Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл
430
{3𝑥
2
− 5𝑥 − 2 = 0,
−1 ≤ 𝑥 + 1 ≤ 1
𝑥 = 2
{ [𝑥 = −
1 ,
3
−2 ≤ 𝑥 ≤ 0
1
Жауабы:
−
1
3
𝑥 = − .
3
2-
мысал.
arcsin2x − 3arcsinx = 0
теңдеуін шешіңіз [2].
Шешуі
.
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎 ⟺ 𝑠𝑖𝑛𝑎 = 𝑥
,
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 𝑏 ⟺ 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑥
белгілеуін енгізуін
арқылы
𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑠𝑖𝑛𝑎
аламыз.
Берілген теңдеуді
𝑏 − 3𝑎 = 0
түрінде жаза аламыз. Бұдан
𝑏 = 3𝑎
болады.
𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑥
белгілеуі
𝑠𝑖𝑛3𝑎 = 2𝑥
теңдеуге айналады.
𝑠𝑖𝑛3𝑎 = 3𝑠𝑖𝑛𝑎 − 4𝑠𝑖𝑛
3
𝑎
формуласын
қолдансақ,
3𝑥 − 4𝑥
3
= 2𝑥
аламыз.Осы
теңдеуді шешейік:
(4𝑥
2
− 1) = 0
𝑥(4𝑥
2
− 1) = 0
𝑥(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) = 0
1
1
Жауабы:
0; ±
1
2
𝑥
1
= 0, 𝑥
2
=
2
, 𝑥
3
= −
2
3-
мысал.
|arcsin(𝑐𝑜𝑠4) −
πx
| = 4
теңдеудің барлық бүтін шешімін табыңыз [3].
2
Шешуі
.
𝜋 < 4 < 2𝜋
теңсіздігі бойынша
arcsin (𝑐𝑜𝑠4) =
π
− arcsin
2
(𝑐𝑜𝑠4) =
π
−
2
(2𝜋 − 4) = 4 −
3π
болады. Берілген теңдеуді тӛмендегідей жаза аламыз:
2
|4 −
3𝜋
2
𝜋𝑥
−
2
| = 4
|4 −
𝜋(𝑥 + 3)
2
| = 4
𝜋(𝑥 + 3)
4 −
{
2
= 4,
𝜋(𝑥 + 3)
4 −
2
𝑥 = −3,
{
16
= −4
Мұндағы
16
− 3
бүтін сан емес.
π
Жауабы:
−3
.
𝑥 =
— 3.
𝜋
𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2x
4-
мысал.
|𝑎| < 1
теңсіздігін
қанағаттандыратын
{
жүйесін шешіңдер[4].
Шешуі
.
1–a
2
𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑦 = 𝑎
2
теңдеулер
𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
{
2𝑥
1 − 𝑎
2
,
𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑦 = 𝑎
2
.
.