6180339  ...].  Значит,  деление  о т р е з ­
ка  в  золоте  есть  частный  случай  д и н а ­
мического  треугольника,  на  отношение 
сторон  которого  наложен  единый  закон, 
управляющий  его  метаморфозами.  О д ­
ну  из  сторон  этого  треугольника  можно 
считать линейной  мерой  пространства  1, 
а  две  другие  связан ы   квадратичной  з а ­
висимостью.  Если  катеты  в  этом  « ж и ­
вом»  треугольнике  р ас п о л о ж а тся  под 
л
прямым  углом  ~
y
,  треугольник  с т а н о ­
вится  треугольником  д/Ф;  если  же  эти 
«катеты»  р ас п о л о ж а тся  на  одной  п р я ­
мой  под углом  л,  гипотенуза  совместит­
ся  с  катетами  и  возникнет  случай  д е л е ­
ния  отрезка  в  золотом  отношении.  Но 
отсюда  следует,  что  треугольник,  с о х р а ­
няя  эту  же  закономерность,  мож ет  о п и ­
сывать,  подобно  часовым  стрелкам,  л ю ­
бые  углы  взаимодействия  «катетов»  в 
пределе  угла  2л,  т.  е.  описывать  неко­
торые замкнутые  пространства.  П р о б л е ­
ма  соизмерений  в  ортогональных  н а ­
правлениях  (проблема  соразмерностей 
и  пропорций)  см ещ ается  в  этом  случае 
к  описанию  формы.
Поскольку  линейный  закон   золотого 
сечения  широко  распространен  ка к   чис­
л о в ая  характери сти ка  членений  стеблей 
растений,  их  расположения  на  стволе, 
закручи ван ия  спиралей  подсолнечника, 
пропорций  человеческого  тела  и  т.  п., 
естественно  было  ож и дать,  что  вновь 
открытые  математические  кривые  зо л о ­
того  сечения  т а к ж е   распространены 
в  живой  природе.  Такое  предчувствие 
подтвердилось  многократно,  причем  с а ­
мым  фундаментальным  образом.
39.  Т реугольни к  Ф |/2  приним ает  в  А-ромбе  ш есть 
ориентац ий.  Е го  линейны е  величины  и зм еняю тся 
по  зак о н у   Ф 1/2,  его  п лощ ад и   —  по  зак о н у   Ф. 
Д и аго н ал ь н ы е  тр ан сл я ц и и   первого  у ровн я  д ел ят  
углы   а   поп олам   (J h O t   и  т.  п .),  д и аго н а ль н ы е  
т р ан сл яц и и   второго  уровня  — д ел ят  пополам   от­
резки 
гори зон тали , 
отсеченные  т р ан с л я ц и я м и  
первого  уровня.  Углы  поворотной  симм етрии, 
определяю щ и е  ориентац ию   Ф -треугольн иков,  уг- 
л  
я  
лы_ и _ _ а
Мы  изучили  структуру  простран ст­
ва  симметрии  подобий.  Она  соединяет 
геометрическое  подобие,  зеркальную   и 
поворотные  симметрии,  дихотомию  у г­
лов  и  отрезков,  сод ерж ит  числа  д/Ф  и 
д/2.  Словом,  А-ромб  математически  а б ­
страгирует  принципы  построения  ф о р ­
мы  в  живой  природе  и  в  искусстве.
Но  как  осущ ествить  переход  от  гео­
метрической  абстракции  к  м од ел и рова­
нию  формы  в  живой  природе?  К а к   по­
казать,  что  формы  живой  природы  и 
формы  архитектуры  —  разные  интер­
претации  одной  закономерности?  Что 
музы кальн ая  тем перация  и  гарм он и ч­
ная  форма  в  архитектуре  имеют  общее 
основание?
Ответ  на  эти  три  ф ундаментальны х

вопроса  п редставляет  одну  логическую 
цепочку:  он  закодирован  в  э л е м е н та р ­
ной  структуре  А-ромба.  Выполненная 
только  что  тран сл яци я 
восходящих 
уровней  в  точку  О0  выстроила  на  п р я ­
мой  Л \ П \   отношения,  присущие  струк­
туре  пространства  симметрии  подобий. 
И  остается  лиш ь  убедиться,  что  в  этих 
отношениях  заключены  и  интервалы 
гармонических  созвучий  струны,  на  ко­
торых  выстроен  темперированный  м у­
зыкальный  строй,  и  парные  меры,  осу ­
ществившие  формы  архитектурных  с о ­
оружений  Д рев него  Египта,  античной 
Греции,  средневековой  Руси,  что  здесь 
и  все  пропорциональные  циркули  а н ­
тичности,  и  меры  Хесира,  и  н овгород­
ская  мерная  трость.  Но  главное,  отсю­
да  же,  из  неделимой  структурной  е д и ­
ницы  А-ромба,  треугольника  д/Ф  будут 
описаны  основополагаю щ ие  формы  ж и ­
вой  природы.  В начале  —  д ва  общих 
суж дения  о  дихотомии  элементарного 
А-ромба.  Они  принципиально  важ н ы , 
ибо  о б р ащ а ю т  наш е  внимание  на  два 
качества 
дихотомии  —  равенство 
и 
неравенство  —  в  самом  ключевом  для 
ф ормообразования  месте.
Первая, 
вертикальная 
дихотомия 
элементарного  А-ромба  рассекает  его 
на  д ва  треугольника  д Ф ,  зерк ал ьн о  ото­
браженны х  друг  в  друге.  Отрезки,  углы, 
площ ади  правого  и  левого  треугол ь­
ников 
д Ф  
равны.  С одерж ан и е  первой 
дихотомии  —  зер к ал ьн а я  симметрия  и 
равенство.
40.  С л е в а   —  п о воротн ая  сим м етрия 
и  зак о н   из­
менения  мерности  Ф |/2  стр о ят  логари ф м и ческую
21пФ|/2 
а-------
с п и р ал ь  /? =  Ф |/2е 
л 
Сп р а в а   —   т ак   р астет 
р акови н а  « N a u tilu s» .  У равнен ие  ее  роста  о п р ед е­
ляю т  ф у н д ам ен тал ь н ы е  константы   природы :  ч и с­
л а   я ,  Ф  и  е
Вторая,  горизонтальная  дихотомия, 
дихотомия 
(пересечение  вертикали
горизонталью ),  деление  А-ромба  на 
верх  и  низ  линией  Л \ П \   —  это  деление 
на  неравные  части  прямого  угла  (J1, 
П)  и  площадей  треугольника 
д Ф.  
С о­
д ер ж а н и е 
второй 
дихотомии  —  пово­
ротная  симметрия  и  неравенство.  Углы 
поворотной  симметрии  (от  части  к  ч а ­
сти) 
и  (от  части  к  целому)  -- ---- а.
П оворотн ая 
симметрия 
изменяет
мерность  треугольника  д/Ф  в  д/Ф  раз. 
Если  следовать  этой  закономерности, 
треугольник  д/Ф  продуцирует  л о г а р и ф ­
мическую  ,спираль,  изображ ен н ую   на 
рис.  40.  Ее  прочертят  все  три  вершины 
треугольника 
д Ф,  
если  изменение  его 
разм еров  осущ ествлять  п ропорц и ональ­
но  углу  поворота.  С пираль,  если  пред­
ставить  ее  как  живой  объект,  в озни ­
кающий  из  точки  н а ч а л а   полярных  ко­
ординат,  за х в а т ы в а е т   пространство  по 
закону,  представленному  фундаменталь­
ными  константами:  числами  л,  е  (ос-

J
1
C V   о,п
1:2
 
О К Т А В А  
0 ,5 0 0 0
Р и м с к и е   п р о п о р ц и о н а л ь н ы е   ц и р к у л и   из  н е м е ц к о г о  
м у з е я   и  м у з е я   а н т и ч н о г о   и с к у с с т в а   в  М ю н х е н е
О Д : 
0
,
0
з
0 , П :  0оП,
1:>12 
М у з ы к а л ь н ы й   и н т е р в а л  
Т РИ Т О Н  
0,7071 
О т н о ш е н и е   т м у т а р а к а н с к о й   и  косой  саж е н е й   новгородской 
м ерной  тр о с ти .  Соразмерности  церкви  вознесения  в  колом енском
0оП,-.ЛП
0
^ п •  л, п,
1 :(
n
T 5 -
i
) 
0,8090 
О тн ош е н и е   т м у т а р а к а н с к о й   и  мерной  са ж е н е й   новгородской  м ер­
ной трости.  Пропорциональный  строй  церкви  Вознесения  в коломенском,Успен­
ской  церкви в Чернигове, церквей  Спаса-нередица, Петра и Павла  на Селенище  в  пе- 
рыне(Новгород),  иконы  Андрея  Рублева  „ Т р о и ц а ”
0
,
0
2: 
0
о
0
э
рП  ■ Лр
1  :  \Г5 
0,4472 
Ж е з л ы   х е с и р а .   П р о п о р ц и о н а л ь н ы й   с т р о й  
П а р ф е н о н а
Оо О-i •  9о04
Д П ,:Л П
(N f5 -1 ):2   =  2:('Г5+1) 
0,6180 
П о м п е й с к и й   п р о п о р ц и о н а л ь н ы й   ц и р к у л ь .  П р о п о р ц и о н а л ь н ы й  
с т р о й  
и н т е р ь е р а   У с п е н с к о й   ц е р к в и   в  Ч е р н и г о в е
Оо о,:  OgOg
(Ч Г - 1 ) : \ Г 5 ‘ 
, 
0,5528 
п р о п о р ц и о н а л ь н ы й   ц и р к у л ь   м у зея  Т е р м   в  Р и м е
0
< О
4
' 
0
о О
4
2 :  \[~5 
0£944
Н а к л о н   р е б р а   п и р а м и д ы   Х е о п с а .   П р о п о р ц и о н а л ь н ы й   с т р о й  
Э р е х т е й о н а   и  В е л и к о й   п е ч е р с к о й   ц е р к в и   в  К и е в е
0
о 
0
з".  О
0
О
4
(Л П :0
0
М
) 2
(2+2 );(2+  'Пз) 
П О Л У Т О Н  
0,9447 
( м а л а я  
с е к у н д а )
Н а к л о н  
р е б р а  
п и р а м и д ы  
Х е с р р е н а
41.  П р о стр ан ство   симметрии  подобий  со д ер ж и т 
п роп орциональны е  ритмы,  при сущ ие  хорош о  г а р ­
м онизованны м   сооруж ен и ям ,  отнош ения,  з а к р е п ­
ленны е  в  и н струм ен тах  построения  ф орм ы   в  а р ­
хитектуре  —  в  п арны х  м ерах  и  п р о п о р ц и о н а л ь­
ных  ц и ркулях  и  и н тервалы ,  л е ж а щ и е   в  о с н о в а ­
нии  м узы кальн ого  тем п ери рован н ого  зв у к о р я д а
нование  н атурального  л о га р и ф м а ) 
и 
д/Ф  (равное  изменение).  И  одна  из д р е в ­
них  форм  жизни  моря  с  точностью  вос­
производит  математический  закон   ро ­
ста  —  раковина  N a u tilu s .  Мост  от  про­
странства  симметрии  подобий  к  живой 
природе  брошен.  Моллюск,  строящий 
эту  раковину,  по  мере  роста  покидает 
ставш ую   тесной  ему  ячейку  и  пере­
ходит  в  следующую,  а  его  дом,  строи­
тельство  которого  начато  в  точке  н а ч а ­
л а  координат,  и  есть  эта  прекрасная 
раковина. 
С ущ ествование 
спирали

N autilus  приводит  к  интересному  о б о б ­
щению,  скорее  всего  к  новой  ветви  ис­

жүктеу/скачать 57,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: