МЕКТЕП МАТЕМАТИКА КУРСЫНДА КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ
ФУНКЦИЯЛАРЫ БАР ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ
ШЕШУ ЖОЛДАРЫ
МАНАПОВА ШҦҒЫЛА АСҚАРҚЫЗЫ
ШҚО «Семей қаласының Шәкәрім атындағы университеті» КаеҚ
Оқушыларды математика пәнінен тереңдете отырып, есептерді шығаруға бағыттау
керек. Осындай есептердің біріне «Кері тригонометриялық функциялар» тақырыбына
берілген тапсырмаларды айта кетуге болады. Мектеп математика курсында бұл тақырыпта
теңдеулер мен теңсіздіктер шешуге аз кӛлемде есептер берілген. Сол себепті дарынды
оқушылардабұл есептерді шығару барысында бірнеше қиындықтарға туындай.
Оқушыларға осы тақырыптар теңдеулер мен теңсіздіктерге жеке тақырыптарға бӛле
отырып тереңдете оқыту немесе арнайы үйірмелерде осы тақырып негізінде есептер
шығаруға мән беру керек.
Проблемалық ахуалдың негізгі кӛзі есеп шығару болғандықтан «Кері
тригонометриялық функциялар» тақырыбына берілген теңдеулер мен теңсіздіктерге
бірнеше мысал кӛрсетуді жӛн кӛрдік.
1-
мысал.
arcsin(3𝑥
2
− 4𝑥 − 1) = arcsin (𝑥 + 1)
теңдеуін шешіңіз [1].
Шешуі
. Берілген теңдеу келесі жүйеге эквивалентті болады:
{3𝑥
2
− 4𝑥 − 1 = 𝑥 + 1,
|𝑥 + 1| ≤ 1
Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл
430
{3𝑥
2
− 5𝑥 − 2 = 0,
−1 ≤ 𝑥 + 1 ≤ 1
𝑥 = 2
{ [𝑥 = −
1 ,
3
−2 ≤ 𝑥 ≤ 0
1
Жауабы:
−
1
3
𝑥 = − .
3
2-
мысал.
arcsin2x − 3arcsinx = 0
теңдеуін шешіңіз [2].
Шешуі
.
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎 ⟺ 𝑠𝑖𝑛𝑎 = 𝑥
,
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 𝑏 ⟺ 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑥
белгілеуін енгізуін
арқылы
𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑠𝑖𝑛𝑎
аламыз.
Берілген теңдеуді
𝑏 − 3𝑎 = 0
түрінде жаза аламыз. Бұдан
𝑏 = 3𝑎
болады.
𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑥
белгілеуі
𝑠𝑖𝑛3𝑎 = 2𝑥
теңдеуге айналады.
𝑠𝑖𝑛3𝑎 = 3𝑠𝑖𝑛𝑎 − 4𝑠𝑖𝑛
3
𝑎
формуласын қолдансақ,
3𝑥 − 4𝑥
3
= 2𝑥
аламыз.Осы
теңдеуді шешейік:
(4𝑥
2
− 1) = 0
𝑥(4𝑥
2
− 1) = 0
𝑥(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) = 0
1
1
Жауабы:
0; ±
1
2
𝑥
1
= 0, 𝑥
2
=
2
, 𝑥
3
= −
2
3-
мысал.
|arcsin(𝑐𝑜𝑠4) −
πx
| = 4
теңдеудің барлық бүтін шешімін табыңыз [3].
2
Шешуі
.
𝜋 < 4 < 2𝜋
теңсіздігі бойынша
arcsin (𝑐𝑜𝑠4) =
π
− arcsin
2
(𝑐𝑜𝑠4) =
π
−
2
(2𝜋 − 4) = 4 −
3π
болады. Берілген теңдеуді тӛмендегідей жаза аламыз:
2
|4 −
3𝜋
2
𝜋𝑥
−
2
| = 4
|4 −
𝜋(𝑥 + 3)
2
| = 4
𝜋(𝑥 + 3)
4 −
{
2
= 4,
𝜋(𝑥 + 3)
4 −
2
𝑥 = −3,
{
16
= −4
Мұндағы
16
− 3
бүтін сан емес.
π
Жауабы:
−3
.
𝑥 =
— 3.
𝜋
𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2x
4-
мысал.
|𝑎| < 1
теңсіздігін қанағаттандыратын
{
жүйесін шешіңдер[4].
Шешуі
.
1–a
2
𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑦 = 𝑎
2
теңдеулер
𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
{
2𝑥
1 − 𝑎
2
,
𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑦 = 𝑎
2
.
.
|
